sifat œ sifat ruang vektor atas lapangan

SIFAT–SIFAT RUANG VEKTOR
ATAS LAPANGAN (FIELD)
Muhamad Zaki Riyanto
NIM: 02/156792/PA/08944
E-mail: [email protected]
http://zaki.math.web.id
Dosen Pembimbing: Prof. Dr. Sri Wahyuni
Pendahuluan
Sebelum melangkah lebih jauh untuk membahas sifat-sifat ruang vektor,
perlu diberikan terlebih dahulu beberapa definisi dan teorema yang mendasarinya.
Pembaca diharapkan telah memahami beberapa konsep strukur aljabar seperti
grup, gelanggang dan lapangan. Diberikan suatu himpunan V dan suatu lapangan
F. Elemen dari V disebut vektor dan elemen dari F disebut skalar.
Ruang vektor mempunyai dua operasi biner, yaitu “+” dan “.” yang
masing-masing menotasikan operasi penjumlahan dua vektor dan operasi
perkalian antara suatu vektor dan skalar. Berikut diberikan definisi dari ruang
vektor.
DEFINISI 1:
Himpunan V disebut ruang vektor (vector space) atas lapangan F jika
terhadap operasi biner “+” dan “.” memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini.
Untuk setiap u , v, w ∈ V dan k , l ∈ F ,
1) u + v ∈ V ,
2) u + v = v + u ,
3) u + (v + w) = (u + v) + w ,
4) terdapat suatu elemen 0 ∈ V sedemikian sehingga u + 0 = u ,
Copyright © 2007 http://zaki.math.web.id
1
5) terdapat −u ∈ V sedemikian sehingga u + (−u ) = 0 ,
6) k .u ∈ V ,
7) untuk suatu skalar 1 ∈ F ,1.u = u ,
8) k .(u + v) = k .u + k .v ,
9) (k + l ).u = k .u + l.u ,
10) (kl ).u = k .(l.u ) .
Aksioma 1 – 5 menunjukkan bahwa (V , + ) merupakan grup abelian (grup
yang komutatif) terhadap operasi penjumlahan vektor. Aksioma 4 menunjukkan
adanya vektor nol yaitu 0 ∈ V yang menjadi elemen identitas terhadap operasi
penjumlahan. Aksioma 5 menunjukkan adanya
elemen invers untuk setiap
vektornya yaitu vektor −u . Aksioma 6 menunjukkan bahwa V tertutup terhadap
operasi perkalian skalar. Aksioma 8 dan 9 menunjukkan sifat distributif. Dan
aksioma 10 menunjukkan bahwa operasi perkalian skalar bersifat assosiatif.
CONTOH 1:
Diberikan M m×n ( ℝ ) himpunan semua matriks berukuran m × n atas ℝ dan
lapangan ℝ dari bilangan-bilangan real terhadap operasi “+” dan “.”. Jika
didefinisikan:
⊕ : operasi penjumlahan matriks
⊙ : operasi perkalian skalar dengan matriks,
maka M m×n ( ℝ ) merupakan ruang vektor atas lapangan ℝ .
TEOREMA 1:
Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas lapangan F, u vektor pada V
dan sebuah skalar k ∈ F . Maka
1) 0.u = 0 .
2) k .0 = 0 .
3) (−1).u = −u .
4) Jika k .u = 0 , maka k = 0 atau u = 0 .
Copyright © 2007 http://zaki.math.web.id
2
DEFINISI 2:
Subset W dari suatu ruang vektor V disebut subruang V jika W merupakan
ruang vektor terhadap operasi yang sama pada ruang vektor V.
Berikut ini deberikan sebuah teorema yang dapat digunakan untuk
menunjukkan bahwa suatu subset dari ruang vektor itu merupakan subruang dari
ruang vektor tersebut. Jadi, untuk menunjukkan bahwa subset tersebut adalah
subruang tidak harus menunjukkan ke sepuluh aksioma di atas (definisi 1)
berlaku.
TEOREMA 2:
Jika W adalah subset tidak kosong dari suatu ruang vektor V, maka W
merupakan subruang V jika dan hanya jika dipenuhi sifat-sifat di bawah ini
1) untuk setiap u , v ∈ V , maka u + v ∈ W ,
2) untuk setiap k ∈ F dan u ∈ W , maka k .u ∈ W .
Setiap ruang vektor pada V mempunyai paling sedikit dua subruang, yaitu
V sendiri dan himpunan {0} yang elemennya hanya vektor nol saja, subruang ini
sering disebut dengan subruang nol.
TEOREMA 3:
Jika V ruang vektor atas lapangan F, dan U, W subruang dari V, maka
1) U ∩ W subruang dari V.
2) U + W = {u + w : u ∈ U , w ∈ W } subruang dari V.
Perhatikan sistem persamaan linear berikut.
a11 .x1 + a12 .x2 + ... + a1n .xn = b1
a21.x1 + a22 .x2 + ... + a2 n .xn = b2
⋮
⋮
⋮
⋮
am1.x1 + am 2 .x2 + ... + amn .xn = bm
Copyright © 2007 http://zaki.math.web.id
3
 s1 
s 
2
atau, dalam notasi matriks, Ax = b. Suatu vektor s =   pada ℝ n disebut
⋮
 
 sn 
dengan vektor penyelesaian (solution vector) dari sistem persamaan tersebut jika
x1 = s1 , x2 = s2 ,..., xn = sn merupakan penyelesaiannya. Dapat ditunjukkan bahwa
himpunan semua vektor penyelesaian dari sistem homogen tersebut merupakan
subruang dari ℝ n , dan disebut dengan ruang penyelesaian (solution space).
DEFINISI 3:
Suatu vektor w disebut kombinasi linear dari vektor-vektor v1 , v2 ,..., vr jika
vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk
w = k1.v1 + k2 .v2 + ... + kr .vr
dengan k1 , k2 ,..., kr adalah skalar.
DEFINISI 4:
Misal V ruang vektor atas lapangan F, dan S = {v1 , v2 ,..., vr } subset V.
Himpunan W yang elemennya terdiri dari semua kombinasi linear dari vektorvektor di S disebut himpunan yang dibangun oleh v1 , v2 ,..., vr (dibangun oleh S),
dan v1 , v2 ,..., vr membangun/pembangun W, dinotasikan dengan W = span( S ) .
TEOREMA 4:
Jika V ruang vektor atas lapangan F dan S = {v1 , v2 ,..., vr } subset V, maka
1) W = span( S ) subruang V.
2) W merupakan subruang terkecil yang memuat S, yaitu jika terdapat W’
subruang dari V dan S subset W’, maka W subset W’.
3) W = span( S ) = ∩ {U : U subruang V dan S ⊂ U }
yaitu
irisan
semua
subruang dari V yang memuat S.
Copyright © 2007 http://zaki.math.web.id
4
TEOREMA 5:
Misal V ruang vektor atas lapangan F, dan
S = {v1 , v2 ,..., vr } ,
S ′ = {w1 , w2 ,..., wr } subset- subset V. Maka span( S ) = span( S ′) jika dan hanya jika
untuk setiap i, 1 ≤ i ≤ r , berlaku wi ∈ span( S ) dan vi ∈ span( S ′) .
DEFINISI 5:
Misal V ruang vektor atas lapangan F, dan S = {v1 , v2 ,..., vr } subset V.
Himpunan S dikatakan bebas linear jika k1.v1 + k2 .v2 + ... + kn .vn = 0 hanya
mempunyai penyelesaian k1 = k2 = ... = kn = 0 . Jika terdapat penyelesaian lain
yang tidak nol, maka himpunan S dikatakan tidak bebas linear.
TEOREMA 6:
Misal S = {v1 , v2 ,..., vr } adalah himpunan vektor- vektor di ℝ n . Jika r > n ,
maka S tidak bebas linear.
TEOREMA 7:
Misal V ruang vektor atas lapangan F, S subset V dengan S ≥ 2 , maka
berlaku :
1) S tidak bebas linear jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu vektor
di S yang dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain
di S.
2) S bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dari S yang merupakan
kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain di S.
TEOREMA 7:
Misal V ruang vektor atas lapangan F, S subset V dengan S < ∞ . Jika S
memuat vektor nol, maka S tidak bebas linear.
Copyright © 2007 http://zaki.math.web.id
5
DEFINISI 6:
Misal V ruang vektor atas lapangan F dan S = {v1 , v2 ,..., vr } subset V. Jika
S bebas linear dan span(S) = V, maka S disebut basis untuk V.
TEOREMA 8:
Misal V ruang vektor atas lapangan F dan S = {v1 , v2 ,..., vn } basis untuk V
dan S ′ = {w1 , w2 ,..., wm } subset V.
1) Jika m > n , maka S ′ tidak bebas linear.
2) Jika m < n , maka span( S ′) ≠ V .
3) Jika S ′ = {w1 , w2 ,..., wm } basis untuk V, maka n = m.
DEFINISI 7:
Dimensi dari suatu ruang vektor V atas lapangan F, ditulis dim(V)
didefinisikan sebagai banyaknya vektor dalam basis untuk V. Dimensi dari ruang
vektor nol didefinisikan dengan 0.
TEOREMA 9:
Misal V ruang vektor atas lapangan F, S subset tak kosong dari V.
1) Jika S bebas linear dan v ∈ V , v ∉ span( S ) , maka S ∪ {v} bebas linear.
2) Jika v ∈ S dan v dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari vektor –
vektor yang lain di S, maka span ( S − {v} ) = span( S ) .
TEOREMA 10:
Misal V ruang vektor atas lapangan F dengan dim(V) = n dan
S = {v1 , v2 ,..., vn } subset V, maka S basis untuk V jika span(S) = V atau S bebas
linear.
Copyright © 2007 http://zaki.math.web.id
6
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willey
and Sons, Inc., New York.
Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to Error
Correcting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers,
Massachusetts, USA.
Copyright © 2007 http://zaki.math.web.id
7