inner product

PERTEMUAN XII
Inner Product
Ortogonal dan Ortonormal
Proses Gram Schmidt
1
INNER PRODUCT
o
o
o
Sebuah perkalian dalam (inner product)
pada sebuah ruang vektor V adalah
sebuah fungsi yang mengawankan
sebuah bilang real dengan setiap
pasang u dan v dalam ruang V
Simbol : < u,v >
Definisi : jika u (u1,u2) dan v (v1,v2),
maka : < u,v > = u1v1 + u2v2
2
HIMPUNAN ORTOGONAL
Sebuah himpunan vektor dalam sebuah
ruang perkalian dalam dinamakan sebuah
himpunan ortogonal jika semua pasangan
vektor yang berada di dalam himpunan
tersebut saling tegak lurus ( ortogonal )
Contoh : jika S = { v1,v2,v3 }, maka
himpunan S dikatakan himpunan
ortogonal jika :
< v1,v2 > = < v2,v3 > = < v1,v3 > = 0
3
HIMPUNAN ORTONORMAL
Sebuah himpunan ortogonal dimana
setiap vektor mempunyai norm 1,
dinamakan himpunan ORTONORMAL
ORTONORMAL
Contoh : jika S = { v1,v2,v3 } adalah
himpunan ortogonal, maka himpunan
S dikatakan himpunan Ortonormal,
jika :
v1  v2  v3  1
4
TEOREMA
Jika S = { v1,v2,…,vr} adalah sebuah
basis ortonormal untuk sebuah ruang
perkalian dalam V dan u adalah
sembarang vektor di dalam V, maka :
u = <u,v1>v1 + <u,v2>v2 + …+ <u,vn>vn
5
PROSES GRAM SCHMIDT
Tujuan : Mengubah himpunan yang
bukan ortonormal menjadi himpunan
yang ortonormal
Andaikan S = {u
{u1,u2, …un} adalah
himpunan yang bukan ortonormal,
maka PGS untuk mengubah menjadi
himpunan ortonormal S’ = {v
{v1,v2, …,vn}
6
LANGKAH LANGKAH PGS
LANGKAH I :
u1
v1 
u1
LANGKAH II :
u2   u2, v1  v1
v2 
u2   u2, v1  v1
LANGKAH III :
u3   u3 , v1  v1   u3 , v2  v2
v3 
u3   u3 , v1  v1   u3 , v2  v2
dst
7