VEKTOR
advertisement
VEKTOR
Definisi Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar
dan arah
Besar vektor artinya panjang vektor
Arah vektor artinya sudut yang dibentuk dengan
sumbu X positif
Vektor disajikan dalam bentuk ruas garis
berarah
2
Gambar Vektor
B
u
45
A
X
ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung
Notasi Penulisan Vektor
Bentuk vektor kolom:
3
u
4
atau
1
PQ 2
0
Bentuk vektor baris:
AB 3, 4 atau v 2, 3, 0
Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k
VEKTOR DI
2
R
Vektor di R2 adalah
vektor yang terletak di satu Bidang
Atau
Vektor yang hanya mempunyai
dua komponen yaitu x dan y
VEKTOR DI R2
Y
A(x,y)
yQ
j
a
x
O
i
P
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y
X
OP PA OA
OP OQ OA
OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj
Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z
Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
Z
S
zk
O
xi
P
X
T(x,y,z)
yj
Q
Y
OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT
Z
S
zk
t
O
xi
X P
T(x,y,z)
Jadi
yj
OT = xi + yj + zk
Y
Q
R(x,y) atau t = xi + yj + zk
Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’
a1
Di R2, panjang vektor: a
a2
atau a = a1i + a2j
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
a a1 a 2
2
2
x
Di R3 , panjang vektor: v y
z
atau v = xi + yj + zk
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
v x y z
2
2
2
Contoh:
3
1. Panjang vektor: a 4
2
2
a
3
4
adalah
= 25 = 5
2. Panjang vektor: v 2i j - 2k
adalah v 2 1 (2)
2
= 9 = 3
2
2
Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang
panjangnya satu
Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k
1
0
0
i 0 , j 1 dan k 0
0
0
1
ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real
Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
a1 = b1
Jika: a = b , maka
a2 = b2
dan
a3 = b3
Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila
besar dan arahnya sama.
Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
Jika u = v, maka
|u| = |v|
arah u = arah v
a=c dan b=d
18
a
b
Dua vektor sama,
a=b
a
b
a
b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a
b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
19
Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....
Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a=b
1=x-y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y; y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5
Penjumlahan Vektor
Misalkan:
a1
b1
a a 2 dan b b 2
b
a
3
3
Jika: a + b = c , maka vektor
a1 b1
c a 2 b2
a b
3
3
Contoh
3
a - 2p Diketahui:
-1
dan
Jika a + b = c , maka p – q =....
p
b 6
3
5
c 4q
2
jawab:
a+b=c
3 p 5
- 2p 6 4q
-1 3 2
3 p 5
2 p 6 4 q
(1) 3 2
3 p 5
2 p 6 4 q
(1) 3 2
3 + p = -5 p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½
Pengurangan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k
dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 b3)k
Perhatikan gambar:
Y
B(2,4)
vektor AB =
b
A(4,1) vektor posisi:
a
O
- 2
3
X
titik A(4,1) adalah:
2
titik B(2,4) adalah: b
4
4
a
1
vektor AB =
4
a
1
- 2
3
2
b
4
2 4
b a
4 1
- 2
3
AB
Jadi secara umum: AB b a
Contoh 1
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan
B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB
Jawab: AB b a
1 3 2
2 - 5 3
4 2 2
2
Jadi AB 3
2
Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)
1
Jawab: P(1,2,-2) p 2
2
1
Q(-1,3,0) q 3
0
- 1 1 2
PQ = q – p =
3 - 2 1
0 - 2 2
2
PQ 1
2
PQ 2 (1) (2)
2
Jadi PQ 9 3
2
2
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
a1
Misalkan: a a 2
a
3
dan
m = bilangan real
Jika: c = m.a, maka
a1 m.a1
c m a 2 m.a 2
a m.a
3
3
Contoh
2
2
Diketahui: a - 1 dan b - 1
6
4
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab: x1
2 x1 2
misal x x
1 2 x 3 1
2
x
3
6
2
x
3
4
2 x1 2
1 2 x 2 3 1
6 x 4
3
2 2 x1 6
1 2 x2 3
6 2 x 12
3
2 – 2x1 = 6 -2x1 = 4 x1= -2
-1 – 2x2 = -3 -2x2 = -2 x2 = 1
6 – 2x3 = 12 -2x3 = 6 x3 = -3
Jadi
2
vektor x 1
3
Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0
Vektor nol disebut elemen identitas
u+0=0+u=u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –
u adalah invers aditif u yang didefinisikan
sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi
arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
36
Sifat-Sifat Operasi Vektor
•
•
•
•
•
•
•
•
Komutatif a + b = b + a
Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c)
Elemen identitas terhadap penjumlahan
Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor
Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
37
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)
•
•
•
•
•
•
(mn)u = m(nu)
|mu| = |m||u|
(-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Distributif : m(u+v) = mu + mv
u+(-1)u = u + (-u) = 0
38
Dot Product (Inner Product)
• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a
dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut
antara keduanya.
a b | a || b | cos
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
maka :
a b a1a 2 b1b2 c1c2
a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
39
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot
Product
• Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
a b
a b
cos
| a || b |
a a bb
40
Contoh Perkalian Dot Product
• a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]
• Hitung sudut antara dua vektor tsb
41
