DIMENSI DARI RUANG VEKTOR

DIMENSI DARI RUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN
Susi Ekawati1*), Amir Kamal Amir2), Nur Erawati3)
1
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin
Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos 90245
DIMENSION OF CONSTANT RANK VECTOR SUBSPACES
Susi Ekawati1*), Amir Kamal Amir2), Nur Erawati3)
1
Departement of Mathematic, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Hasanuddin University
Perintis Kemerdekaan Street, Makassar, Indonesia, Post Code 90245
ABSTRAK
Menurut konjektur dari Boston (2010), untuk
, tidak ada ruang vektor bagian rank konstan yang dimensinya
lebih besar dari . Dalam skripsi ini ditunjukkan dua hal. Pada bagian awal, untuk
, ditunjukkan beberapa ruang
vektor bagian rank konstan dengan dimensi lebih besar dari . Pada bagian akhir, untuk
, ditunjukkan
beberapa ruang vektor bagian rank konstan dengan dimensi , tidak dapat lagi dikembangkan menjadi ruang vektor
bagian rank konstan dimensi lebih besar dari .
Kata Kunci : Rank Konstan, Matriks.
ABSTRACT
According conjecture by Boston (2010), for
, none exist constant rank vector subspaces which has dimension
greater than . In this tesis showed two things. The first part, for
, is showed some constant rank vector subspaces
with dimension greater than . In the last part, for
, is showed some constant rank vector subspaces with
dimension , that can not extended become constant rank vector subspaces dimension greater than .
Key Words : Constant rank, Matrices.
1.
Pendahuluan
Aljabar berasal dari bahasa Arab “al-jabr” yang berarti pertemuan, hubungan, atau bisa juga penyelesaian. Penemu
aljabar yang pertama adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi atau sering disebut al-Khwarizmi.
Aljabar linier merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang matriks, vektor, ruang vektor,
transformasi linier, dan sistem persamaan linier. Matriks dan vektor merupakan alat untuk memudahkan atau
menyederhanakan sistem persamaan linier yang kompleks (lebih dari dua variabel dan terdiri atas sekumpulan
persamaan) dan memudahkan dalam menyelesaikan persamaannya. Materi yang terkandung di dalamnya adalah ruang
vektor, ruang vektor bagian, determinan, basis dan dimensi, sistem persamaan linier, dan aplikasi sistem persamaan
linier dalam bisnis. Dalam ruang vektor bagian, ada materi yang menjelaskan tentang ruang vektor bagian rank konstan.
Boston (2010) telah menduga bahwa ruang vektor bagian rank konstan dari matriks
memiliki dimensi lebih
besar dari hanya ada untuk
. Permasalahan yang akan dibahas adalah apakah ada atau tidak ada ruang vektor
bagian rank konstan yang dimensinya lebih besar dari untuk
dengan entri-entri pada
* +.
2. Tinjauan Pustaka
2.1 Ruang Vektor Bagian Rank Konstan
( ) adalah ruang vektor.
Diberikan
mempunyai rank yang sama (kecuali matriks 0).
*
Penulis Koresponden.
Email : [email protected]
ruang vektor bagian dari , dengan catatan semua matriks dalam
Contoh 2.1
{(
)|
Karena
}
selalu memiliki
{(
)|
Karena
, maka
adalah ruang vektor bagian rank konstan.
, maka
adalah ruang vektor bagian rank konstan.
}
selalu memiliki
Contoh 2.2
{(
)|
}
bukan merupakan ruang vektor bagian rank konstan karena
(
) dengan
( )
(
) dengan
( )
( ) tidak sama sebagai contoh
2.2 Basis dan Dimensi
Definisi 2.1 Sebuah vektor ̅ dikatakan kombinasi linier dari vektor ̅̅̅ ̅̅̅
bentuk:
̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅ dengan
̅̅̅ bila dapat dinyatakan dalam
.
*̅̅̅ ̅̅̅
Definisi 2.2 Misal ruang vektor dan himpunan vektor di ,
̅̅̅+ dengan ̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅
, maka
dikatakan merentang jika untuk setiap vektor sebarang di merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di
yaitu ̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅ dengan
merupakan skalar dan ̅ sebarang vektor di .
Definisi 2.3 Misal ruang vektor dan himpunan vektor di ,
dikatakan bebas linier di jika persamaan
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
*̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅+ dengan ̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅
, maka
̅
Hanya dipenuhi untuk
Jika ada solusi lain yang tidak nol, maka
dikatakan tidak bebas linier atau bergantung linier.
Definisi 2.4 Misal ruang vektor dan
basis untuk jika memenuhi syarat berikut:
1.
2.
*̅̅̅ ̅̅̅
̅ + himpunan vektor-vektor di , maka himpunan
disebut
bebas linier
merentang
Dimensi dari ruang vektor didefinisikan sebagai bilangan kardinal dari basisnya, yaitu banyak unsur basis.
Definsi 2.4.5 Misal diberikan matriks
vektor:
̅
(
disebut vektor baris dari
) dengan
dan vektor-vektor:
*
Penulis Koresponden.
Email : [email protected]
(
) dengan
dan
, maka didapatkan vektor-
̅
dengan
(
)
disebut vektor kolom dari .
Basis ruang kolom dari
didapatkan dengan melakukan OBE pada . Vektor kolom yang merupakan unsur basis
ditentukan oleh adanya bilangan satu utama pada kolom yang bersesuaian. Sedangkan basis ruang baris dari
didapatkan dengan melakukan OBE pada
. Dimensi ruang kolom suatu matriks sama dengan dimensi ruang
barisnya dan dinamakan rank dari .
3.
Hasil dan Pembahasan
3.1 Ruang Vektor Bagian Rank Konstan dengan Dimensi lebih besar dari
 Untuk
{(
) (
) (
) (
)}
merupakan ruang vektor bagian rank konstan
 Untuk
{(
) (
) (
) (
( )
) (
merupakan ruang vektor bagian rank konstan
 Untuk
{(
dengan
dengan
) (
merupakan ruang vektor bagian rank konstan
) (
( )
) (
dengan
)}
) (
) (
)}
( )
DAFTAR PUSTAKA
[1] Arve, Sherina. “Ilmuwan Penemu Aljabar”. 6 September 2013.
https://sherinaarve.wordpress.com/2013/09/06/ilmuwan-penemu-aljabar/
[2] Suryanti, Neneng. “Sejarah Aljabar”. 27 Februari 2012. https://matematikaoye.wordpress.com/sejarah-aljabar/
[3] Putra, Zuhry Yudha Yuana. “Pengertian Aljabar dan Klasifikasi dari Aljabar”. 5 Maret 2013.
zuhryyuda.blogspot.com/2013/03/pengertian-aljabar-dari-klasifikasi-dari.html
[4] Anton, Howard. 1998, Aljabar Liniar Elementer, edisi kelima. Erlangga
[5] Ulfah, Atikah Suryani. “Sejarah Matriks”. 30 Maret 2014.
https://atikahsuryaniulfah.wordpress.com/category/sejarah-matriks/
[6] UMS,Teknik ndustri. “Matriks dan Vektor”. Industri.ums.ac.id/courses/tin111.html
*
Penulis Koresponden.
Email : [email protected]
[7] Sheekey, John: On Rank Problems for Subspaces of Matrices over Finite Fields; School of Mathematical Sciences;
2011
[8] Mustika, Danang. 2010, ALjabar Liniar. Rekayasa Sains
[9] Anton, Howard. 1985, Aljabar Linier Elementer, edisi ketiga. Erlangga
[10] Gazali, Wikaria. 2005, Matriks & Transformasi Linear. Graha Ilmu
[11] Beasley, L.B: Spaces of rank-2 matrices over
( ), Electron J. Algebra 20 (1999) 11-18
[12] Boston, N.; Spaces of constant rank matrices over
( ), Electron J Algebra 20
(2010) 1-5
[13] Dumas, J-G: Gow, R; McGuire, G. : Sheekey, J.: Subspaces pf matrices with special rank properties, Linear
Algebra Appl. 433 (2010), 191-202
*
Penulis Koresponden.
Email : [email protected]