1. Asas Kontinuitas, Bernoulli dan Toricelli

 1. Fluida Dinamis Dalam membahas fluida dinamis atau fluida yang bergerak diasumsikan bahwa fluida adalah fluida ideal dengan ciri ciri Tidak termampatkan (kompressible) artinya fluida tidak mengalami perubahan volume ketika ditekan Tidak kental artinya tidak ada gesekan antara fluida akibat viskositas Alirannya tidak bergolak artinya tidak ada elemen fluida yang memiliki kecepatan sudut tertentu Alirannya tidak bergantung pada waktu (tunak) artinya kecepatan fluida di setiap titik tertentu adalah konstan a. Persamaan Kontinuitas Debit 𝑄 adalah volume fluida yang mengalir per satuan waktu Apabila suatu fluida ideal bergerak atau mengalir di dalam suatu pipa, maka massa fluida yang masuk ke dalam pipa sama dengan massa fluida yang keluar pipa !!
!!
!!!
!!
!!
!!
!!
!!
=
=
!!
!!
!!!
!!
!!
=!
!
!!
=!
!
Dari persamaan di atas menyatakan bahwa debit air yang masuk ke dalam suatu penampang sama dengan debit air yang keluar dari penampang yang lain 𝑉
𝑄 = 𝑡
Sekarang bagaimana dengan kecepatan masuk dan keluar suatu fluida? 𝑄!
!!
!!
!! !!
!!
𝐴! 𝑣!
= 𝑄!
!
= !!
!
=
!! !!
!!
= 𝐴! 𝑣!
Dari persamaan di atas menyatakan hasil kali kecepatan dan luas penampang adalah konstan Kecepatan fluida lebih besar pada penampang yang luasnya lebih kecil atau sebaliknya kecepatan fluida lebih kecil pada penampang yang luasnya lebih besar 𝐴! 𝑣! = 𝐴! 𝑣! Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan kontinuitas b. Asas Bernoulli Air dialirkan pada pipa dari penampang 1 ke penampang 2 dimana luas penampang 1 adalah 𝐴! dan luas penampang 2 adalah 𝐴! Gambar 14 Berdasarkan gambar dan data di atas dapat dibuat kesimpulan pada tabel dibawah Penampang 1 Penampang 2 Luas penampang 𝐴! > 𝐴! Kecepatan 𝑣! < 𝑣! 𝐸𝐾! = ! 𝑚𝑣! ! !
< 𝐸𝐾! = ! 𝑚𝑣! ! ℎ! < ℎ! 𝐸𝑃! = 𝑚𝑔ℎ! < 𝐸𝑃! = 𝑚𝑔ℎ! Energi Kinetik Ketinggian Energi Potensial Energi Mekanik 𝐸𝑀! = 𝐸𝐾! + 𝐸𝑃! < !
𝐸𝑀! = 𝐸𝐾! + 𝐸𝑃! Karena 𝐸𝑀! < 𝐸𝑀! maka air tidak akan naik dari penampang 1 ke penampang 2 kecuali jika ada tekanan 𝑃! pada penampang 1 yang lebih besar dari tekanan 𝑃! pada penampang 2 atau 𝑃! > 𝑃! Karena air bergerak dari penampang 1 ke penampang 2 maka Gaya 𝐹! dan tekanan 𝑃! melakukan usaha positif karena searah dengan arah gerak air Gaya 𝐹! dan tekanan 𝑃! melakukan usaha negatif karena berlawanan dengan arah gerak air Usaha pada penampang 1 𝑊! = 𝐹! ∆𝑠!
= 𝑃! 𝐴! ∆𝑠! 𝑊! = 𝑃! 𝑉
Usaha total pada fluida adalah 𝑊 = 𝑊! + 𝑊!
= 𝑃! 𝑉 − 𝑃! 𝑉
= 𝑃! − 𝑃! 𝑉 !
𝑊 = 𝑃! − 𝑃! !
Perubahan energi kinetik !
!
∆𝐸𝐾 = ! 𝑚𝑣! ! − ! 𝑚𝑣! !
!
∆𝐸𝐾 = ! 𝑚 𝑣! ! − 𝑣! !
Substitusi 𝑊
= ∆𝐸𝐾 + ∆𝐸𝑃
!
!
𝑃! − 𝑃! !
= ! 𝑚 𝑣! ! − 𝑣! ! + 𝑚𝑔
𝑃! − 𝑃!
!
!
𝑊!
𝑊!
= −𝐹! ∆𝑠!
= −𝑃! 𝐴! ∆𝑠! = −𝑃! 𝑉
Perubahan energi potensial ∆𝐸𝑃
∆𝐸𝑃
= 𝑚𝑔ℎ! − 𝑚𝑔ℎ!
= 𝑚𝑔 ℎ! − ℎ!
ℎ! − ℎ!
!
= ! 𝑣! ! − 𝑣! ! + 𝑔 ℎ! − ℎ!
!
𝑃! − 𝑃!
= ! 𝜌 𝑣! ! − 𝑣! ! + 𝜌𝑔 ℎ! − ℎ!
𝑃! − 𝑃!
= ! 𝜌𝑣! ! − ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ! − 𝜌𝑔ℎ!
!
𝑃! + ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ!
Usaha pada penampang 2 !
!
!
= 𝑃! + ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ!
Persamaan ini dikenal dengan persamaan Bernoulli 1
1
𝑃! + 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ! = 𝑃! + 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ! 2
2
Ada dua hal khusu untuk persamaan Bernoulli Fluida tidak bergerak Fluida tidak bergerak jika 𝑣! = 𝑣! = 0 sehingga !
!
𝑃! + ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ! = 𝑃! + ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ!
!
𝑃! + ! 𝜌 0
!
+ 𝜌𝑔ℎ!
!
= 𝑃! + ! 𝜌 0
!
+ 𝜌𝑔ℎ!
𝑃! + 𝜌𝑔ℎ!
= 𝑃! + 𝜌𝑔ℎ!
𝑃! − 𝑃!
= 𝜌𝑔ℎ! − 𝜌𝑔ℎ!
𝑃! − 𝑃!
= 𝜌𝑔 ℎ! − ℎ!
Persamaan di atas adalah bentuk lain tekanan hidrostatis Fluida bergerak dengan dalam pipa horisontal Fluida tbergerak horisontal jika ℎ! = ℎ! = ℎ sehingga !
!
𝑃! + ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ! = 𝑃! + ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ!
!
!
!
!
!
!
𝑃! − 𝑃!
= ! 𝜌𝑣! ! − ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ! − 𝜌𝑔ℎ!
𝑃! − 𝑃!
= ! 𝜌𝑣! ! − ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ − 𝜌𝑔ℎ 𝑃! − 𝑃!
= ! 𝜌𝑣! ! − ! 𝜌𝑣! !
!
𝑃! − 𝑃!
= ! 𝜌 𝑣! ! − 𝑣! !
Persamaan di atas menyatakan Jika 𝑣! < 𝑣! , maka 𝑃! > 𝑃! yang mana berarti pada tempat yang kelajuan alirnya lebih besar maka tekanannya lebih kecil dan sebaliknya juga berlaku 1
𝑃! − 𝑃! = 𝜌 𝑣! ! − 𝑣! ! 2
c. Persamaan Toricelli Penerapan sederhana persamaan Bernoulli pada tangki berlubang untuk menentukan kecepatan semburan air Tekanan pada permukaan atas tangki dan tekanan pada lubang pada sisi tangki adalah sama yaitu tekanan udara atau atmosfer yaitu 𝑃 Karena luas penampang permukaan tangki sangat besar dibandingkan luas permukaan lubang pada sisi tangki sehingga kelajuan turunnya permukaan air di tangki sangat kecil dibanding kelajuan keluarnya air pada sisi tangki sehingga kelajuan turunnya permukaan air pada tangki bisa diabaikan atau 𝑣 = 0 Untuk acuan ketinggian diambil pada dasar tangki dimana ℎ = 0 Gambar 15 Sesuai persamaan Bernoulli !
!
𝑃! + ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ! = 𝑃! + ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ!
!
𝑃 + ! 𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ!
!
!
!
!
!
!
+ 𝜌𝑔ℎ
𝜌𝑣! ! + 𝜌𝑔ℎ!
= 𝜌𝑔ℎ
𝜌𝑣! !
= 𝜌𝑔ℎ − 𝜌𝑔ℎ!
𝜌𝑣! !
!
!
!
= 𝑃 +!𝜌 0
𝑣
! !
𝑣! !
!
= 𝜌𝑔 ℎ − ℎ!
= 𝑔 ℎ − ℎ!
= 2𝑔 ℎ − ℎ!
𝑣!
= 2𝑔 ℎ − ℎ!
Kecepatan keluarnya air dari tangki yang tingginya ℎ pada lubang yang tingginya ℎ! dari dasar tangki adalah 𝑣! =
2𝑔 ℎ − ℎ! Kecepatan air keluar dari tandon adalah kecepatan dalam arah horisontal dan merupakan GLB karena percepatan dalam arah horisontal nol Sedang kecepatan awal dalam arah vertikal nol 𝑣!! = 0 dan mendapatkan percepatan gravitasi bumi dan merupakan GLBB Waktu yang diperlukan oleh air Jarak horisontal antara lubang mulai keluar dari lubang sampai dengan titik jatuh air di tanah ke tanah adalah adalah 𝑣!
=
2𝑔 ℎ − ℎ!
=
2𝑔 ℎ − ℎ!
ℎ!
= 𝑣!! 𝑡 + 𝑔𝑡 !
!
!!
!
ℎ!
!
!
= 0 𝑡 + ! 𝑔𝑡 !
𝑥!
= 𝑡 2𝑔 ℎ − ℎ!
ℎ!
= ! 𝑔𝑡 !
𝑥!
=
!!!
𝑥!
=
!!!
𝑥!
=
4ℎ! ℎ − ℎ!
𝑥!
= 2 ℎ! ℎ − ℎ!
!
!!!
!
!!!
!
= 𝑡!
=𝑡
!
!
× 2𝑔 ℎ − ℎ! ×2𝑔 ℎ − ℎ!
Jarak horisontal antara lubang dengan titik jatuh air pada tanah adalah 𝑥! = 2 ℎ! ℎ − ℎ!