MATERI I : VEKTOR Pertemuan-01 1.1 Pendahuluan Definisi Vektor

MATERI I : VEKTOR
Pertemuan-01
1.1
Pendahuluan
Definisi
Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan
pergeseran merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki
besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif.
Vektor dikatakan berada di ruang – n ( Rn ) jika vektor tersebut mengandung n
komponen. Jika vektor bearada di R2 maka dikatakan vektor berada di bidang,
sedangkan jika vektor berada di R3 maka dikatakan vektor berada di ruang.
Secara geometris, di bidang dan di ruang vektor merupakan segmen garis
berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan
dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis
Contoh 4.1.1
D
A
C
B
Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor ) seperti AB
, AC dan AD
dengan A disebut sebagai titik awal , sedangkan titik B, C
dan D disebut titik akhir.
Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O ( untuk
vektor di bidang , titik O adalah ( 0,0 )).
1.2
Operasi – operasi pada vektor
A. Penjumlahan dua vektor
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama ,
maka vektor ( u + v ) didefinisikan sebagai vektor yang titik awalnya = titik
awal u dan titik akhirnya = titik akhir v .
Contoh 4.2.1
Perhatikan gambar pada contoh 4.1.1 . Misalkan u = AB dan v = BC , jika
vektor w didefinisikan sebagai w = u + v , maka w akan memiliki titik awal
= A dan titik akhir = C, jadi w merupakan segmen garis berarah AC .
[email protected]
1
B. Perkalian vektor dengan skalar
Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0. Misalkan u
k , k u didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya u kali panjang u
dengan arah :
Jika k > 0 Æ searah dengan u
Jika k < 0 Æ berlawanan arah dengan u
Contoh 4.2.2
Y
2u
u
X
–2u
C. Perhitungan vektor
Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen – komponennya
adalah a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 )
Maka
a + b = (a1 +b1, a2+b2, a3+b3 )
a − b = (a1 – b1, a2 – b2, a3 – b3 )
k . a = ( ka1, ka2, ka3 )
Jika c = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B = ( b1,b2,b3 )
maka
c = (b1 − a1 , b2 − a2, b3 − a3 )
1.3
Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vektor
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya
Diketahui a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 ) ,
Hasil kali titik antara vektor
a dan b didefinisikan sebagai :
a . b =(a1.b1)+ (a2.b2) +(a3.b3)
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut antara
dua vektor
Diketahui a dan b dua buah vektor yang memiliki panjang berturut – turut a
dan b sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah φ , sudut φ
ini terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor pada titik awal yang
sama.
Hasil kali titik antara vektor a dan b didefinisikan sebagai :
a .b = a
b
cos φ , φ ∈ [ 0,π ]
[email protected]
2
Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar.
Dengan mengetahui besarnya φ , akan diketahui apakah hasil kali titik
akan bernilai positif atau negatif
↔
φ lancip , 0 ≤ φ < 90o
a .b > 0
a . b =0
↔
φ = 90o , a dan b saling tegak lurus
a . b <0
↔
φ tumpul, 90o < φ ≤ 180o
Contoh 4.3.1
Diketahui a = ( 1, − 3 ) dan b = ( 3k, − 1 )
Tentukan nilai k agar a dan b saling tegak lurus !
Jawab
Agar a dan b saling tegak lurus, maka haruslah a . b = 0
a . b = 3k +3 = 0 Æ k = − 1
Panjang ( norm ) vektor dan jarak antara dua vektor
Panjang vektor
Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen
a = ( a1,a2,a3 ) didapatkan bahwa
…(1)
a . a = a1 2 + a 2 2 + a 3 2
Dari definisi hasil kali titik lainnya , didapatkan bahwa
a. a = a
a
cos 0 ….(2) , dalam hal ini sudut antara a dan a pastilah
bernilai 0 karena keduanya saling berhimpit.
Dari persamaan 1 dan 2 , didapatkan persamaan berikut :
a
1.4
2
= a . a Æ a = ( a . a )1/2 =
2
2
a1 + a 2 + a 3
2
Proyeksi orthogonal
Diketahui vektor a dan b adalah vektor – vektor pada ruang yang sama seperti
terlihat pada gambar dibawah ini :
w2
a
w1
b
Vektor a disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w 1 dan w 2 ,
jadi dapat dituliskan a = w 1 + w 2 ,Dari proses pembentukannya w 1 juga
disebut sebagai vektor proyeksi orthogonal a terhadap b karena merupakan
[email protected]
3
hasil proyeksi secara orthogonal vektor a terhadap b , sedangkan w 2 disebut
sebagai komponen dari a yang tegak lurus terhadap b .
Karena w 1 merupakan hasil proyeksi di b maka dapat dituliskan w 1 = k b ,
nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w 1 . Jika sudut antara
a dan b adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah
w 1 akan berlawanan dengan arah b .
Menghitung w 1
Untuk menghitung w 1 , harus dihitung terlebih dahulu nilai k. Dengan
menggunakan aturan hasil kali titik , diperoleh :
a . b = ( w1 + w 2 ) . b
= w 1 . b ( karena w 2 dan b saling tegak lurus maka w 2 . b = 0 )
b cos θ
= w1
=
= k b
Jadi k =
b
kb
cos 0 ( sudut yang dibentuk adalah 0 atau 180 )
2
a.b
b
2
w1 = k b =
a.b
b
2
b
Panjang dari w 1 adalah
dan w 2 = a – w 1
a.b
b
Contoh 4.4.1
Diketahui a = ( 4,1,3 ) dan b = ( 4,2,–2 )
Tentukan
a.
Vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b !
b.
Panjang dari vektor proyeksi tersebut !
c.
Komponen dari a yang tegak lurus terhadap b !
Jawab
a.
Misalkan w 1 adalah vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b , maka
w 1 = k b sedangkan k =
a.b
b
2
=
(4.4 + 1.2 + 3. − 2) 12 1
=
=
4 2 + 22 + (− 2) 2
24 2
Jadi w 1 = ½ ( 4,2,–2 ) = ( 2,1,–1 )
b.
c.
Panjang w 1 adalah
a.b
b
=
12
24
=
3
6
Misalkan w 2 merupakan komponen dari a yang tegak lurus terhadap b ,
maka w 2 = a – w 1 = ( 4,1,3 ) – ( 2,1,–1 ) = ( 2,0,2 )
[email protected]
4
VEKTOR
I. KOMPETENSI YANG DICAPAI
Mahasiswa dapat :
1. Menggambar vektor dengan sistem vektor satuan.
2. Menghitung perkalian vektor.
3. Menghitung penambahan vektor dengan aturan segitiga, aturan jajaran
genjang, dan aturan poligon.
4. Menghitung pengurangan vektor.
5. Menghitung panjang vektor dalam ruang.
II. MATERI
A. PENGERTIAN
Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang mempunyai besar dan arah. Secara
grafis suatu vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang mempunyai arah. Besar
atau kecilnya vektor ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan garis.
Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan tanda anak panah.
B
AB = a
Dalam gambar vektor di samping, titik A disebut titik
awal (initial point) dan titik P disebut titik terminal
(terminal point). Pada gambar tersebut vektor dapat
r
ditulis dengan berbagai cara seperti, AB a , a atau a.
Panjang vektor juga dapat ditulis dengan berbagai cara
r
seperti | AB |, | AB |, | a |, | a |, atau | a |.
A
Disini kita akan memakai simbul AB atau a untuk menyatakan vektor dan
| AB | atau | a | untuk menyatakan besaran (modulus) dari vektor tersebut. Contoh
vektor misalnya lintasan, kecepatan, percepatan, dan gaya.
Skalar adalah suatu kuantita yang mempunyai besaran tetapi tidak
mempunyai arah. Suatu skalar adalah bilangan nyata dan secara simbolik dapat
ditulis dengan huruf kecil. Operasi skalar mengikuti aturan yang sama dengan aturan
operasi aljabar elementer.
Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan
Halaman 1
B. VEKTOR SATUAN
Q
Y
pada sistem koordinat kartesean
a
a2 j
P
(0,1)
adalah vektor satuan i . Vektor dari
a1 i
i
diperlukan vektor satuan. Vektor
dari titik (0,0) sampai titik (1,0)
j
(0,0)
Untuk menggambarkan suatu vektor
(1,0)
X
titik (0,0) sampai titik (0,1) adalah
vektor satuan j .
Arah vektor i positif sesuai dengan arah sumbu X positif. Arah vektor j
positif sesuai dengan arah sumbu Y positif. Pada gambar disebelah ini vektor a
dengan titik awal P dan titik akhir Q diuraikan menjadi dua vektor yaitu vektor a1i
dan a 2 j . Vektor a1 dan a 2 disebut komponen vektor a . Besaran a1 dan a 2
disebut komponen skalar a . Secara simbolis vektor a dan komponennya ditulis a
= a1i + a 2 j
C. ALJABAR VEKTOR
Aljabar vektor adalah operasi pada dua atau lebih dari vektor yang meliputi
penambahan, pengurangan dan perkalian. Operasi vektor dapat dilakukan melalui
komponen-komponen skalarnya.
1. Kesamaan Dua vektor
Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta
arahnya sama.
a
b
a = b → jika | a | = | b | dan arah a = arah b
Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan
Halaman 2
2. Vektor Negatif
Vektor – a mempunyai ukuran sama dengan
vektor a tetapi arahnya berlawanan.
a
−a =b
Jika vektor a = - b maka | a | = |- b |.
Vektor negatif sering disebut sebagai vektor
invers.
3. Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika k bilangan real yang positif, maka k u
adalah vektor yang panjangnya k | u | dan
mempunyai
arah
yang
sama
dengan
u.
ku
u
Sedangkan –k u adalah vektor yang panjangnya
k | u | tetapi arah berlawanan dengan u .
4. Penjumlahan Vektor
a) Aturan Segitiga
Perhatikan gambar di samping. Jika AB dan
a +b
BC mewakili a dan b maka AC dikatakan
b
penjumlahan vektor a + b .
a
b) Aturan Jajaran Genjang
AB dan DC mewakili vektor a
a
BC dan AD mewakili vektor b ,
maka AC = a + b
b +a
b
b
a +b
atau AC = b + a .
a
Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan
Halaman 3
c) Aturan Polygon
Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan
aturan poligon.
b
c
a
a +b +c
a
c
a +b
b
5. Selisih Dua Vektor
Selisih dua arah vektor a dan b , dinyatakan sebagai a – b , dapat
dipandang sebagai penjumlahan vektor a dengan invers vektor b yaitu
vektor – b .
Misalkan a – b = c maka c = a +(– b )
Secara diagram selisih dua vektor tersebut seperti gambar berikut.
−b
b
a
c = a −b
a
6. Vektor Nol
Jika vektor a = b maka a – b = 0. 0 disebut vektor nol. Vektor nol tidak
mempunyai besar dan arahnya tak tentu.
Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan
Halaman 4
Dalam aljabar vektor, misalkan vektor a = a1i + a 2 j dan vektor b = b1i + b2 j
maka berlaku aturan :
a). a = b jika dan hanya jika a1i = b1i dan a 2 j = b2 j
b). m. a = m. a1i + m. a 2 j
untuk m suatu skalar
c). a + b = ( a1 + b1 ) i + ( a 2 + b2 ) j
d). a - b = ( a1 - b1 ) i + ( a 2 - b2 ) j
e). a . b = 0
jika a = 0 atau b = 0 atau a tegak lurus dengan b
f). i . i = j . j = 1 dan i . j = 0
g). a . b = ( a1i + a 2 j ) . ( b1i + b2 j ) = a1 . b1 + a 2 . b2
a1 + a2
2
h). | a | =
2
i). ∝ = arc tan ( a2 / a1 )
j). a . b = ⏐ a ⏐⏐ b ⏐ cos γ
D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI
Z
Vektor OP disefinisikan oleh komponen-
P
c
O
komponenya :
r
a sepanjang OX
b
Y
a
b sepanjang OY
c sepanjang OZ
L
X
Misalkan
i = vektor satuan dalam arah OX
j = vektor satuan dalam arah OY
k = vektor satuan dalam arah OZ
maka :
OP = ai + bj + ck
OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2
Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan
Halaman 5
OP2 = a2 + b2 + c2
jadi
r = ai + bj + ck
Contoh penyelesaian soal :
1. Diketahui vektor a = 3i + 4j dan vektor b = 2i + j. Hitunglah harga-harga : a +
b ; b + a ; a – b ; b – a ; a . b ; sudut a ; sudut b ; a . b dan b . a .
Jawab :
Dari vektor a dan b tersebut dapat diketahui bahwa a1 = 3 ; a 2 = 4 ; b1 = 2
dan b2 = 1 , sehingga diperoleh :
a). a + b = ( a1 + b1 ) i + ( a 2 + b2 ) j = ( 3 + 2 ) i + ( 4 + 1 ) j = 5i + 5j
b). b + a = ( b1 + a1 ) i + ( b2 + a 2 ) j = ( 2 + 3 ) i + ( 1 + 4 ) j = 5i + 5j
c). a – b = ( a1 – b1 ) i + ( a 2 – b2 ) j = ( 3 – 2 ) i + ( 4 – 1 ) j = i + 3 j
d). b – a = ( b1 – a1 ) i + ( b2 – a 2 ) j = ( 2 – 3 ) i + ( 1 – 4 ) j = -i – 3j
2
2
e). ⏐ a ⏐ =
a1 + a 2
f). ⏐ b ⏐ =
b1 + b2 = 2 2 + 12 = 4 + 1 = 5
2
=
32 + 4
2
=
9 + 16 = 25 = 5
2
g). Sudut a adalah ∝ = arc tan ( a 2 / a1 ) = arc tan ( 4/3 ) = 53,1301° atau ∝
= 53° 7’ 48.36”
h). Sudut b adalah ß = arc tan ( b2 / b1 ) = arc tan ( ½ ) = 26,565051° atau ß
= 26° 33’ 54,18’
i). a . b = a1 . b1 + a 2 . b2 = 3 . 2 + 4 . 1 = 6 + 4 = 10
j). b . a = b1 . a1 + b2 . a 2 = 2 . 3 + 1 . 4 = 6 + 4 = 10
Jawaban i). dan j). dapat juga menggunakan aturan
a . b = a . b cos γ.
dalam hal ini γ adalah sudut antara a dan b .
Dengan aturan tersebut diperoleh :
a . b = a . b cos γ = 5 5 cos (∝ - ß) = 5. 5 cos (53,13 – 26,56)
= 5.
5 cos 26,57 = 5.
5 . 0,894427191 = 10
Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan
Halaman 6
b . a = b . a cos γ =
5 . 5 cos (ß - ∝)
5 . 5 cos (-26,57) = 10
2. Diketahui vektor-vektor a , b dan c seperti di bawah ini .
Lukislah secara grafis operasi vektor : a - b +2. c dan 3 c - 0,5(2 a - b ).
Jawab :
a - b +2. c = a + (- b ) + 2 . c
2c
a
−b
b
a
c
a − b + 2c
3 c - 0,5(2 a - b ) = 3 c + [-0,5{2 a + (- b )}]
−b
a
b
c
3c
1/2(2 a +(- b )
2a − b
2a
Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan
3 c + [-0,5{2 a + (- b )}]
Halaman 7
Soal-soal vektor :
1. Gambarlah vektor-vektor dibawah ini pada koordinat kartesean.
a). a = 4i+5j
b). b = -4i+5j
c). c = -4i–5j
d). d = 4i – 5j
2. Gambarlah dan tuliskan dalam bentuk vektor ai + bj yang memiliki ketentuan
sebagai berikut :
a. Dari titik sumbu ( 0 , 0 ) ke titik ( 2 ; -3 )
b. Dari titik ( 2 ; 3 ) ke titik ( 4 ; 2 )
c. Mempunyai besar 6 dengan arah 150°
3. Diketahui vektor a = 1,5 i +
Hitunglah : a. a + b
3 j dan vektor b =
b. a – b
2 - 5j
c. a . b
4. Vektor a = 3i + 4j ; vektor b = 2i + 5j dan vektor c = -5i + 3j.
Hitunglah : a. a + b
b. a + b + c
c. a . b . c
5. Hitunglah kerja yang dilakukan vektor 6i + 8j pada vektor 2i + 3j.
6. tentukan besarnya sudut pada vektor-vektor i + j ; 2i – 3j dan 5j.
7. Vektor a = 1i + 5j, vektor b = -5i – 7j dan vektor c = 3i – 7j.
Gambarlah : a. 2 . a – b + c
b. b – 0.25 ( a –2. c )
Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan
c. a + b +3 c
Halaman 8