bab i vektor dalam bidang

BAB I
VEKTOR DALAM BIDANG
I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter
Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter.
;
dan
dalam I
kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang tertutup
,
Tidak sederhana, tidak tertutup Sederhana, tidak tertutup sederhana, tertutup Tidak sederhana, tertutup I.1. Menghilangkan Parameter
Contoh : Hilangkan parameter dari persamaan.
,
,
1 Solusi :
merupakan persamaan parabola dengan puncak di
– ,
.
Contoh : Buktikan bahwa
,
,
Adalah persamaan ellips
Solusi :
2 1.2. Kalkulus untuk Fungsi yang Ditentukan dalam bentuk parameter
Andaikan
dan
jelang
fungsi-fungsi dari yang turunannya kontinu dan
pada
. Maka persamaan parameter.
,
Mendefinisikan
sebagai fungsi dari
dan
⁄
⁄
Contoh : Tentukan turunan pertama dan kedua, yaitu
dan
, untuk fungsi yang
ditentukan oleh :
3
Hitung turunan itu untuk
Solusi : Bila
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
Sehingga untuk
√
, adalah :
,
II. VEKTOR PADA BIDANG
Scalar : Besaran yang dinyatakan oleh suatu bilangan
Vektor : Besaran yang dinyatakan oleh suatu bilangan dan arah
digambarkan
sebagai anak panah.
3 Vektor dapat ditulis dengan huruf tebal
dan
atau
dan .
Besarnya vector
ditulis dengan | |
2.1. Operasi Terhadap Vektor
Contoh : Sebuah benda 200 Newton digantungkan pada dua utas kawat. Tentukan
besarnya tegangan dalam tiap-tiap kawat.
200 | |
| |
| |
| |
W
| |
| |
| |
4 | |
| |
| |
,
| |
Sehingga : | |
,
3. VEKTOR PADA BIDANG : PENDEKATAN SECARA ALJABAR
,
Vektor
dapat dinyatakan secara aljabar dengan pasangan terurut
,
Operasi Pada Vektor Bilangan
,
dan
dan
dinamakan komponen-komponen vector
,
adalah sama, jika dan hanya jika
,
. Dua vektor
dan
.
Sehingga :
,
5 Untuk mengalikan
dengan scalar
adalah
,
,
,
,
,
,
PANJANG DAN HASILKALI TITIK PANJANG
Panjang suatu vektor | | ditentukan oleh :
| |
Misal, jika
Jika
|
| |
|
,
, maka | |
√
dikalikan dengan scalar , maka :
| || |
nilai mutlak , jarak antara titik asal dan
pada garis bilangan
6 | |
panjang
, jarak antara titik asal dan ujung
pada bidang
| | | | , tentukan |
,
Contoh : Bila
|, tentukan pula vektor
yang searah dengan
tetapi dengan panjang 1.
Solusi : | |
dan |
,
,
| |
Perkalian dua vektor
.
.
dan
|
|
|| |
,
dinamakan hasil kali titik, yang dilambangkan dengan .
.
Teorema :
Jika ,
1. .
dan
vektor dan
skalar, maka :
.
2. .
.
.
.
3.
4. .
5. .
Jika
.
| |
dan
adalah vektor tidak nol, maka :
| || |
Dua vektor
dan
sudut antara
dan
tegak lurus jika dan hanya jika .
7 Contoh : Tentukan
,
sehingga
,
dan
tegak lurus.
Solusi : .
,
Contoh : Tentukan sudut antara
.
| || |
Solusi :
,
dan
,
,
VEKTOR BASIS
Andaikan
,
,
dan
dan perhatikan bahwa vektor-vektor ini tegak lurus
dan bahwa panjangnya sama dengan satu. Vektor dan ini dinamakan VEKTOR
,
BASIS, sebab setiap vektor
dapat dinyatakan secara tunggal dengan dan
yaitu :
,
,
,
,
,
Contoh : Tentukan besarnya sudut ABC, dengan
,
,
, dan
,
Solusi :
,
8 ,
| |
; | |
√
.
.
| || |
,
√
,
Andaikan
dan . Scalar | |
sudut antara
dinamakan Proyeksi Skalar
pada
.
Kerja yang dilakukan oleh gaya konstan
hingga
yang menggerakkan sebuah benda dari
adalah besarnya gaya dalam arah gerak dikalikan dengan jarak yang
ditempuh. Jadi apabila
adalah vektor dari
(Proyeksi scalar
)| |
pada
| |
hingga , besarnya kerja adalah :
| |
.
Kerja
Contoh : Sebuah gaya
,
Solusi : Bila
Kerja
hingga
dengan satuan pon memindahkan benda dari
,
. Jarak diukur dengan kaki. Berapakah besarnya…
vektor dari
,
.
hingga
,
maka
, jadi :
pon-kaki
4. FUNGSI BERNILAI VEKTOR DAN GERAK SEPANJANG KURVA
Sebuah fungsi
memadankan setiap anggota dari sebuah himpunan (daerah asal)
dengan nilai tunggal
anggota himpunan lain. Himpunan nilai-nilai demikian
disebut daerah nilai fungsi .
Daerah asal Daerah nilai Daerah asal
Daerah nilai 9 Suatu fungsi
bernilai vektor dengan peubah riil memadankan tiap bilangan riil
. Jadi :
dengan satu vektor
,
,
Missal
KALKULUS FUNGSI VEKTOR
berarti bahwa vector
vektor
menuju ke vektor
atau
.
menuju vektor 0 apabila
apabila menuju
Definisi :
berarti bahwa untuk tiap
0 sedemikian sehingga |
bilangan
saja dipenuhi
|
|
|
|
|
0 ada
|
asal
, yaitu :
|
Teorema :
. Maka
Andaikan
memiliki limit di c jika dan hanya jika f dan g
memiliki limit di c.
Apabila
, maka
,
, tentukan
Contoh : jika
,
, dan sudut
antara
,
10 Solusi :
dan
, jadi :
;
|
,
||
|
√
√
√ √
,
Teorema :
Andaikan F dan G fungsi vektor yang dapat dideferensialkan, h suatu fungsi bernilai
riil yang dapat dideferensialkan dan c sebuah scalar. Maka :
1.
2.
3.
.
4.
5.
.
aturan rantai
, tentukan
Contoh : Jika
a).
; b).
solusi : a).
b).
11 GERAK SEPANJANG KURVA
Andaikan t menggambarkan waktu dan andaikan koordinat sebuah titik P yang
bergerak ditentukan oleh persamaan parameter
,
Maka vektor :
Yang berpangkal dititik asal dinamakan vektor posisi titik P pada saat t . Apabila t
berubah ujung vektor
bergerak sepanjang lintasan titik P.
Lintas ini adalah sebuah kurva dan gerak yang
dijalani oleh P dinamakan gerak sepanjang kurva.
Sejalan dengan gerak linier , maka kecepatan
, dan percepatan
titik P adalah
12 Contoh :
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah
dan
, dengan t menggambarkan waktu
(a) Gambarlah grafik lintasan P.
(b) Tentukan rumus untuk kecepatan
, laju |
| , dan percepatan
.
(c) Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat manakah nilai itu
tercapai.
(d) Buktikan bahwa vektor percepatan yang berpangkal di P selalu menuju ke titik
asal.
Solusi :
(a)
ellips
(b) Vektor posisi
|
|
(c) Karena laju ditentukan oleh
√
, maka nilai maksimum adalah 3 ; pada
.
13 ⁄ atau
yaitu apabila
⁄
yaitu pada titik
Laju minimum, yaitu 2, dicapai pada saat
,
,
pada ellips.
yang memberikan titik-titik
.
(d)
bila pangkal
kita ambil di P, vektor ini akan mengarah ke
ujung akan tepat ada di titik asal. Maka |
,
paling kecil di
| paling besar berada di
,
dan
.
5. KELENGKUNGAN DAN PERCEPATAN
Kelengkungan
seberapa tajam sebuah kurva melengkung
Andaikan untuk
adalah vektor posisi titik
selang
,
pada bidang.
ada dan kontinu dan
Andaikan
,
pada
.
Maka apabila t nilainya naik, P bergerak sepanjang sebuah kurva yang mulus. Panjang
lintasan
dari
ke
ditentukan oleh :
|
|
Laju titik yang bergerak itu adalah :
|
Karena
|
|
|
, maka |
|
0
s naik bila t naik
14 Dengan Teorema fungsi balikan,
|
|
Andaikan T(t) disebut vector singgung satuan di P(t)
|
|
|
|
Contoh : Tentukan kelengkungan dan radius kelengkungan hiposikloid
di titik
dengan
⁄
Solusi : untuk
|
⁄
|
|
|
|
|
|
⁄
|
⁄
.
15