B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar

A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Pengertian bentuk aljabar, koefisien, variabel, konstanta, suku, dan suku sejenis. Untuk
mengingatkanmu kembali, pelajari contoh-contoh berikut.
1.
2pq
2.
5x
x2
4.
+
4
+
–
9x2
5.
–2
3x
3xy
+
8
3. 2x + 3y –5
Bentuk aljabar nomor (1) disebut suku tunggal atau suku satu karena hanya terdiri atas satu
suku, yaitu 2pq. Pada bentuk aljabar tersebut, 2 disebut koefisien, sedangkan p dan q disebut
variabel karena nilai p dan q bisa berubah-ubah. Adapun bentuk aljabar nomor (2) disebut
suku dua karena bentuk aljabar ini memiliki dua suku, sebagai berikut.
1. Suku yang memuat variabel x, koefisiennya adalah 5.
2. Suku yang tidak memuat variabel x, yaitu 4, disebut konstanta. Konstanta adalah suku
yang nilainya tidak berubah.
Sekarang, pada bentuk aljabar nomor (3), (4), dan (5), coba kamu tentukan manakah yang
merupakan koefisien, variabel, konstanta, dan suku?
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku
sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang
berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentukbentuk aljabar, sebagai berikut.
a.
Sifat
a
+
b
=
b
+
a,
b.
dengan
a
dan
b
bilangan
Sifat
(a
c.
Komutatif
+
b)
+
c
=
a
+
(b
+c),
riil
Asosiatif
dengan
Sifat
a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil
a,
b,
dan
c
bilangan
riil
Distributif
Agar kamu lebih memahami sifat-sifat yang berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contohcontoh soal berikut.
Contoh
Soal :
Sederhanakan
bentuk-bentuk
a.
aljabar
6mn
berikut.
+
3mn
b.
16x
+
3
+
3x
+
4
c.
–x
–
y
+
x
–
3
d.
2p
–
3p2
+
2q
–
5q2
+
3p
e.
6m
+
3(m2
–
n2 )
–
2m2
+
3n2
Jawab:
a.
b.
6mn
16x
+
+
3
+
3x
3mn
+
4
=
c.
–x
–
y
=
–
2p
3p2 +
16x
+
3x
19x
+
–
x
3
–x
+
–
5q2
+
–
=
5p
=
–3p2
3p
3
+
–
y
–
=
2p
+
–
3p
2q
5p
–
5q2
3
3
3p2
+
4
7
–
3p2
+
+
x
–y
2q
9mn
+
=
=
d.
=
+
2q
–
–
5q2
5q2
+
2q
e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2
=
6m
3m2
+
–
2m2
–
3n2
3n2
+
= m2 + 6m
Contoh
Soal :
Tentukan
hasil
a.
penjumlahan
10x2
+
6xy
–
12
b.
pengurangan
8p2
+
10p
+
15
dari:
dan
–4x2
–
4p2
–
dari
2xy
10p
+
–
10,
5.
Jawab:
a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10
=
6x2
+
4xy
–
2
b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15
= –4p2 – 20p – 20
2. Perkalian Bentuk Aljabar
Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep
dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a.
Perkalian
Suku
Satu
dengan
Suku
Dua
Agar kamu memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh
soal berikut.
Contoh
Soal :
Gunakan
hukum
distributif
a.
2(x
+
b.
–5(9
–
untuk
menyelesaikan
3)
perkalian
c.
y)
d.
berikut.
3x(y
+
5)
–9p(5p
–
2q)
Jawab:
a. 2(x + 3) = 2x + 6
c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x
b. –5(9 – y) = –45 + 5y
d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq
b.
Suku
Perkalian
Dua
dengan
Suku
Dua
Agar kamu memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari
contoh soal berikut.
Contoh
Soal :
Tentukan
hasil
perkalian
suku
dua
berikut,
kemudian
sederhanakan.
a.
(x
+
5)(x
+
3)
c.
(2x
+
4)(3x
+
1)
b.
(x
–
4)(x
+
1)
d.
(–3x
+
2)(x
–
5)
+
5)(x
+
3)
5)x
+
(x
Jawab:
a.
(x
=
x2
=
+
(x
–
4)(x
+
1)
c.
(2x
+
4)(3x
+
1)
=
(–3x
+
2)(x
–
+
6x2
=
d.
(2x
6x2
=
5)
=
–
4)x
4x
+
–
x2
(–3x
+
+
12x
(x
+
+
(2x
2x
14x
2)x
+
–
4)1
–
4
–
+
+
15
x
4)3x
(–3x
5)3
15
+
3x
+
+
3x
8x
(x
–
=
+
+
=
x2
=
+
5x
x2
=
b.
(x
4
+
4)1
+
4
+
4
+
2)(–5)
–3x2
=
+
2x
+
–
15x
10
= –3x2 + 17x – 10
Contoh
Soal :
Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar
(6x–
2)
cm.
Tentukan
luas
persegipanjang
tersebut.
Jawab:
Diketahui :
p
=
(5x
+
3)
Ditanyakan :
cm
dan
l
=
luas
Luas
=
(5x
=
(5x
+
+
(5x
–
18x
30x2
=
l
3)(6x
3)6x
30x2
=
cm
×
+
+
2)
persegipanjang
p
=
–
(6x
–
2)
+
3)(–2)
–
10x
+
6
–
8x
6
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2
Amati kembali Contoh Soal. Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c + d)
dapat
ditulis
(a
+
b)(c
sebagai
+
d)
=
(a
+
berikut.
b)c
+
(a
+
b)d
=
ac
+
bc
+
ad
+
bd
=
ac
+
ad
+
bc
+
bd
Secara skema, perkalian ditulis:
Cara seperti ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian
antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh soal berikut.
Contoh
Soal :
Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.
a.
b.
(x
(x
+
+
1)(x
8)(2x
+
+
2)
c.
4)
(x
–
d.
(3x
2)(x
+
4)(x
+
5)
–
8)
+
2
Jawab:
a.
(x
+
1)(x
+
=
2)
=
x2
x2
+
+
2x
3x
+
x
+
2
b.
(x
+
8)(2x
+
4)
=
2x2
=
c.
–
(x
2)(x
+
(3x
+
4)(x
5)
–8)
=
+
4x
+
+
+
3x2
+
16x
20x
x2
=
x2
=
d.
2x2
+
24x
–10
–
+
32
32
–2x
5x
3x
–
+
10
–
4x
32
= 3x2 – 20x – 32
3. Pembagian Bentuk Aljabar
Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan.
Pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh
Soal :
Tentukan
hasil
a.
b.
15pq :
8x :
3p
pembagian
4
c.
d.
(8x2
+
berikut.
16a2b :
2x) :
(2y2
2ab
–
2y)
Jawab:
4. Perpangkatan Bentuk Aljabar
Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian ini materi
tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kamu
ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.
Untuk
a
bilangan
riil
dan
n
bilangan
asli.
Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari
uraian berikut.
a.
=
a5
= 2a
b. (2a)3
c.
(–3p)4
a
×
×
2a × 2a
=
a
= (2 ×
×
(–3p)
×
a
×
2 × 2) ×
(–3p)
a
(a ×
×
×
a
a × a) = 8a3
(–3p)
×
(–3p)
= ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p4
d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2
Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a
+ b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2 dapat ditulis:
(a
b)2
+
=
(a
+
b)
(a
=
(a
+
b)a
+
(a
=
a2
+
ab
+
ab
+
+
b)
b)b
b2
+
= a2 + 2ab + b2
Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)2 juga dapat ditulis sebagai:
(a
–
b)2
=
(a
=
a2
=
–
(a
b)a
–
ab
–
+
b)
–
(a
–
ab
= a2 – 2ab + b2
Contoh
Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)3, sebagai berikut.
–
(a
Soal :
b)
b)(–b)
+
b2
(a
+
b)3
=
(a
+
b)
(a
+
b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2)
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
= a(a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 )
(menggunakan cara skema)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 2a2b + a2b + ab2 +2ab2 + b3
(suku yang sejenis dikelompokkan)
(operasikan suku-suku yang
sejenis)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b)2, (a + b)3, dan (a + b)4, kamu dapat
menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a +
b)5, (a + b)6, (a + b)7, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun
akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan
bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang,
perhatikan pola segitiga Pascal berikut.
Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah
sebagai berikut.
Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)2 dapat diuraikan menjadi
a2 + 2ab + b2. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga
Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)2 mengikuti pola
segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a2 + 2ab + b2. Semakin ke kanan,
pangkat a semakin berkurang (a2 kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b
semakin bertambah (b kemudian b2). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan
aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4, (a +
b)5, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.
(a
(a
(a
b)3
+
b)4
+
b)5
+
=
=
a3
+
a4
+
4a3b
+
5a4b
=
a5
3a2b
6a2b2
+
10a3b2
+
3ab2
+
+
4ab3
+
10a2b3
b3
+
+
5ab4
+
+
b4
b5
dan seterusnya.
Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga
Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu
seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.
–
(a
–
(a
(a
b)2
–
b)3
b)4
=
=
a4
–
a2
=
a3
–
–
4a3b
2ab
3a2b
+
3ab2
+
6a2b2
–
b2
+
4ab3
–
b3
+
b4
(a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5
B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar
1. Pemfaktoran dengan Sifat Distributif
Di Sekolah Dasar, kamu tentu telah mempelajari cara memfaktorkan suatu bilangan. Masih
ingatkah kamu mengenai materi tersebut? Pada dasarnya, memfaktorkan suatu bilangan
berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Pada bagian ini,
akan dipelajari cara-cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar dengan menggunakan sifat
distributif. Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di
mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay. Untuk itu, pelajarilah Contoh Soal berikut.
Contoh
Faktorkan
Soal :
bentuk-bentuk
aljabar
berikut.
a.
5ab
b.
+
10b
–
2x
–15p2q2
c.
8x2y
1
d.
a3b2
/2
+
10pq
1
+
a2b3
/4
Jawab:
a.
5ab
+
10b
Untuk memfaktorkan 5ab + 10b, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan
10, kemudian dari ab dan b. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.
Faktor
Jadi,
persekutuan
5ab
dari
+
10b
b.
ab
dan
difaktorkan
b
menjadi
adalah
b.
+
2).
5b(a
–
2x
8x2y
Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x2y adalah x.
Jadi,
–
2x
8x2y
=
–15p2q2
c.
–
2x(1
4xy).
+
10pq
Faktor persekutuan dari –15 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari p2q2 dan pq adalah
pq.
–15p2q2
Jadi,
1
d.
Faktor
Faktor
+
10pq
=
5pq
a3b2
/2
persekutuan
1
/2
1
dan
a3b2
dari
1
+
dari
persekutuan
(–3pq
adalah
+
2).
a2b3
/4
/4
adalah
a2b3
adalah
1
/4 .
a2b2.
Jadi, 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3 = 1/4 a2b2 (2a +b)
2. Selisih Dua Kuadrat
Perhatikan
(a
bentuk
+
perkalian
b)(a
(a
–
b)
=
+
b)(a
=
–
a2
a2
b).
Bentuk
–
ab
ini
+
dapat
ab
–
Jadi, bentuk a2 – b2 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b).
ditulis
–
b2
b2
Bentuk a2 – b2 disebut selisih dua kuadrat
Contoh
Soal :
Faktorkan
a.
bentuk-bentuk
–
p2
4
c.
–
25x2
b.
berikut.
y2
9n2
–
20p2
d.
–
m2
16
5q2
Jawab:
–
a.
p2
b.
25x2
–
y2
=
(5x
c.
16m2
–
9n2
=
(4m
4
=
(p
+
+
+
2)(p
–
2)
y)(5x
–
y)
3n)(4m
–
3n)
d. 20p2 – 5q2 = 5(4p2 – q2) = 5(2p + q)(2p – q)
3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat
a.
Pemfaktoran
bentuk
Perhatikan
(x
+
ax2
+
bx
perkalian
p)(x
+
=
q)
+
c
dengan
suku
x2
=
x2
+
a
=
dua
+
qx
(p
berikut.
+
+
1
px
q)x
+
pq
+
pq
Jadi, bentuk x2 + (p + q)x + pq dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q). Misalkan, x2 + (p +
q)x + pq = ax2 + bx + c sehingga a = 1, b = p + q, dan c = pq.
Dari pemisalan tersebut, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q
dijumlahkan, hasilnya adalah b. Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c
dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua
bilangan
tersebut
dijumlahkan,
hasilnya
sama
dengan
b.
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh
Soal :
Faktorkanlah
a.
bentuk-bentuk
x2
+
5x
+
6
+
6
=
berikut.
x2
b.
+
–
2x
8
Jawab:
a.
x2
+
5x
(x
+
…)
(x
+
…)
Misalkan, x2 + 5x + 6 = ax2 + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan c = 6.
Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6
dan
apabila
kedua
bilangan
tersebut
dijumlahkan,
hasilnya
sama
dengan
5.
Faktor dari 6 adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan
x2
Jadi,
+
5x
+
6
=
x2
+
2x
–
8
Dengan
cara
seperti
pada
(a),
b.
=
(x
2)
+
(x
diperoleh
+
a
=
(x
…)
1,
b
(x
=
2,
+
3)
+
dan
c
…)
=
–8.
Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Oleh karena c = –8, salah satu dari
dua
bilangan
yang
dicari
pastilah
bernilai
negatif.
Dengan
demikian,
dua
bilangan yang memenuhi syarat adalah –2 dan 4, karena –2 × 4 = –8 dan
–2
+
4
=
2.
Jadi, x2 + 2x – 8 = (x + (–2)) (x + 4) = (x – 2) (x + 4)
b.
Pemfaktoran
Bentuk
ax2
+
bx
+
c
a≠
dengan
1
Sebelumnya, kamu telah memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1. Sekarang kamu
akan mempelajari cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1.
Perhatikan
(x
+
perkalian
3)
(2x
+
suku
1)
2x2
=
2x2
=
dua
+
x
+
berikut.
+
6x
7x
+
+
3
3
Dengan kata lain, bentuk 2x2 + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara
memfaktorkan 2x2 + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.
2x2 + 7x + 3 = 2x2 + (x + 6 x) +3
pilih
(
=
(uraikan 7x menjadi penjumlahan dua suku yaitu
x
(2x2
+
+
x)
= x(2x + 1) + 3(2x + 1)
=
6x
+
(6x
)
+
3)
(Faktorkan menggunakan sifat distributif)
(x
+
3)(2x+1)
Dari uraian tersebut dapat kamu ketahui cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1
sebagai berikut.
1. Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut
dikalikan hasilnya sama dengan (ax2)(c).
2. Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif
Contoh
Soal :
Faktorkan
a.
bentuk-bentuk
2x2
+
11x
+
berikut.
12
6x2
b.
+
16x
+
18
Jawab:
a.
2x2
+
11x
+
12
2x2
b.
6x2
+
+
3x
+
8x
=
(2x2
+
3x)
+
(8x
=
x(2x
+
3)
+
4(2x
=
Jadi,
2x2
=
+
(x
11x
16x
+
+
8
12
(6x2
=
2x(3x
+
+
(2x
+
(x
+
3)
+
+
4)(2x
12
12)
+
4)(2x
=
6x2
=
=
=
+
+
3)
+
4x
+
4x)
+
(12x
+
8)
2)
+
4(3x
+
2)
+
4)(3x
12x
3).
+
+
8
2)
Jadi, 6x2 + 16x + 8 = (2x + 4)(3x +2)
C. Pecahan dalam Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar
Di Kelas VII, kamu telah mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan. Pada
bagian ini, materi tersebut dikembangkan sampai dengan operasi penjumlahan dan
pengurangan pecahan bentuk aljabar. Cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bentuk
aljabar adalah sama dengan menjumlahkan dan mengurangkan pada pecahan biasa,
yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Agar kamu lebih memahami materi
ini, pelajari contoh-contoh soal berikut.
Contoh
Soal :
Contoh
Soal :
2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar
a.
Perkalian
Cara mengalikan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalikan pecahan biasa, yaitu
Agar kamu lebih memahami materi perkalian pecahan bentuk aljabar, pelajari contoh soal
berikut.
Contoh
Soal :
b.
Pembagian
Aturan pembagian pada pecahan bentuk aljabar sama dengan aturan pembagian pada pecahan
biasa, yaitu :
Contoh
Soal :
3. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar
Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa untuk a bilangan riil dan n bilangan
asli, berlaku:
Definisi bilangan berpangkat tersebut berlaku juga pada pecahan bentuk aljabar. Untuk lebih
jelasnya,
Contoh
pelajari
uraian
berikut.
Soal :
4. Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar
Masih ingatkah kamu materi penyederhanaan pecahan yang telah dipelajari di Kelas VII?
Coba jelaskan dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Sekarang kamu akan mempelajari
cara menyederhanakan pecahan bentuk aljabar. Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.
a.
Untuk menyederhanakan bentuk
, tentukan faktor persekutuan dari pembilang dan
penyebutnya.
Kemudian, bagilah pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan tersebut.
Faktor
persekutuan
dari
5x
dan
10
adalah
5.
dari
9p
dan
27q
adalah
9.
Jadi,
b.
Faktor
persekutuan
Jadi,
c.
Untuk
tentukan
faktor
menyederhanakan
penyebutnya
bentuk
sehingga
Jadi,
Agar kamu lebih memahami materi penyederhanaan pecahan bentuk aljabar, pelajari contoh
soal berikut.