PERKALIAN TITIK Operasi perkalian pada vektor akan terjadi antara

Matematika Teknik
PERKALIAN TITIK
Operasi perkalian pada vektor akan terjadi antara skalar ( bilangan real ) dengan
vektor dan antara dua vektor. Perkalian antara skalar, t
dengan vektor akan
menghasilkan sebuah vektor dengan komponennya merupakan hasilkali komponen
vektor semula
dengan t. Misal diberikan vektor di bidang, x = (a, b ) . Maka
t x = (ta, tb) . Sedangkan perkalian antara dua vektor dibedakan menjadi dua yaitu
perkalian titik dan Perkalian silang.
Hasilkali titik atau dot product antara dua buah vektor akan menghasilkan
_
_
suatu skalar atau bilangan real ( ℜ ). Misal diberikan dua buah vektor a dan b . Maka
_
_
hasilkali titik antara a dan b didefinisikan :
_ _
_ _

 0 , a = 0 atau b = 0
a •b = 
_ _
_
 a b cosθ, a ≠ 0 dan b ≠ 0

_
_
_
_
dengan θ merupakan sudut yang dibentuk oleh a dan b . Besar θ ∈ [ 0, π ].
Sifat yang dapat diturunkan dari definisi di atas sebagai berikut :
1. Bila a • b > 0 maka θ merupakan sudut lancip.
2. Bila a • b < 0 maka θ merupakan sudut tumpul.
_
_
3. Bila a • b = 0 maka θ = ½ π atau a dan b saling orthogonal / tegak lurus .
Misal diberikan dua buah vektor yang diketahui komponen-komponennya.
Maka rumus untuk menghitung hasilkali titik dapat diturunkan dari aturan cosinus suatu
segitiga. Misal diberikan segitiga ABC dengan a, b dan c berturut-turut merupakan
panjang sisi BC, AC dan AB. Bila sudut α , β dan γ berturut - turut merupakan sudut
BAC, ABC dan ACB, maka aturan cosinus segitiga :
a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos β
c2 = b2 + a 2 − 2 ab cos γ
Menggunakan aturan di atas, didapatkan rumusan untuk perkalian titik antara
_
_
vektor a dan b sebagai berikut:
a • b = x1 x2 + y1 y2 ; a = (x1 , y1 ) dan b = (x2 , y2 )
a • b = x1 x2 + y1 y2 + z1z2 ; a = ( x1 , y1 , z1 ) dan b = ( x2 , y2 , z2 )
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
Contoh :
Diketahui dua buah vektor a = (2,0,3) dan b = (− 3,2,−1) . Hitunglah hasilkali titik dan
tentukan berapa besar cosinus sudut antara dua vektor tersebut.
Jawab :
a •b = 2(− 3) + 0 + 3(− 1) = −9
a = 13 dan b = 14
Misal θ sudut antara dua vektor. Maka cos θ =
a•b
a b
=
−9
182
Proyeksi Ortogonal
Misal vektor u diproyeksikan secara orthogonal / tegak lurus terhadap vektor
v . Maka didapatkan vektor w1 yang berlaku w1 = k v dengan k skalar. Bila vektor
w2
merupakan bagian dari vektor u yang orthogonal terhadap vektor v maka
didapatkan u = w1 + w2 . Dari hasilkali titik antara u dan v didapatkan besar skalar k
sebagai berikut :
(
)
u • v = w1 + w2 • v = k v
k=
2
u•v
v
2
Oleh karena itu, vektor proyeksi dari vekotr u terhadap vektor v dituliskan :
u•v
w1 = proyv u =
2 v
v
()
Panjang vektor proyeksi dari vekotr u terhadap vektor v :
u•v
w1 = proyv u =
v
()
Bagian vektor u yang orthogonal terhadap v :
u• v
w2 = u − w1 = u −
2 v
v
Contoh :
Diketahui u dan v berturut-turut merupakan vektor posisi titik A ( 2,-5 ) dan B ( 1,1 ).
Tentukan vektor proyeksi ortogonal dari u terhadap v dan panjangnya.
Jawab :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
Misal w1 merupakan vektor proyeksi ortogonal dari u
u • v = −3 .
Maka
()
w1 = proyv u =
u•v
v
()
proyeksi, w1 = proyv u =
u •v
v
=
2
terhadap
v,
v =
29 dan
−3
(1,1) =  − 3 , − 3  . Panjang vektor
29
 29 29 
v=
3
29
Soal latihan
1. Hitung a • b bila :
a. a = (1,−3) dan b = ( 3,1)
b. a = (2 ,1,−3) dan b = (3,1,1)
(
)
2. Tentukan nilai k agar a = ( k + 1,1,−3) dan b = 1,1, k 2 :
a. Membentuk sudut tumpul
b. saling tegak lurus.
3. Diketahui vektor u = (4 ,−2 ,1) dan v = (0,2 ,−1) . Tentukan :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Vektor proyeksi orthogonal dari u terhadap v
Vektor proyeksi orthogonal dari v terhadap u
Panjang vektor proyeksi orthogonal dari u terhadap v
Panjang Vektor proyeksi orthogonal dari v terhadap u
Bagian dari v yang tegak lurus terhadap u
Bagian dari u yang tgak lurus terhadap v
4. Diketahui segitiga ABC dengan A( 2,1 ), B( 0,3 ) dan C ( -2,-1 ). Tentukan besar
cosinus sudut segitiga tersebut !
5. Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut A(-2,7,1 ), B ( 3,4,5 ) dan C ( -2,1,1 ).
Misal vektor u dan v berturut-turut sebagai vektor posisi dari ruas garis AB dan
BC. Hitung panjang proyeksi ortogonal dari vektor v terhadap u .
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung