PENGERTIAN ALJABAR Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk

PENGERTIAN ALJABAR
Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat hurufhuruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk
menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti
banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang
ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari,
dapat dicari dengan menggunakan aljabar.
A. UNSUR - UNSUR ALJABAR
1. Variabel, Konstanta, dan Faktor
Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y
disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui
nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan
huruf kecil a, b, c, ..., z.
Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari
suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a
dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor
dari a.
Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktorfaktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta
dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk
aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada
suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.
2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis
a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan
oleh operasi jumlah atau selisih.
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel
yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...
Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel
yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...
b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...
c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...
d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.
B. OPERASI HITUNG PADA ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada sukusuku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.
Contoh Soal dan Pembahasan:
1. Jumlah dari 8x2 – 5x – 11 dan 20 + 5x – 9x2 adalah ....
A. –x2 + 9
B. –x2 – 9
C. x2 + 9
D. x2 – 9
Pembahasan:
8x2 – 5x – 11 + 20 + 5x – 9x2 = 8x2 – 9x2 – 5x + 5x – 11 + 20
= –x2 + 9
Jawaban: A
2. Hasil pengurangan 3p2 – 7 oleh p2 – 3p – 2 adalah ....
A. –2p2 + 3p – 5
B. –2p2 – 3p + 5
C. 2p2 + 3p – 5
D. 2p2 – 3p + 5
Pembahasan:
3p2 – 7 – (p2 – 3p – 2) = 3p2 – 7 – p2 + 3p + 2
= 3p2 – p2 + 3p – 7 + 2
= 2p2 + 3p – 5
Jawaban: C
3. Hasil pengurangan 2p – p2 dari p2 – p + 3 adalah ....
A. 2p2 + 3
B. 2p2 – 3p + 3
C. 2p2 + p + 3
D. 3p2 + 3
Pembahasan:
p2 – p + 3 – (2p – p2) = p2 – p + 3 – 2p + p2
= p2 + p2 – p – 2p + 3
= 2p2 – 3p + 3
Jawaban: B
2. Perkalian
Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian
terhadap penjumlahan, yaitu a X (b + c) = (a X b) + (a X c) dan sifat distributif perkalian
terhadap pengurangan, yaitu a X (b – c) = (a X b) – (a X c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan
c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.
3. Perpangkatan
Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan
diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada
perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku
ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada
penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.
Perhatikan uraian berikut:
Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan
bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.
1. Carilah hasil perpangkatan berikut ini.
a.
( 3x )2
b. ( 2xy2z3 )3
Jawab :
a.
( 3x )2 = 3x . 3x = 9x2
b. ( 2xy2z3 )3 = 2xy2z3 . 2xy2z3 . 2xy2z3 = 8x3y6z9
4. Pembagian
Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor
sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang
dan penyebutnya.
5. Substitusi pada Bentuk Aljabar
Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan
pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar
Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat.
Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar
dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktorfaktor primanya. Perhatikan contoh berikut:
C. PECAHAN BENTUK ALJABAR
1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya
tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk
menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan
penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.
2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan pengurangan
Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan
pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian
menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk
menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara
yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan
aljabar. Perhatikan contoh berikut:
b. Perkalian dan pembagian
Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Perhatikan
contoh berikut:
c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar
Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga
berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. Perhatikan contoh berikut:
Latihan :
Soal Pilihan Ganda
1.
Banyak suku pada bentuk aljabar x3 – 3x2 + 2x – 3 adalah ....
a. 6
b. 5
c. 4
d. 3
2.
Koefisien x dari bentuk aljabar 2x2 + 2ax – y + 5 adalah ....
a. 2
b. 2a
c. –1
d. 5
3.
Bentuk sederhana dari 6x – 3y + 3x + 7y adalah ....
a. 9x + 4y
b. 9x – 4y
c. 3x + 10y
d. 3x – 10y
4.
Hasil penjumlahan 4x – 2y + 4 dengan 2x + 3y – 5 adalah ....
a. 6x + y + 1
b. 6x – y + 1
c. 6x + y – 1
d. 6x – y – 1
5.
Jika 5x – 3y + 5 dikurangkan dari (2y – 3x – 2) hasilnya ....
a. 7 + 5y + 8x
b. –7 – 5y + 8
c. 7 – 5y – 8x
d. –7 + 5y – 8x
6.
Jika a = –1, b = –3, dan c = 5, nilai dari –a2 + 2b – 3c adalah ....
a. –22
b. –12
c. –10
d. –4
7.
Jika x – 5 = 2, maka nilai x + 3 adalah ....
a. –8
b. –4
c. 8
d. 10
8.
Bentuk sederhana dari 5(x – 2y) – 3(x – 5y) adalah ....
a. –2x – 5y
b. 5y – 2x
c. 2x + 5y
d. 2x – 5y
9.
Untuk x = –3 dan y = 2, nilai dari 3x + 2y – xy adalah ....
a. 11
b. 6
c. 5
d. 1
10.
Bentuk 12abc – 4ab dinyatakan sebagai hasil kali ....
a. 12ab(c – 4)
b. 4ab(3c – 1)
c. 3ab(4c – 1)
d. 12ab(c– 1)
11. Hasil pengurangan 8p + 5q dari 2p – 4q adalah ....
a. –6p – 9q
b. –6p + 9q
c. 6p + 9q
d. 6p – 9q
12. Untuk p = 5x – x2 dan q = 4x2 + 3x. Nilai dari 2p – q adalah ....
a. 6x2 – 7x
b. 6x2 + 7x
c. 7x – 6x2
d. –7x – 6x2
13. Suatu persegi panjang memiliki panjang 18 cm dan lebar (x – 3) cm, luas 198 cm2, maka
kelilingnya adalah ....
a. 48
b. 50
c. 54
d. 58 cm
14. Lebar suatu persegi panjang adalah 10 kurangnya dari panjangnya. Jika keliling persegi panjang
itu 80 cm, maka luasnya adalah ....
a. 475 cm2
c. 375 cm2
b. 465 cm2
d. 365 cm2
15. Bentuk berikut yang merupakan persamaan adalah ....
a. 5 + 7 = 3 + 9
b. 8 + 10 = 9 + 9
c. 8 + x = 10x
d. 2 – x < 10 – 2x
16. Pernyataan berikut merupakan pernyataan yang benar, kecuali ....
a. 8 bukan bilangan prima
b. 1 menit = 60 detik
c. –3 – (–4) = –7
d. 5 x 3 = 3 x 5
17. Nilai x dari 3(x – 2) = x + 10, adalah ...
a. 3
b. 5
c. 6
d. 8
18. Jika a > b dan b > c, maka ....
a. a > b > a
b. a > b > c
c. a > b
d. c > b
19. Pernyataan di bawah ini yang merupakan pertidaksamaan adalah ....
a. x + 2 = 5
b. 12 – 5 = 7
c. 3x – 8 >1
d. 4a + 6 = 10
20. Umur Dina 5 tahun lebihnya dari umur Dona. Jika jumlah umur mereka 23 tahun, maka umur Dina
adalah ....
a. 15 tahun
b. 14 tahun
c. 9 tahun
d. 7 tahun
21. Nilai x yang memenuhi persamaan 2(3x – 5) = 2x + 6 adalah ....
a. 1
b. 3
c. 4
22. Seorang pedagang membeli 200 buah mangga. Setelah diperiksa ternyata ada 15 buah mangga
yang busuk. Banyak mangga yang terjual adalah sebanyak x buah dan sisanya 75 buah. Kalimat
matematikanya adalah ....
a. 15 = 75 –x
b. x + 75 = 100
c. 200 – x = 75
d. 185 – x = 75
23. Suatu bilangan asli, jika dikalikan dengan 4, kemudian ditambah dengan 4, maka hasilnya kurang
dari 20. Bilangan-bilangan itu adalah ....
a. 1, 2, 3, 4
b. 1, 2, 3
c. 2, 3, 4
d. 2, 3
24. Sebuah persegipanjang, panjangnya 2 kali lebarnya. Jika kelilingnya tidak kurang dari 24 cm,
maka ukuran maksimum dari panjang dan lebarnya adalah ....
a. 6 cm dan 3 cm
b. 8 cm dan 4 cm
c. 8 cm dan 6 cm
d. 9 cm dan 6 cm
25. Panjang sisi suatu persegi (p + 3) cm. Kelilingnya tidak lebih dari 36. Luas maksimum persegi itu
adalah ....
a. 16 cm2
b. 24 cm2
c. 32 cm2
d.36cm2
ESSAI:
1. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut.
a) –4ax + 7ax
b) (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1)
c) (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)
2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 8p – 3 + (–3p) + 8
b. 9m + 4mn + (–12m) – 7mn
c. 2a2 + 3ab – 7 – 5a2 + 2ab – 4
d. 4x2 – 3xy + 7y – 5x2 + 2xy – 4y
e. –4p2 + 3pq – 2 – 6p2 + 8pq – 3
f. 12kl – 20mn –5kl – 3mn