A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar Pengertian bentuk aljabar, koefisien, variabel, konstanta, suku, dan suku sejenis. Untuk mengingatkanmu kembali, pelajari contoh-contoh berikut. 1. 2pq 2. 5x x2 4. + 4 + – 9x2 5. –2 3x 3xy + 8 3. 2x + 3y –5 Bentuk aljabar nomor (1) disebut suku tunggal atau suku satu karena hanya terdiri atas satu suku, yaitu 2pq. Pada bentuk aljabar tersebut, 2 disebut koefisien, sedangkan p dan q disebut variabel karena nilai p dan q bisa berubah-ubah. Adapun bentuk aljabar nomor (2) disebut suku dua karena bentuk aljabar ini memiliki dua suku, sebagai berikut. 1. Suku yang memuat variabel x, koefisiennya adalah 5. 2. Suku yang tidak memuat variabel x, yaitu 4, disebut konstanta. Konstanta adalah suku yang nilainya tidak berubah. Sekarang, pada bentuk aljabar nomor (3), (4), dan (5), coba kamu tentukan manakah yang merupakan koefisien, variabel, konstanta, dan suku? 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentukbentuk aljabar, sebagai berikut. a. Sifat a + b = b + a, b. dengan a dan b bilangan Sifat (a c. Komutatif + b) + c = a + (b +c), riil Asosiatif dengan Sifat a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil a, b, dan c bilangan riil Distributif Agar kamu lebih memahami sifat-sifat yang berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contohcontoh soal berikut. Contoh Soal : Sederhanakan bentuk-bentuk a. aljabar 6mn berikut. + 3mn b. 16x + 3 + 3x + 4 c. –x – y + x – 3 d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p e. 6m + 3(m2 – n2 ) – 2m2 + 3n2 Jawab: a. b. 6mn 16x + + 3 + 3x 3mn + 4 = c. –x – y = – 2p 3p2 + 16x + 3x 19x + – x 3 –x + – 5q2 + – = 5p = –3p2 3p 3 + – y – = 2p + – 3p 2q 5p – 5q2 3 3 3p2 + 4 7 – 3p2 + + x –y 2q 9mn + = = d. = + 2q – – 5q2 5q2 + 2q e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2 = 6m 3m2 + – 2m2 – 3n2 3n2 + = m2 + 6m Contoh Soal : Tentukan hasil a. penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 b. pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari: dan –4x2 – 4p2 – dari 2xy 10p + – 10, 5. Jawab: a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10 = 6x2 + 4xy – 2 b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15 = –4p2 – 20p – 20 2. Perkalian Bentuk Aljabar Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua Agar kamu memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut. Contoh Soal : Gunakan hukum distributif a. 2(x + b. –5(9 – untuk menyelesaikan 3) perkalian c. y) d. berikut. 3x(y + 5) –9p(5p – 2q) Jawab: a. 2(x + 3) = 2x + 6 c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x b. –5(9 – y) = –45 + 5y d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq b. Suku Perkalian Dua dengan Suku Dua Agar kamu memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut. Contoh Soal : Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan. a. (x + 5)(x + 3) c. (2x + 4)(3x + 1) b. (x – 4)(x + 1) d. (–3x + 2)(x – 5) + 5)(x + 3) 5)x + (x Jawab: a. (x = x2 = + (x – 4)(x + 1) c. (2x + 4)(3x + 1) = (–3x + 2)(x – + 6x2 = d. (2x 6x2 = 5) = – 4)x 4x + – x2 (–3x + + 12x (x + + (2x 2x 14x 2)x + – 4)1 – 4 – + + 15 x 4)3x (–3x 5)3 15 + 3x + + 3x 8x (x – = + + = x2 = + 5x x2 = b. (x 4 + 4)1 + 4 + 4 + 2)(–5) –3x2 = + 2x + – 15x 10 = –3x2 + 17x – 10 Contoh Soal : Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar (6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut. Jawab: Diketahui : p = (5x + 3) Ditanyakan : cm dan l = luas Luas = (5x = (5x + + (5x – 18x 30x2 = l 3)(6x 3)6x 30x2 = cm × + + 2) persegipanjang p = – (6x – 2) + 3)(–2) – 10x + 6 – 8x 6 Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2 Amati kembali Contoh Soal. Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c + d) dapat ditulis (a + b)(c sebagai + d) = (a + berikut. b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd = ac + ad + bc + bd Secara skema, perkalian ditulis: Cara seperti ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh soal berikut. Contoh Soal : Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema. a. b. (x (x + + 1)(x 8)(2x + + 2) c. 4) (x – d. (3x 2)(x + 4)(x + 5) – 8) + 2 Jawab: a. (x + 1)(x + = 2) = x2 x2 + + 2x 3x + x + 2 b. (x + 8)(2x + 4) = 2x2 = c. – (x 2)(x + (3x + 4)(x 5) –8) = + 4x + + + 3x2 + 16x 20x x2 = x2 = d. 2x2 + 24x –10 – + 32 32 –2x 5x 3x – + 10 – 4x 32 = 3x2 – 20x – 32 3. Pembagian Bentuk Aljabar Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan. Pelajarilah contoh soal berikut. Contoh Soal : Tentukan hasil a. b. 15pq : 8x : 3p pembagian 4 c. d. (8x2 + berikut. 16a2b : 2x) : (2y2 2ab – 2y) Jawab: 4. Perpangkatan Bentuk Aljabar Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian ini materi tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut. Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli. Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. a. = a5 = 2a b. (2a)3 c. (–3p)4 a × × 2a × 2a = a = (2 × × (–3p) × a × 2 × 2) × (–3p) a (a × × × a a × a) = 8a3 (–3p) × (–3p) = ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p4 d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2 Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2 dapat ditulis: (a b)2 + = (a + b) (a = (a + b)a + (a = a2 + ab + ab + + b) b)b b2 + = a2 + 2ab + b2 Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)2 juga dapat ditulis sebagai: (a – b)2 = (a = a2 = – (a b)a – ab – + b) – (a – ab = a2 – 2ab + b2 Contoh Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)3, sebagai berikut. – (a Soal : b) b)(–b) + b2 (a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = a(a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 ) (menggunakan cara skema) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 2a2b + a2b + ab2 +2ab2 + b3 (suku yang sejenis dikelompokkan) (operasikan suku-suku yang sejenis) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b)2, (a + b)3, dan (a + b)4, kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a + b)5, (a + b)6, (a + b)7, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut. Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah sebagai berikut. Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)2 dapat diuraikan menjadi a2 + 2ab + b2. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)2 mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a2 + 2ab + b2. Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a2 kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b2). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut. (a (a (a b)3 + b)4 + b)5 + = = a3 + a4 + 4a3b + 5a4b = a5 3a2b 6a2b2 + 10a3b2 + 3ab2 + + 4ab3 + 10a2b3 b3 + + 5ab4 + + b4 b5 dan seterusnya. Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut. – (a – (a (a b)2 – b)3 b)4 = = a4 – a2 = a3 – – 4a3b 2ab 3a2b + 3ab2 + 6a2b2 – b2 + 4ab3 – b3 + b4 (a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5 B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar 1. Pemfaktoran dengan Sifat Distributif Di Sekolah Dasar, kamu tentu telah mempelajari cara memfaktorkan suatu bilangan. Masih ingatkah kamu mengenai materi tersebut? Pada dasarnya, memfaktorkan suatu bilangan berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Pada bagian ini, akan dipelajari cara-cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif. Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay. Untuk itu, pelajarilah Contoh Soal berikut. Contoh Faktorkan Soal : bentuk-bentuk aljabar berikut. a. 5ab b. + 10b – 2x –15p2q2 c. 8x2y 1 d. a3b2 /2 + 10pq 1 + a2b3 /4 Jawab: a. 5ab + 10b Untuk memfaktorkan 5ab + 10b, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan 10, kemudian dari ab dan b. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5. Faktor Jadi, persekutuan 5ab dari + 10b b. ab dan difaktorkan b menjadi adalah b. + 2). 5b(a – 2x 8x2y Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x2y adalah x. Jadi, – 2x 8x2y = –15p2q2 c. – 2x(1 4xy). + 10pq Faktor persekutuan dari –15 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari p2q2 dan pq adalah pq. –15p2q2 Jadi, 1 d. Faktor Faktor + 10pq = 5pq a3b2 /2 persekutuan 1 /2 1 dan a3b2 dari 1 + dari persekutuan (–3pq adalah + 2). a2b3 /4 /4 adalah a2b3 adalah 1 /4 . a2b2. Jadi, 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3 = 1/4 a2b2 (2a +b) 2. Selisih Dua Kuadrat Perhatikan (a bentuk + perkalian b)(a (a – b) = + b)(a = – a2 a2 b). Bentuk – ab ini + dapat ab – Jadi, bentuk a2 – b2 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b). ditulis – b2 b2 Bentuk a2 – b2 disebut selisih dua kuadrat Contoh Soal : Faktorkan a. bentuk-bentuk – p2 4 c. – 25x2 b. berikut. y2 9n2 – 20p2 d. – m2 16 5q2 Jawab: – a. p2 b. 25x2 – y2 = (5x c. 16m2 – 9n2 = (4m 4 = (p + + + 2)(p – 2) y)(5x – y) 3n)(4m – 3n) d. 20p2 – 5q2 = 5(4p2 – q2) = 5(2p + q)(2p – q) 3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat a. Pemfaktoran bentuk Perhatikan (x + ax2 + bx perkalian p)(x + = q) + c dengan suku x2 = x2 + a = dua + qx (p berikut. + + 1 px q)x + pq + pq Jadi, bentuk x2 + (p + q)x + pq dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q). Misalkan, x2 + (p + q)x + pq = ax2 + bx + c sehingga a = 1, b = p + q, dan c = pq. Dari pemisalan tersebut, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q dijumlahkan, hasilnya adalah b. Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan b. Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh Soal : Faktorkanlah a. bentuk-bentuk x2 + 5x + 6 + 6 = berikut. x2 b. + – 2x 8 Jawab: a. x2 + 5x (x + …) (x + …) Misalkan, x2 + 5x + 6 = ax2 + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan c = 6. Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6 dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5. Faktor dari 6 adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan x2 Jadi, + 5x + 6 = x2 + 2x – 8 Dengan cara seperti pada (a), b. = (x 2) + (x diperoleh + a = (x …) 1, b (x = 2, + 3) + dan c …) = –8. Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Oleh karena c = –8, salah satu dari dua bilangan yang dicari pastilah bernilai negatif. Dengan demikian, dua bilangan yang memenuhi syarat adalah –2 dan 4, karena –2 × 4 = –8 dan –2 + 4 = 2. Jadi, x2 + 2x – 8 = (x + (–2)) (x + 4) = (x – 2) (x + 4) b. Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c a≠ dengan 1 Sebelumnya, kamu telah memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1. Sekarang kamu akan mempelajari cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1. Perhatikan (x + perkalian 3) (2x + suku 1) 2x2 = 2x2 = dua + x + berikut. + 6x 7x + + 3 3 Dengan kata lain, bentuk 2x2 + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2x2 + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas. 2x2 + 7x + 3 = 2x2 + (x + 6 x) +3 pilih ( = (uraikan 7x menjadi penjumlahan dua suku yaitu x (2x2 + + x) = x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 6x + (6x ) + 3) (Faktorkan menggunakan sifat distributif) (x + 3)(2x+1) Dari uraian tersebut dapat kamu ketahui cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut. 1. Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama dengan (ax2)(c). 2. Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif Contoh Soal : Faktorkan a. bentuk-bentuk 2x2 + 11x + berikut. 12 6x2 b. + 16x + 18 Jawab: a. 2x2 + 11x + 12 2x2 b. 6x2 + + 3x + 8x = (2x2 + 3x) + (8x = x(2x + 3) + 4(2x = Jadi, 2x2 = + (x 11x 16x + + 8 12 (6x2 = 2x(3x + + (2x + (x + 3) + + 4)(2x 12 12) + 4)(2x = 6x2 = = = + + 3) + 4x + 4x) + (12x + 8) 2) + 4(3x + 2) + 4)(3x 12x 3). + + 8 2) Jadi, 6x2 + 16x + 8 = (2x + 4)(3x +2) C. Pecahan dalam Bentuk Aljabar 1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar Di Kelas VII, kamu telah mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan. Pada bagian ini, materi tersebut dikembangkan sampai dengan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar. Cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bentuk aljabar adalah sama dengan menjumlahkan dan mengurangkan pada pecahan biasa, yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajari contoh-contoh soal berikut. Contoh Soal : Contoh Soal : 2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar a. Perkalian Cara mengalikan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalikan pecahan biasa, yaitu Agar kamu lebih memahami materi perkalian pecahan bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut. Contoh Soal : b. Pembagian Aturan pembagian pada pecahan bentuk aljabar sama dengan aturan pembagian pada pecahan biasa, yaitu : Contoh Soal : 3. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa untuk a bilangan riil dan n bilangan asli, berlaku: Definisi bilangan berpangkat tersebut berlaku juga pada pecahan bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, Contoh pelajari uraian berikut. Soal : 4. Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar Masih ingatkah kamu materi penyederhanaan pecahan yang telah dipelajari di Kelas VII? Coba jelaskan dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Sekarang kamu akan mempelajari cara menyederhanakan pecahan bentuk aljabar. Untuk itu, pelajari uraian berikut ini. a. Untuk menyederhanakan bentuk , tentukan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebutnya. Kemudian, bagilah pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan tersebut. Faktor persekutuan dari 5x dan 10 adalah 5. dari 9p dan 27q adalah 9. Jadi, b. Faktor persekutuan Jadi, c. Untuk tentukan faktor menyederhanakan penyebutnya bentuk sehingga Jadi, Agar kamu lebih memahami materi penyederhanaan pecahan bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.