Distribusi Peubah Acak - Chandra Novtiar, M.Si. | Dosen STKIP

Distribusi Peubah Acak
Chandra Novtiar S.Si.,M.Si.
085794801125
[email protected]
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI
BANDUNG
4 April 2017
Garis Besar Pembahasan
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
SUB POKOK PEMBAHASAN
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
DISTRIBUSI PELUANG
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
15
28 Maret 2017
Sub Pokok Pembahasan
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
3
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
1. Peubah Acak
FUNGSI DISTRIBUSI
2. Distribusi Peluang
SOAL-SOAL
LATIHAN
3. Fungsi Distribusi
DAFTAR PUSTAKA
15
28 Maret 2017
Sub Pokok Pembahasan
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
3
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
1. Peubah Acak
FUNGSI DISTRIBUSI
2. Distribusi Peluang
SOAL-SOAL
LATIHAN
3. Fungsi Distribusi
DAFTAR PUSTAKA
15
28 Maret 2017
PEUBAH ACAK
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
Definisi Peubah Acak
Misalkan E adalah suatu eksperimen dengan ruang sampelnya S.
Sebuah fungsi X yang memetakan setiap elemen atau anggota
s ∈ S dengan sebuah bilangan real X (s) dinamakan peubah acak.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
4
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
15
28 Maret 2017
PEUBAH ACAK
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
Definisi Peubah Acak
Misalkan E adalah suatu eksperimen dengan ruang sampelnya S.
Sebuah fungsi X yang memetakan setiap elemen atau anggota
s ∈ S dengan sebuah bilangan real X (s) dinamakan peubah acak.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
4
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
Contoh
DAFTAR PUSTAKA
Misalkan kita melakukan eksperimen E dengan pelemparan dua
uang koin sekaligus. Misalkan X adalah banyaknya “angka
Rp.500” yang muncul dari dua koin tersebut.
Maka ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG}
Rx = Nilai-nilai yang mungkin dari X = {0, 1, 2}
X (AA) = 2, X (AG) = 1, X (GA) = 1, X (GG) = 0
15
28 Maret 2017
PEUBAH ACAK DISKRIT
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
Definisi Peubah Acak Diskrit
Misalkan X adalah peubah acak. Jika banyaknya nilai-nilai yang
mungkin dari X (yaitu, daerah hasil) adalah terhingga ( yaitu
x1 , x2 , · · · , xn ) atau tak terhingga tapi dapat dihitung ( yaitu
x1 , x2 , · · · , xn , · · · ) maka X dinamakan peubah acak diskrit.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
5
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
15
28 Maret 2017
PEUBAH ACAK DISKRIT
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
Definisi Peubah Acak Diskrit
Misalkan X adalah peubah acak. Jika banyaknya nilai-nilai yang
mungkin dari X (yaitu, daerah hasil) adalah terhingga ( yaitu
x1 , x2 , · · · , xn ) atau tak terhingga tapi dapat dihitung ( yaitu
x1 , x2 , · · · , xn , · · · ) maka X dinamakan peubah acak diskrit.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
5
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
Contoh
Dalam contoh di atas X adalah banyaknya muncul “angka
Rp.500”, maka dalam hal ini X merupakan peubah acak diskrit
karena daerah hasilnya (Rx ) merupakan nilai-nilai yang banyaknya
terhingga yaitu (0, 1, 2)
15
28 Maret 2017
PEUBAH ACAK KONTINU
Distribusi Peubah
Acak
Definisi Peubah Acak Kontinu
Misalkan X adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dari
X (yaitu ruang hasil Rx ) merupakan sebuah interval pada garis
bilangan real, maka X dinamakan peubah acak kontinu.
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
6
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
15
28 Maret 2017
PEUBAH ACAK KONTINU
Distribusi Peubah
Acak
Definisi Peubah Acak Kontinu
Misalkan X adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dari
X (yaitu ruang hasil Rx ) merupakan sebuah interval pada garis
bilangan real, maka X dinamakan peubah acak kontinu.
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
6
DISTRIBUSI
PELUANG
Contoh
Misalkan mahasiswa STKIP berjumlah 25000 orang dan para
mahasiswa tersebut diberi nomor induk mahasiswa mulai dari
00001 sampai 25000. Kemudian seorang mahasiswa dipilih secara
acak dan ia diukur berat badannya. Dalam hal ini, ruang
sampelnya adalah : S = {s|s = 00001, 00002, 00003, · · · , 25000}
Misal X menunjukkan berat badan dari mahasiswa yang terpilih,
maka ia bisa ditulis sebagai : X (s), dengan s ∈ S. Diasumsikan
bahwa tidak ada mahasiswa yang beratnya kurang dari 20 kg atau
lebih dari 175 kg, sehingga ruang hasil dari X adalah :
Rx = {x |20 ≤ x ≤ 175}. Karena Rx merupakan sebuah interval,
maka X termasuk ke dalam peubah acak kontinu.
PEUBAH ACAK
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
15
28 Maret 2017
DISTRIBUSI PELUANG
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
Fungsi Peluang
Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan nilai-nilai yang
mungkin adalah x1 , x2 , x3 , · · · kemudian disusun menurut urutan
dari terkecil sampai terbesar. Nilai-nilai tersebut mempunyai
peluang masing-masing P(X = xi ) = p(xi ), untuk i = 1, 2, 3, · · · .
Bilangan p(xi ) untuk i = 1, 2, 3, · · · dinamakan peluang dari xi
dan harus memenuhi syarat-syarat berikut :
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
7
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
a. p(xi ) ≥ 0 untuk semua i
P
b. Untuk i=1 p(xi ) = 1
Fungsi p yang didefinisikan dinamakan fungsi peluang dari
peubah acak X . Kumpulan dari pasangan (xi , p(xi )),
i = 1, 2, 3, · · · kadang-kadang dinamakan distribusi peluang dari
X.
15
28 Maret 2017
DISTRIBUSI PELUANG
Distribusi Peubah
Acak
Fungsi Densitas
Misalkan X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan
dalam himpunan bilangan real. Sebuah fungsi disebut fungsi
densitas dari X , jika nilai-nilanya, yaitu f (x ), memenuhi sifat-sifat
sebagai berikut:
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
8
a. f (xi ) ≥ 0 untuk semua x ∈ (−∞, ∞)
R∞
f (x )dx = 1
−∞
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
b. Untuk
SOAL-SOAL
LATIHAN
c. Untuk setiap a dan b, dengan −∞ < a < b < ∞, maka
Z ∞
P(a ≤ x ≤ b) =
f (x )dx
DAFTAR PUSTAKA
−∞
Jika X adalah peubah acak kontinu serta a dan b adalah dua
konstanta real, dengan a < b, maka:
P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X <
b)
15
28 Maret 2017
FUNGSI DISTRIBUSI
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF
Misalkan X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu.
Kita mendefinisikan F sebagai fungsi distribusi kumulatif dari
peubah acak X , dengan:
F (x )
=
DISTRIBUSI
PELUANG
9
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
P(X ≤ x )
15
28 Maret 2017
FUNGSI DISTRIBUSI
Distribusi Peubah
Acak
FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF DISKRIT
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
Misalkan X adalah peubah acak diskrit, maka fungsi distribusi
kumulatif dari X berbentuk:
P
F (x ) = P(X ≤ x ) = t≤x p(t) untuk −∞ < x < ∞
Dengan p(t) adalah fungsi peluang dari X di t
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
10
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
Jika banyak nilai-nilai dari X adalah berhingga, yaitu
x1 , x2 , x3 , · · · , xn ; maka fungsi distribusinya diberikan dengan :

0
;−∞ < x < x1




p(x
)
;x1 ≤ x < x2

1

p(x
)
+
p(x
)
;x
1
2
2 ≤ x < x3
F (x ) =

.
.

..

;..



p(x1 ) + p(x2 ) + · · · + p(xn ) ;xn ≤ x < ∞.
15
28 Maret 2017
FUNGSI DISTRIBUSI
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
Nilai F (x ) yaitu fungsi distribusi dari peubah acak diskrit X
memenuhi syarat-syarat sebagai berikut :
DISTRIBUSI
PELUANG
11
a. F (−∞) = 0
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
b. F (∞) = 1
DAFTAR PUSTAKA
c. Jika a ≤ b, maka F (a) ≤ F (b) untuk setiap bilangan real a
dan b
15
28 Maret 2017
FUNGSI DISTRIBUSI
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF KONTINU
Misalkan X adalah peubah acak kontinu, maka fungsi distribusi
kumulatif dari X berbentuk:
R∞
F (x ) = P(X ≤ x ) = −∞ f (t)dt
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
DISTRIBUSI
PELUANG
12
dengan f (t) adalah nilai fungsi densitas dari X di t
Penghitungan peluang dari peubah acak yang mempunyai nilai
dalam interval dapat dilakukan berdasarkan fungsi peluang atau
fungsi densitas. Baik peubah acak diskrit maupun kontinu bisa
menggunakan rumus:
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) , dengan a, b ∈ < dan a < b
Peubah acak yang berharga satu nilai menggunakan rumus:
P(X = b) = Fx (b) − Fx (b−)
15
28 Maret 2017
SOAL-SOAL LATIHAN
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
1. Dilakukan pelemparan dua buah mata uang Rp.500 yang
seimbang sekaligus. Jika peubah acak X menunjukkan
banyak huruf “BANK INDONESIA" yang muncul, maka
tentukan distribusi peluang dan fungsi distribusi dari X !
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
13
SOAL-SOAL
LATIHAN
DAFTAR PUSTAKA
2. Misalkan fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk:
Tentukan fungsi distribusi F (x )
15
28 Maret 2017
Daftar Pustaka
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
I
N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar Statistika
Matematik, Bandung, Yrama Widya, 2009.
DISTRIBUSI
PELUANG
I
J.E. Freud and R.E. Walpole,Mathematical Statistics, New
Jersey,Prentice Hall Inc., 1980.
SOAL-SOAL
LATIHAN
I
M.R. Spiegel,Theory and Problems of Probability and
Statistics, Singapore, McGraw-Hill, 1982.
FUNGSI DISTRIBUSI
14
15
DAFTAR PUSTAKA
28 Maret 2017
Distribusi Peubah
Acak
Chandra Novtiar,
S.Si.,M.Si.
SUB POKOK
PEMBAHASAN
PEUBAH ACAK
Terima Kasih
DISTRIBUSI
PELUANG
FUNGSI DISTRIBUSI
SOAL-SOAL
LATIHAN
15
DAFTAR PUSTAKA
Chandra Novtiar S.Si.,M.Si.
085794801125
[email protected]
15
28 Maret 2017