Kombinasi Linear, Spanning Set dan Landasan Bagus Sartono [email protected] Outline • Kombinasi Linear • Spanning Set • Ruang Kolom dan Ruang Baris • Kebebasan Linear • Landasan • Landasan Ortogonal Definisi: Jika S S 1 , S 2 ,, S n adalah himpunan terhingga n buah vektor, kombinasi linear dari vektor-vektor anggota S didefinisikan a1 S 1 a2 S 2 an S n sebagai atau n a S i 1 i i dengan ai R i=1,2,…,n misalkan 1 1 0 s 3 , 4 , 1 0 1 0 1 1 0 5 3 2 4 3 1 0 1 0 7 24 2 Kombinasi linear vektor-vektor є S 1 1 0 3 3 0 4 3 1 0 1 0 3 6 0 Ilustrasi 1: 1 2 S 2 , 1 s1 , s 2 0 1 dan 3 a 3 1 Apakah a kombinasi linear dari {s1, s2} ? 1 2 a a1 2 a2 1 .......? 0 1 ambil 3 1 2 a 3 1 2 1 1 1 0 1 Jika kita bisa menemukan a1 dan a2, maka a kombinasi linear dari {s1, s2} Karena ada a1 dan a2, maka a kombinasi linear dari {s1, s2} Ilustrasi 2: 1 2 S 2 , 1 s1 , s 2 0 1 3 b 2 0 1 2 b b1 2 b2 1 .......? 0 1 Apakah b kombinasi linear dari {s1, s2} ? Kita periksa apakah SPLnya konsisten atau tidak 1 2 A 2 1 0 1 r(A)=2 1 2 3 A | y 2 1 2 0 1 0 r(AIy)=3 Karena r(A) ≠ r(A|y), maka kita tidak dapat menemukan nilai b1 dan b2 yang memenuhi SPL tersebut. Maka b bukan kombinasi linear dari {s1, s2} Spanning Set Perhatikan kembali ruang vektor a R v ; a, b R b 2 1 0 andaikan K , 0 1 Bisa ditunjukkan bahwa setiap v R2 dapat dituliskan sebagai kombinasi linear vektor-vektor di K a 1 0 a b b 0 1 Contoh Lain (1) 1 1 M , 0 2 Andaikan 4 1 1 1 3 6 0 2 4 5 3 1 5 1 2 0 2 2 a 1 b 1 b a 2 b 0 2 2 Setiap v R2 bisa dituliskan sebagai kombinasi linear vektor di M Contoh lain (2) ambil 1 2 W , 2 4 5 1 2 5 0 10 2 4 5 1 2 ? ? 5 2 4 Tidak ada Tidak semua v R2 bisa dituliskan sebagai kombinasi linear vektor-vektor di W 1 0 A , 0 0 3 1 0 3 10 0 0 0 3 1 0 ? ? 1 0 0 Tidak ada Tidak semua v R2 bisa dituliskan sebagai kombinasi linear vektor-vektor di A Spanning Set (gugus yang merentang) • Definisi Sebuah gugus vektor S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai gugus yang merentang ruang vektor V, jika dan hanya jika setiap v V dapat dituliskan sebagai kombinasi linear vektor-vektor di S • Lihat kembali contoh di slide sebelumnya – K dan M adalah spanning set bagi R2 – A dan W bukan merupakan spanning set bagi R2 Ruang Kolom dan Ruang Baris • Kolom-kolom dari sebuah matriks A membentuk himpunan vektor. Ruang yang direntang oleh himpunan vektor tersebut dinamakan RUANG KOLOM MATRIKS A. • Baris-baris dari sebuah matriks A juga merupakan himpunan vektor. Ruang yang direntang oleh himpunan vektor tersebut dinamakan RUANG BARIS MATRIKS A. Himpunan vektor yang bebas linear (linearly independent set of vectors) • Sebuah gugus vektor S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai gugus vektor yang bebas linear jika dan hanya jika tidak ada satu pun si S yang dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektorvektor sj S yang lain. • Atau: Sebuah gugus vektor S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai gugus vektor yang bebas linear jika dan hanya jika SPL a1s1 + a2s2 + … + ansn = 0 terjadi jika dan hanya jika a1 = a2 = … = an = 0 • Gugus vektor yang tidak memenuhi kondisi di atas disebut ‘tidak bebas linear’ atau ‘terpaut linear’ Tentukan apakah himpunan berikut BBL atau TPL 1 4 1 S 2 , 5 , 1 3 6 1 2 4 1 M 2 , 5 , 2 3 6 1 Landasan (basis) dari Ruang Vektor • Defininsi S adalah himpunan vektor dan V adalah sebuah ruang vektor. S disebut sebagai landasan (basis) dari ruang vektor V jika dan hanya jika: 1. S merentang ruang vektor V 2. vektor-vektor di S bersifat bebas linear Landasan dari Ruang Vektor • Apa untungnya keberadaan sifat bebas linear pada landasan yang tidak dimiliki oleh sebuah spanning set? • JAWAB: keunikan koefisien kombinasi linearnya. Masih ingat vektor-vektor ortogonal Himpunan Vektor Ortogonal • S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai himpunan vektorvektor yang ortogonal jika dan hanya jika si’sj = 0 untuk semua i ≠ j • S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai himpunan vektorvektor yang ortonormal jika dan hanya jika si’sj = 0 untuk semua i ≠ j dan si’si = 1 untuk semua i = 1, 2, …, n BUKTIKAN • Jika S = {s1, s2 , …, sn} adalah himpunan vektor-vektor yang ortogonal, maka S juga merupakan himpunan vektor-vektor yang bebas linear.