PERKALIAN SILANG Hasilkali titik dua buah vektor

Matematika Teknik
PERKALIAN SILANG
Hasilkali titik dua buah vektor menghasilkan skalar, sedangkan hasilkali silang
atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegak
lurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya
berlaku untuk vektor-vektor di ruang. Untuk mempermudah menjelaskan pengertian
hasilkali silang diberikan pengertian vektor satuan terlebih dahulu.
Vektor satuan adalah vektor yang normnya atau panjangnya satu. Vektor
satuan yang searah dengan salib sumbu, dinyatakan dengan i , j , k . Untuk di bidang,
i = (1,0) dan j = ( 0,1) , sedang untuk di ruang, i = (1,0,0) , j = ( 0,1,0) dan k = ( 0,0,1) .
Dari notasi vektor satuan yang searah dengan salib sumbu, kita dapat
menyatakan sebuah vektor yang diketahui komponen-komponennya menjadi suku-suku
dalam vektor satuan tersebut.
u = (u1 , u2 ) = u1 i + u2 j
(
)
v = v1,v2 , v3 = v1 i + v2 j + v3 k
Misal u = (u1 , u2 , u3 ) dan v = (v1 , v2 , v3 ) . Maka perkalian silang dari u dan v
diberikan sebagai berikut :
i
j
u x v = u1 u2
v1 v2
k
u3
v3
Contoh :
1 
 
Hitung u x v bila u =  − 2  dan v = 3i − j − 2k
2 
 
Jawab :
i
j
k
−2 2
1 2
1 −2
u xv = 1 − 2 2 =
i−
j+
k = 6i + 8 j + 5k .
−1 − 2
3 −2
3 −1
3 −1 − 2
Bagaimanakah hasilnya bila Anda menghitung v x u ?
Sifat-sifat dari perkalian silang sebagai berikut :
1. u • u x v = 0
2. v • u x v = 0
3.
uxv
2
= u
2
2
(
)2
v − u•v
( Persamaan lagrange )
Secara geometris, norm perkalian silang antara dua buah vektor merupakan luas
dari bangun segiempat yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Sifat ini dapat
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
diturunkan dari persamaan lagrange. Untuk itu, kita dapat menghitung luas bangun segi
banyak yang terletak di ruang , dengan menggunakan norma perkalian silang antara dua
vektor.
Contoh :
Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2, -3, 1 ), B ( -1,4,-1 ) dan C (
2,0,3 ). Hitung luas segitiga tersebut.
Jawab :
Misal u dan v berturut-turut merupakan vektor posisi dari ruas garis AB dan AC.
 − 1  2   - 3 
 2  2  0 
     
     
Maka u =  4  -  - 3  =  7  dan v =  0  −  − 3  =  3 
 − 1  1   - 2 
 3  1   2
     
     
i
j k
u x v = − 3 7 − 2 = 20 i + 6 j − 9k
0 3 2
Luas segitiga ABC =
1
1
uxv =
517
2
2
Soal Latihan
1. Diketahui a = ( 2,1,−3) , b = ( 3,11
, ) , c = ( 0,2 ,−2) .
mungkin ) :
(
)
a. a x b − 2 c
Tentukan ( bila terdefinisi /
c. a x b x c
b. a • b x c
2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bila
a. u = ( − 1,2 ,−3) dan v = ( 0,2,4 )
b. u = (4 ,−2 ,1) dan v = (0,2 ,−1) .
3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya.
a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 )
b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )
4. Diketahui u = (4 ,−2 ,1) , v = (0,2 ,−1) dan w = (3,0,−2) . Tentukan vektor proyeksi
dan normnya bila vektor u diproyeksikan secara orthogonal terhadap sebuah vektor
yang tegaklurus terhadap vektor v dan w .
5. Diketahui segitiga ABC , A ( 1,2,3 ) , B( -1,2,-3 ) dan C( 1,1,1 ) .
a. Hitung luas ABC
b.Tentukan panjang proyeksi dari sisi AB pada sisi AC.
c. Hitung besar sudut ACB.
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
6. Diketahui vektor a = (1,2,1) , b = (1,−1,1) dan c = (1,3,2)
a. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor a dan c
b. Hitung luas bangun segitiga yang titik sudutnya merupakan ujung-ujung dari
vektor a , b dan c
c. Tentukan vektor proyeksi ortogonal dan panjangnya dari a terhadap b .
d. Hitung besar sudut antara vektor b dan c
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung