Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih - Blog FTSL

Warsoma Djohan
Prodi Matematika, FMIPA - ITB
March 11, 2011
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
1 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan
pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
2 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua/Lebih Peubah
Fungsi Dua Peubah
Notasi: z = f (x, y).
x dan y disebut peubah/variabel bebas.
z disebut peubah/variabel tak bebas.
√
y−x2
Contoh: f (x, y) = x2 +(y−1)2
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
f
(x,y)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
f : (x,y)
z
z
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan
pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.
March 11, 2011
2 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua/Lebih Peubah
Fungsi Dua Peubah
Notasi: z = f (x, y).
x dan y disebut peubah/variabel bebas.
z disebut peubah/variabel tak bebas.
√
y−x2
Contoh: f (x, y) = x2 +(y−1)2
f
(x,y)
f : (x,y)
z
z
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan
pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.
Daerah definisi/Domain dari fungsi f , dinotasikan Df , adalah kumpulan
semua pasangan (x, y) sehingga f (x, y) terdefinisi/punya nilai.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
2 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua/Lebih Peubah
Fungsi Dua Peubah
Notasi: z = f (x, y).
x dan y disebut peubah/variabel bebas.
z disebut peubah/variabel tak bebas.
√
y−x2
Contoh: f (x, y) = x2 +(y−1)2
f
(x,y)
f : (x,y)
z
z
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan
pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.
Daerah definisi/Domain dari fungsi f , dinotasikan Df , adalah kumpulan
semua pasangan (x, y) sehingga f (x, y) terdefinisi/punya nilai.
Daerah Nilai/Range dari fungsi f , Rf = {z ∈ R|z = f (x, y), (x, y) ∈ Df }.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
2 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua/Lebih Peubah
Fungsi Dua Peubah
Notasi: z = f (x, y).
x dan y disebut peubah/variabel bebas.
z disebut peubah/variabel tak bebas.
√
y−x2
Contoh: f (x, y) = x2 +(y−1)2
f
(x,y)
f : (x,y)
z
z
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan
pasangan terurut (x, y) ∈ R2 dengan sebuah bilangan z ∈ R.
Daerah definisi/Domain dari fungsi f , dinotasikan Df , adalah kumpulan
semua pasangan (x, y) sehingga f (x, y) terdefinisi/punya nilai.
Daerah Nilai/Range dari fungsi f , Rf = {z ∈ R|z = f (x, y), (x, y) ∈ Df }.
Latihan: Tentukan daerah definisi dari contoh di atas lalu gambarkan. ♠
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
2 / 34
ITB USE ONLY
Grafik Fungsi Dua Peubah
3
z = f ( x, y)
2.5
Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan
suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).
2
1.5
1
0.5
Dari pembahasan gambar-gambar permukaan
standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang
merupakan fungsi dan mana yang bukan.
0
0.5
1
2
2.5
1.5
2
2.5
3
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
1.5
0.5
1
( x, y)
March 11, 2011
3
3 / 34
ITB USE ONLY
Grafik Fungsi Dua Peubah
3
z = f ( x, y)
2.5
Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan
suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).
2
1.5
1
0.5
Dari pembahasan gambar-gambar permukaan
standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang
merupakan fungsi dan mana yang bukan.
0
0.5
1
2
2.5
1.5
2
2.5
3
Contoh: Gambarkan grafik z =
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
1
3
p
36 − 9x2 − 4y2
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
1.5
0.5
1
( x, y)
March 11, 2011
3
3 / 34
ITB USE ONLY
Grafik Fungsi Dua Peubah
3
z = f ( x, y)
2.5
Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan
suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).
2
1.5
1
0.5
Dari pembahasan gambar-gambar permukaan
standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang
merupakan fungsi dan mana yang bukan.
0
0.5
1
2
2.5
1.5
2
2.5
3
Contoh: Gambarkan grafik z =
1
3
p
36 − 9x2 − 4y2
Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk
9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 z ≥ 0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
1.5
0.5
1
( x, y)
March 11, 2011
3
3 / 34
ITB USE ONLY
Grafik Fungsi Dua Peubah
3
z = f ( x, y)
2.5
Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan
suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).
2
1.5
1
0.5
Dari pembahasan gambar-gambar permukaan
standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang
merupakan fungsi dan mana yang bukan.
0
0.5
1
2
2.5
1.5
2
( x, y)
2.5
3
Contoh: Gambarkan grafik z =
1
3
p
36 − 9x2 − 4y2
1.5
Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk
1
–6
–4
9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 z ≥ 0
Open Source
Not For Commercial Use
1.5
0.5
1
0.5
–2
–8
–6
–4
–2
2
3
4
6
8
Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida.
2
–0.5
4
6
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
3 / 34
ITB USE ONLY
Grafik Fungsi Dua Peubah
3
z = f ( x, y)
2.5
Grafik fungsi dua peubah z = f (x, y) merupakan
suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).
2
1.5
1
0.5
Dari pembahasan gambar-gambar permukaan
standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang
merupakan fungsi dan mana yang bukan.
0
0.5
1
2
2.5
1.5
2
( x, y)
2.5
3
Contoh: Gambarkan grafik z =
1
3
p
36 − 9x2 − 4y2
1.5
Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk
1
–6
–4
9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 z ≥ 0
Open Source
Not For Commercial Use
1.5
0.5
1
0.5
–2
–8
–6
–4
–2
2
3
4
6
8
Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida.
2
–0.5
4
Secara umum menggambar fungsi dua peubah cukup sukar.
Cara lain yang lebih mudah untuk menggambarkan fungsi dua peubah adalah
dengan membuat kontur/kurva ketinggiannya.
6
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
3 / 34
Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur
ITB USE ONLY
Kurva Ketinggian /Peta Kontur
z
z=f(x,y)
Open Source
Not For Commercial Use
WD2011
Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y).
y
x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
4 / 34
Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur
ITB USE ONLY
Kurva Ketinggian /Peta Kontur
z
z=f(x,y)
Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y).
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k
Open Source
Not For Commercial Use
WD2011
z=k
y
x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
4 / 34
Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur
ITB USE ONLY
Kurva Ketinggian /Peta Kontur
z
z=f(x,y)
Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y).
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k
Open Source
Not For Commercial Use
z=k
WD2011
Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang.
y
x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
4 / 34
Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur
ITB USE ONLY
Kurva Ketinggian /Peta Kontur
z
z=f(x,y)
Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y).
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k
Open Source
Not For Commercial Use
z=k
WD2011
Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang.
Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy
kurva ketinggian
x
y
f(x,y)=k
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
4 / 34
Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur
ITB USE ONLY
Kurva Ketinggian /Peta Kontur
z
z=f(x,y)
Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y).
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k
Open Source
Not For Commercial Use
z=k
WD2011
Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang.
Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy
kurva ketinggian
x
y
f(x,y)=k
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari
z = f (x, y) dengan ketinggian k
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
4 / 34
Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur
ITB USE ONLY
Kurva Ketinggian /Peta Kontur
z
z=f(x,y)
Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y).
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k
Open Source
Not For Commercial Use
z=k
WD2011
Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang.
Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy
kurva ketinggian
x
y
f(x,y)=k
Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari
z = f (x, y) dengan ketinggian k
Kurva ketinggian dari sebuah fungsi dua peubah z = f (x, y) adalah
kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi /
ketinggian sama.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
4 / 34
Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur
ITB USE ONLY
Kurva Ketinggian /Peta Kontur
z
z=f(x,y)
Diberikan sebuah permukaan z = f (x, y).
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k
Open Source
Not For Commercial Use
z=k
WD2011
Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang.
Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy
kurva ketinggian
x
y
f(x,y)=k
Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari
z = f (x, y) dengan ketinggian k
Kurva ketinggian dari sebuah fungsi dua peubah z = f (x, y) adalah
kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi /
ketinggian sama.
Gambar beberapa kurva ketinggian dengan berbagai k disebut peta kontur.
p
Contoh: Gambarkan peta kontur dari z = 31 36 − 9x2 − 4y2 ♠
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
4 / 34
Menggambar Peta Kontur
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Diskusi:
Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan ?
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
5 / 34
Menggambar Peta Kontur
ITB USE ONLY
Diskusi:
Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan ?
Open Source
Not For Commercial Use
Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k
yang sama ?
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
5 / 34
Menggambar Peta Kontur
ITB USE ONLY
Diskusi:
Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan ?
Latihan: Gambarkan peta kontur dari: (a) z = xy ♠
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
(b) z = y2 − x2 .
Open Source
Not For Commercial Use
Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k
yang sama ?
March 11, 2011
5 / 34
Fungsi Tiga Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Tiga Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan
terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
6 / 34
Fungsi Tiga Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Tiga Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan
terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).
√
Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2
(c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
6 / 34
Fungsi Tiga Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Tiga Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan
terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).
√
Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2
(c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
6 / 34
Fungsi Tiga Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Tiga Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan
terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).
√
Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2
(c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?
Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
6 / 34
Fungsi Tiga Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Tiga Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan
terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).
√
Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2
(c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?
Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k.
Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
6 / 34
Fungsi Tiga Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Tiga Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan
terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).
√
Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2
(c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?
Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k.
Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Persamaan kurva ketinggiannya:
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
6 / 34
Fungsi Tiga Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Tiga Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan
terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).
√
Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2
(c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?
Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k.
Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Persamaan kurva ketinggiannya: z − x2 − y2 = k
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
6 / 34
Fungsi Tiga Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Tiga Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan
terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).
√
Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2
(c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?
Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k.
Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Persamaan kurva ketinggiannya: z − x2 − y2 = k
z = x2 + y2 + k
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
6 / 34
Fungsi Tiga Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi Tiga Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan
terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f (x, y, z).
√
Contoh: (a) u = f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 (b) v = g(x, y, z) = x + y2
(c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?
Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f (x, y, z) = k.
Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x, y, z) = z − x2 − y2 .
Persamaan kurva ketinggiannya: z − x2 − y2 = k
z = x2 + y2 + k
Peta kontur berupa kumpulan paraboloida.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
6 / 34
Turunan Parsial
ITB USE ONLY
Turunan Parsial
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung
gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggian dari kurva yang merupakan
perpotongan permukaan z = f (x, y) dengan bidang yang sejajar dengan
bidang xoz atau bidang yoz.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
7 / 34
ITB USE ONLY
Turunan Parsial
Turunan Parsial
Untuk itu dikenal ada dua macam turunan parsial, yaitu:
a. Turunan parsial terhadap variabel x
♠
b. Turunan parsial terhadap variabel y
♠
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung
gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggian dari kurva yang merupakan
perpotongan permukaan z = f (x, y) dengan bidang yang sejajar dengan
bidang xoz atau bidang yoz.
March 11, 2011
7 / 34
ITB USE ONLY
Turunan Parsial
Turunan Parsial
Untuk itu dikenal ada dua macam turunan parsial, yaitu:
a. Turunan parsial terhadap variabel x
♠
b. Turunan parsial terhadap variabel y
♠
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung
gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggian dari kurva yang merupakan
perpotongan permukaan z = f (x, y) dengan bidang yang sejajar dengan
bidang xoz atau bidang yoz.
Cara menentukan turunan parsial sebuah fungsi dua peubah sama saja
dengan cara menentukan turunan fungsi satu peubah. Untuk jelasnya
ikutilah contoh berikut ini.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
7 / 34
ITB USE ONLY
Turunan Parsial
Turunan Parsial
Untuk itu dikenal ada dua macam turunan parsial, yaitu:
a. Turunan parsial terhadap variabel x
♠
b. Turunan parsial terhadap variabel y
♠
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung
gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggian dari kurva yang merupakan
perpotongan permukaan z = f (x, y) dengan bidang yang sejajar dengan
bidang xoz atau bidang yoz.
Cara menentukan turunan parsial sebuah fungsi dua peubah sama saja
dengan cara menentukan turunan fungsi satu peubah. Untuk jelasnya
ikutilah contoh berikut ini.
Contoh:
2
Tentukan semua turunan parsial pertama dari f (x, y) = x2 y3 + ex y .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
♠
7 / 34
Turunan Parsial Kedua
Turunan Parsial Kedua
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan
dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
8 / 34
Turunan Parsial Kedua
Turunan Parsial Kedua
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan
dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi
terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
8 / 34
Turunan Parsial Kedua
Turunan Parsial Kedua
Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan
dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi
terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua.
March 11, 2011
8 / 34
Turunan Parsial Kedua
Turunan Parsial Kedua
Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua.
fxx (x, y) =
∂
∂f
∂x
∂x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
=
∂ 2f
(x, y)
∂ x2
fx (x+∆x,y)−fx (x,y)
∆x
∆x→0
= lim
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan
dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi
terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua.
March 11, 2011
8 / 34
Turunan Parsial Kedua
Turunan Parsial Kedua
Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua.
fxx (x, y) =
fxy (x, y) =
∂
∂
∂f
∂x
∂x
∂f
∂x
∂y
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
=
∂ 2f
(x, y)
∂ x2
=
∂ 2f
∂ y ∂ x (x, y)
fx (x+∆x,y)−fx (x,y)
∆x
∆x→0
= lim
= lim
∆y→0
fx (x,y+∆y)−fx (x,y)
∆y
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan
dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi
terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua.
March 11, 2011
8 / 34
Turunan Parsial Kedua
Turunan Parsial Kedua
Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua.
fxx (x, y) =
fxy (x, y) =
fyx (x, y) =
∂
∂
∂
∂f
∂x
∂x
∂f
∂x
∂y
∂f
∂y
∂x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
=
∂ 2f
(x, y)
∂ x2
=
∂ 2f
∂ y ∂ x (x, y)
= lim
fx (x,y+∆y)−fx (x,y)
∆y
=
∂ 2f
∂ x ∂ y (x, y)
= lim
fx (x+∆x,y)−fx (x,y)
∆x
fx (x+∆x,y)−fx (x,y)
∆x
∆x→0
= lim
∆y→0
∆x→0
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan
dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi
terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua.
March 11, 2011
8 / 34
Turunan Parsial Kedua
Turunan Parsial Kedua
Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua.
fxx (x, y) =
fxy (x, y) =
fyx (x, y) =
fyy (x, y) =
∂
∂
∂
∂
∂f
∂x
∂x
∂f
∂x
∂y
∂f
∂y
∂x
∂f
∂y
∂y
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
=
∂ 2f
(x, y)
∂ x2
=
∂ 2f
∂ y ∂ x (x, y)
= lim
fx (x,y+∆y)−fx (x,y)
∆y
=
∂ 2f
∂ x ∂ y (x, y)
= lim
fx (x+∆x,y)−fx (x,y)
∆x
=
∂ 2f
(x, y)
∂ y2
fx (x+∆x,y)−fx (x,y)
∆x
∆x→0
= lim
∆y→0
∆x→0
= lim
∆y→0
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan
dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi
terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua.
fy (y,y+∆y)−fy (x,y)
∆y
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
8 / 34
Turunan Parsial Kedua
Turunan Parsial Kedua
Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua.
fxx (x, y) =
fxy (x, y) =
fyx (x, y) =
fyy (x, y) =
∂
∂
∂
∂
∂f
∂x
∂x
∂f
∂x
∂y
∂f
∂y
∂x
∂f
∂y
∂y
=
∂ 2f
(x, y)
∂ x2
=
∂ 2f
∂ y ∂ x (x, y)
= lim
fx (x,y+∆y)−fx (x,y)
∆y
=
∂ 2f
∂ x ∂ y (x, y)
= lim
fx (x+∆x,y)−fx (x,y)
∆x
=
∂ 2f
(x, y)
∂ y2
fx (x+∆x,y)−fx (x,y)
∆x
∆x→0
= lim
∆y→0
∆x→0
= lim
∆y→0
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f (x, y) akan menghasilkan
dua buah fungsi baru fx (x, y) dan fy (x, y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi
terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua.
fy (y,y+∆y)−fy (x,y)
∆y
2
Latihan: Tentukan semua turunan parsial kedua dari f (x, y) = x2 y3 + ex y . ♠
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
8 / 34
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
ITB USE ONLY
Limit Fungsi 2 Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
9 / 34
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
ITB USE ONLY
Limit Fungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
x2 −y2
x2 +y2
berikut ini:
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =
March 11, 2011
9 / 34
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
ITB USE ONLY
Limit Fungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
z
x
y
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
x2 −y2
x2 +y2
berikut ini:
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =
March 11, 2011
9 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
Limit Fungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
z
y=x
-1
1
x
0
1
y
-1
0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
x2 −y2
x2 +y2
berikut ini:
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =
March 11, 2011
9 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
Limit Fungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
z
berikut ini:
y=x
y=x
-1
1
x
x2 −y2
x2 +y2
-1
0
1
1
-1
-1
0
0
1
y
0
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =
Perbesaran gambar 2, 10.000 kali
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
9 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
Limit Fungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
z
berikut ini:
y=x
y=x
-1
1
x
x2 −y2
x2 +y2
-1
0
1
1
-1
-1
0
0
1
y
0
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =
Perbesaran gambar 2, 10.000 kali
Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) →
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
9 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
Limit Fungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
z
berikut ini:
y=x
y=x
-1
1
x
x2 −y2
x2 +y2
-1
0
1
1
-1
-1
0
0
1
y
0
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =
Perbesaran gambar 2, 10.000 kali
Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) → 1
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
9 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
Limit Fungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
z
berikut ini:
y=x
y=x
-1
1
x
x2 −y2
x2 +y2
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =
-1
0
1
1
1
y
-1
-1
0
0
0
Perbesaran gambar 2, 10.000 kali
Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) → 1
Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu y, f (x, y) →
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
9 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
Limit Fungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
z
berikut ini:
y=x
y=x
-1
1
x
x2 −y2
x2 +y2
-1
0
1
1
-1
-1
0
0
1
y
0
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =
Perbesaran gambar 2, 10.000 kali
Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) → 1
Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu y, f (x, y) → − 1
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
9 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1
Limit Fungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Kita akan
mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
z
berikut ini:
y=x
y=x
-1
1
x
x2 −y2
x2 +y2
-1
0
1
1
-1
-1
0
0
1
y
0
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) =
Perbesaran gambar 2, 10.000 kali
Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) → 1
Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu y, f (x, y) → − 1
Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang garis y = x, f (x, y) → 0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
9 / 34
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) = x2 + y2 berikut ini:
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
10 / 34
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) = x2 + y2 berikut ini:
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
10 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) = x2 + y2 berikut ini:
0.75 1
0.75 1
0.1
0.25
0.1
0.25
0.05
0.01
Perhatikan peta kontur paling kanan.
(bila kurang jelas, perbesarlah tampilannya).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
0.5
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
0.5
0.05
0.01
March 11, 2011
10 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) = x2 + y2 berikut ini:
0.75 1
0.75 1
0.1
0.25
0.5
0.1
0.25
0.05
0.01
Perhatikan peta kontur paling kanan.
(bila kurang jelas, perbesarlah tampilannya).
Open Source
Not For Commercial Use
0.5
0.05
0.01
Kurva biru menunjukkan jalur-jalur yang semuanya menuju titik asal.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
10 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) = x2 + y2 berikut ini:
0.75 1
0.75 1
0.1
0.25
0.5
0.1
0.25
0.05
0.01
Perhatikan peta kontur paling kanan.
(bila kurang jelas, perbesarlah tampilannya).
Open Source
Not For Commercial Use
0.5
0.05
0.01
Kurva biru menunjukkan jalur-jalur yang semuanya menuju titik asal.
Pada tiap jalur, amatilah kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) → (0, 0).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
10 / 34
ITB USE ONLY
Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2
Perhatikan grafik dan peta kontur dari f (x, y) = x2 + y2 berikut ini:
0.75 1
0.75 1
0.1
0.25
0.5
0.1
0.25
0.05
0.01
Perhatikan peta kontur paling kanan.
(bila kurang jelas, perbesarlah tampilannya).
Open Source
Not For Commercial Use
0.5
0.05
0.01
Kurva biru menunjukkan jalur-jalur yang semuanya menuju titik asal.
Pada tiap jalur, amatilah kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) → (0, 0).
Apakah tiap jalur memberikan kecendrungan nilai f (x, y) yang sama ?
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
10 / 34
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Limit Fungsi Dua Peubah: Definisi Limit Fungsi Dua peubah
Limit dari fungsi dua peubah f (x, y) untuk (x, y) mendekati (a, b) disebut L,
ditulis lim f (x, y) = L artinya untuk setiap ε > 0, selalu dapat dicari δ > 0
(x,y)→(a,b)
sehingga 0 < |(x, y) − (a, b)| < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε .
p
Catatan: |(x, y) − (a, b)| = (x − a)2 + (y − b)2
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
11 / 34
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Limit Fungsi Dua Peubah: Definisi Limit Fungsi Dua peubah
Limit dari fungsi dua peubah f (x, y) untuk (x, y) mendekati (a, b) disebut L,
ditulis lim f (x, y) = L artinya untuk setiap ε > 0, selalu dapat dicari δ > 0
(x,y)→(a,b)
sehingga 0 < |(x, y) − (a, b)| < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε .
p
Catatan: |(x, y) − (a, b)| = (x − a)2 + (y − b)2
Fungsi f tidak perlu terdefinisi pada titik (a, b).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
11 / 34
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Limit Fungsi Dua Peubah: Definisi Limit Fungsi Dua peubah
Limit dari fungsi dua peubah f (x, y) untuk (x, y) mendekati (a, b) disebut L,
ditulis lim f (x, y) = L artinya untuk setiap ε > 0, selalu dapat dicari δ > 0
(x,y)→(a,b)
sehingga 0 < |(x, y) − (a, b)| < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε .
p
Catatan: |(x, y) − (a, b)| = (x − a)2 + (y − b)2
Fungsi f tidak perlu terdefinisi pada titik (a, b).
Nilai limit f (x, y) tidak boleh bergantung pada arah (x, y) mendekati (a, b).
(Pada fungsi dua peubah tidak ada konsep limit kiri atau limit kanan).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
11 / 34
Limit Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Soal-soal Latihan Limit Fungsi Dua Peubah
1. Periksa
x2 −y2
(x,y)→(2,2) x−y
2. Periksa
3−x2 −xy
2
2
(x,y)→(0,0) x +y
3. Periksa
x2 +y2
4
4
x
(x,y)→(0,0) −y
5. Periksa
Open Source
Not For Commercial Use
4. Periksa
lim
lim
lim
lim
(x,y)→(0,0)
xy
(x2 +y2 )2
x2 y
4 +y2
x
(x,y)→(0,0)
lim
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
12 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila
memenuhi lim f (x, y) = f (a, b)
Open Source
Not For Commercial Use
(x,y)→(a,b)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
13 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila
memenuhi lim f (x, y) = f (a, b)
Sifat-sifat:
Misalkan f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka
f + g, f − g, fg, dan f /g kontinu di (a, b).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
(x,y)→(a,b)
March 11, 2011
13 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila
memenuhi lim f (x, y) = f (a, b)
Sifat-sifat:
Misalkan f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka
f + g, f − g, fg, dan f /g kontinu di (a, b).
Open Source
Not For Commercial Use
(x,y)→(a,b)
Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 + · · · kontinu di R2
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
13 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila
memenuhi lim f (x, y) = f (a, b)
Sifat-sifat:
Misalkan f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka
f + g, f − g, fg, dan f /g kontinu di (a, b).
Open Source
Not For Commercial Use
(x,y)→(a,b)
Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 + · · · kontinu di R2
fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
13 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila
memenuhi lim f (x, y) = f (a, b)
Sifat-sifat:
Misalkan f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka
f + g, f − g, fg, dan f /g kontinu di (a, b).
Open Source
Not For Commercial Use
(x,y)→(a,b)
Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 + · · · kontinu di R2
fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya.
Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f (x) kontinu di g(a, b),
maka (f ◦ g)(x, y) = f (g(x, y)) kontinu di (a, b).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
13 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila
memenuhi lim f (x, y) = f (a, b)
Sifat-sifat:
Misalkan f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka
f + g, f − g, fg, dan f /g kontinu di (a, b).
Open Source
Not For Commercial Use
(x,y)→(a,b)
Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 + · · · kontinu di R2
fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya.
Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f (x) kontinu di g(a, b),
maka (f ◦ g)(x, y) = f (g(x, y)) kontinu di (a, b).
Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f (x, y) = cos(x3 − 4xy + y2)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
13 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila
memenuhi lim f (x, y) = f (a, b)
Sifat-sifat:
Misalkan f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka
f + g, f − g, fg, dan f /g kontinu di (a, b).
Open Source
Not For Commercial Use
(x,y)→(a,b)
Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 + · · · kontinu di R2
fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya.
Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f (x) kontinu di g(a, b),
maka (f ◦ g)(x, y) = f (g(x, y)) kontinu di (a, b).
Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f (x, y) = cos(x3 − 4xy + y2)
Jawab: Nyatakan f (x, y) = (g ◦ h)(x, y) dengan h(x, y) = x3 − 4xy + y2 dan g(x) = cos x.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
13 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila
memenuhi lim f (x, y) = f (a, b)
Sifat-sifat:
Misalkan f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka
f + g, f − g, fg, dan f /g kontinu di (a, b).
Open Source
Not For Commercial Use
(x,y)→(a,b)
Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 + · · · kontinu di R2
fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya.
Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f (x) kontinu di g(a, b),
maka (f ◦ g)(x, y) = f (g(x, y)) kontinu di (a, b).
Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f (x, y) = cos(x3 − 4xy + y2)
Jawab: Nyatakan f (x, y) = (g ◦ h)(x, y) dengan h(x, y) = x3 − 4xy + y2 dan g(x) = cos x.
Fungsi h kontinu di sebarang titik (x, y) ∈ R2 , dan fungsi g kontinu diseluruh R, maka
fungsi f kontinu di setiap titik pada R2 .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
13 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di
S ⊂ R2 bila f kontinu pada setiap titik pada S.
Bila S memiliki ”batas”, maka proses limit hanya
dilakukan sepanjang jalur yang berada dalam S saja.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah di Himpunan
March 11, 2011
14 / 34
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
ITB USE ONLY
Fungsi dua peubah z = f (x, y) disebut kontinu di
S ⊂ R2 bila f kontinu pada setiap titik pada S.
Bila S memiliki ”batas”, maka proses limit hanya
dilakukan sepanjang jalur yang berada dalam S saja.
Sifat: Misalkan f (x, y) fungsi dua peubah.
Bila fxy dan fyx kontinu pada himpunan buka S, maka fxy = fyx .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah di Himpunan
March 11, 2011
14 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Diferensial Fungsi Dua Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang
agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan
dilakukan secara garis besarnya saja.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
15 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Diferensial Fungsi Dua Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang
agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan
dilakukan secara garis besarnya saja.
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) dikatakan locally linear di P(a, b) bila
f (a + h1 , b + h2 ) = f (P) + h1 fx (P) + h2 fy (P) + h1 ε1 (h1 , h2 ) + h2 ε2 (h1 , h2 )
dengan ε1 (h1 , h2 ) → 0 dan ε2 (h1 , h2 ) → 0 bila (h1 , h2 ) → (0, 0)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
15 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Diferensial Fungsi Dua Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang
agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan
dilakukan secara garis besarnya saja.
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) dikatakan locally linear di P(a, b) bila
f (a + h1 , b + h2 ) = f (P) + h1 fx (P) + h2 fy (P) + h1 ε1 (h1 , h2 ) + h2 ε2 (h1 , h2 )
dengan ε1 (h1 , h2 ) → 0 dan ε2 (h1 , h2 ) → 0 bila (h1 , h2 ) → (0, 0)
Secara geometri, definisi di atas menggambarkan bahwa di sekitar titik P
permukaan x = f (x, y) dapat kita hampiri dengan sebuah bidang datar. Berikut
disajikan visualisasi dari konsep tersebut: ♠
♠
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
15 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Diferensial Fungsi Dua Peubah
Open Source
Not For Commercial Use
Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang
agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan
dilakukan secara garis besarnya saja.
Definisi: Fungsi dua peubah z = f (x, y) dikatakan locally linear di P(a, b) bila
f (a + h1 , b + h2 ) = f (P) + h1 fx (P) + h2 fy (P) + h1 ε1 (h1 , h2 ) + h2 ε2 (h1 , h2 )
dengan ε1 (h1 , h2 ) → 0 dan ε2 (h1 , h2 ) → 0 bila (h1 , h2 ) → (0, 0)
Secara geometri, definisi di atas menggambarkan bahwa di sekitar titik P
permukaan x = f (x, y) dapat kita hampiri dengan sebuah bidang datar. Berikut
disajikan visualisasi dari konsep tersebut: ♠
♠
Fungsi z = f (x, y) disebut terdiferensialkan di titik P(a, b), bila fungsi tersebut
bersifat Locally linear di P.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
15 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai:
f (~P +~h) = f (~P) + ∇f (~P) ·~h +~ε (~h) ·~h, dengan ~h =< h1 , h2 >, ~ε =< ε1 , ε2 >,
Open Source
Not For Commercial Use
dan ∇f (~P) =< fx (~P), fy (~P) > disebut gradien dari f di titik P.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
16 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai:
f (~P +~h) = f (~P) + ∇f (~P) ·~h +~ε (~h) ·~h, dengan ~h =< h1 , h2 >, ~ε =< ε1 , ε2 >,
dan ∇f (~P) =< fx (~P), fy (~P) > disebut gradien dari f di titik P.
Open Source
Not For Commercial Use
Vektor gradien ∇f (x, y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan
fungsi satu peubah:
∇[f (~p) + g(~p)] = ∇f (~p) + ∇g(~p)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
16 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai:
f (~P +~h) = f (~P) + ∇f (~P) ·~h +~ε (~h) ·~h, dengan ~h =< h1 , h2 >, ~ε =< ε1 , ε2 >,
dan ∇f (~P) =< fx (~P), fy (~P) > disebut gradien dari f di titik P.
Open Source
Not For Commercial Use
Vektor gradien ∇f (x, y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan
fungsi satu peubah:
∇[f (~p) + g(~p)] = ∇f (~p) + ∇g(~p)
∇[α f (~p)] = α ∇f (~p)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
16 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai:
f (~P +~h) = f (~P) + ∇f (~P) ·~h +~ε (~h) ·~h, dengan ~h =< h1 , h2 >, ~ε =< ε1 , ε2 >,
dan ∇f (~P) =< fx (~P), fy (~P) > disebut gradien dari f di titik P.
∇[α f (~p)] = α ∇f (~p)
∇[f (~p) g(~p)] = ∇f (~p) g(~p) + f (~p) ∇g(~p)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Vektor gradien ∇f (x, y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan
fungsi satu peubah:
∇[f (~p) + g(~p)] = ∇f (~p) + ∇g(~p)
March 11, 2011
16 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai:
f (~P +~h) = f (~P) + ∇f (~P) ·~h +~ε (~h) ·~h, dengan ~h =< h1 , h2 >, ~ε =< ε1 , ε2 >,
dan ∇f (~P) =< fx (~P), fy (~P) > disebut gradien dari f di titik P.
∇[α f (~p)] = α ∇f (~p)
∇[f (~p) g(~p)] = ∇f (~p) g(~p) + f (~p) ∇g(~p)
Open Source
Not For Commercial Use
Vektor gradien ∇f (x, y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan
fungsi satu peubah:
∇[f (~p) + g(~p)] = ∇f (~p) + ∇g(~p)
Sifat: Bila fx (x, y) dan fy (x, y) kontinu di lingkungan sekitar (a, b)
maka f (x, y) terdiferensialkan di (a, b).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
16 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai:
f (~P +~h) = f (~P) + ∇f (~P) ·~h +~ε (~h) ·~h, dengan ~h =< h1 , h2 >, ~ε =< ε1 , ε2 >,
dan ∇f (~P) =< fx (~P), fy (~P) > disebut gradien dari f di titik P.
∇[α f (~p)] = α ∇f (~p)
∇[f (~p) g(~p)] = ∇f (~p) g(~p) + f (~p) ∇g(~p)
Open Source
Not For Commercial Use
Vektor gradien ∇f (x, y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan
fungsi satu peubah:
∇[f (~p) + g(~p)] = ∇f (~p) + ∇g(~p)
Sifat: Bila fx (x, y) dan fy (x, y) kontinu di lingkungan sekitar (a, b)
maka f (x, y) terdiferensialkan di (a, b).
Contoh: Tunjukkan f (x, y) = xey + x2 y terdiferensialkan di mana-mana.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
16 / 34
Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan
ITB USE ONLY
Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai:
f (~P +~h) = f (~P) + ∇f (~P) ·~h +~ε (~h) ·~h, dengan ~h =< h1 , h2 >, ~ε =< ε1 , ε2 >,
dan ∇f (~P) =< fx (~P), fy (~P) > disebut gradien dari f di titik P.
∇[α f (~p)] = α ∇f (~p)
∇[f (~p) g(~p)] = ∇f (~p) g(~p) + f (~p) ∇g(~p)
Open Source
Not For Commercial Use
Vektor gradien ∇f (x, y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan
fungsi satu peubah:
∇[f (~p) + g(~p)] = ∇f (~p) + ∇g(~p)
Sifat: Bila fx (x, y) dan fy (x, y) kontinu di lingkungan sekitar (a, b)
maka f (x, y) terdiferensialkan di (a, b).
Contoh: Tunjukkan f (x, y) = xey + x2 y terdiferensialkan di mana-mana.
Sifat: Jika fungsi f (x, y) terdiferensial di P maka f (x, y) kontinu di P.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
16 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Turunan Berarah
Open Source
Not For Commercial Use
Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan
nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
17 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Turunan Berarah
Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan
nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Contoh pada masalah sehari-hari ♠ .
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Animasi turunan berarah ♠ .
March 11, 2011
17 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Turunan Berarah
Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan
nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.
Contoh pada masalah sehari-hari ♠ .
Perhatikan permukaan z = f (x, y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Animasi turunan berarah ♠ .
March 11, 2011
17 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Turunan Berarah
Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan
nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.
Contoh pada masalah sehari-hari ♠ .
Perhatikan permukaan z = f (x, y)
P(a, b) titik pada daerah definisi f
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Animasi turunan berarah ♠ .
March 11, 2011
17 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Turunan Berarah
Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan
nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.
Contoh pada masalah sehari-hari ♠ .
Perhatikan permukaan z = f (x, y)
P(a, b) titik pada daerah definisi f
Open Source
Not For Commercial Use
Animasi turunan berarah ♠ .
~u vektor satuan yang berpangkal di P
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
17 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Turunan Berarah
Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan
nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.
Contoh pada masalah sehari-hari ♠ .
Perhatikan permukaan z = f (x, y)
P(a, b) titik pada daerah definisi f
Open Source
Not For Commercial Use
Animasi turunan berarah ♠ .
~u vektor satuan yang berpangkal di P
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang
tegak yang melalui P dan searah dengan~u.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
17 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Turunan Berarah
Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan
nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.
Contoh pada masalah sehari-hari ♠ .
Perhatikan permukaan z = f (x, y)
P(a, b) titik pada daerah definisi f
Open Source
Not For Commercial Use
Animasi turunan berarah ♠ .
~u vektor satuan yang berpangkal di P
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang
tegak yang melalui P dan searah dengan~u.
Hasilnya berupa sebuah kurva.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
17 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Turunan Berarah
Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan
nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.
Contoh pada masalah sehari-hari ♠ .
Perhatikan permukaan z = f (x, y)
P(a, b) titik pada daerah definisi f
Open Source
Not For Commercial Use
Animasi turunan berarah ♠ .
~u vektor satuan yang berpangkal di P
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang
tegak yang melalui P dan searah dengan~u.
Hasilnya berupa sebuah kurva.
Buat garis singgung di titik (a, b, f (a, b)).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
17 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Turunan Berarah
Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan
nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu.
Contoh pada masalah sehari-hari ♠ .
Perhatikan permukaan z = f (x, y)
P(a, b) titik pada daerah definisi f
Open Source
Not For Commercial Use
Animasi turunan berarah ♠ .
~u vektor satuan yang berpangkal di P
Iriskan permukaan tersebut dengan bidang
tegak yang melalui P dan searah dengan~u.
Hasilnya berupa sebuah kurva.
Buat garis singgung di titik (a, b, f (a, b)).
Akan dihitung gradien/tanjakan dari garis
singgung tersebut.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
17 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u:
∂f
f (~P + h~u) − f (~P)
dengan ~P =< a, b >
(P) = D~u f (P) = lim
h→0
h
∂~u
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
18 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u:
∂f
f (~P + h~u) − f (~P)
dengan ~P =< a, b >
(P) = D~u f (P) = lim
h→0
h
∂~u
~u =
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
18 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u:
∂f
f (~P + h~u) − f (~P)
dengan ~P =< a, b >
(P) = D~u f (P) = lim
h→0
h
∂~u
~u = < 0, 1 >
∂f
(P) =
∂~u
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
18 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u:
∂f
f (~P + h~u) − f (~P)
dengan ~P =< a, b >
(P) = D~u f (P) = lim
h→0
h
∂~u
~u = < 0, 1 >
∂f
∂f
(P) =
(P)
∂~u
∂x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
18 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
~u = < 0, 1 >
~u =
∂f
∂f
(P) =
(P)
∂~u
∂x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u:
∂f
f (~P + h~u) − f (~P)
dengan ~P =< a, b >
(P) = D~u f (P) = lim
h→0
h
∂~u
March 11, 2011
18 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
~u = < 0, 1 >
∂f
∂f
(P) =
(P)
∂~u
∂x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
~u = < 1, 0 >
∂f
(P) =
∂~u
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u:
∂f
f (~P + h~u) − f (~P)
dengan ~P =< a, b >
(P) = D~u f (P) = lim
h→0
h
∂~u
March 11, 2011
18 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
~u = < 0, 1 >
~u = < 1, 0 >
∂f
∂f
(P) =
(P)
∂~u
∂x
∂f
∂f
(P) =
(P)
∂~u
∂y
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
~u =
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u:
∂f
f (~P + h~u) − f (~P)
dengan ~P =< a, b >
(P) = D~u f (P) = lim
h→0
h
∂~u
March 11, 2011
18 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
~u = < 0, 1 >
~u = < 1, 0 >
∂f
∂f
(P) =
(P)
∂~u
∂x
∂f
∂f
(P) =
(P)
∂~u
∂y
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u:
∂f
f (~P + h~u) − f (~P)
dengan ~P =< a, b >
(P) = D~u f (P) = lim
h→0
h
∂~u
~u = < u1 , u2 >
∂f
(P) =
∂~u
March 11, 2011
18 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Turunan berarah dari z = f (x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan~u:
∂f
f (~P + h~u) − f (~P)
dengan ~P =< a, b >
(P) = D~u f (P) = lim
h→0
h
∂~u
~u = < 0, 1 >
~u = < 1, 0 >
∂f
∂f
(P) =
(P)
∂~u
∂x
~u = < u1 , u2 >
∂f
∂f
(P) =
(P)
∂~u
∂y
∂f
(P) = · · · · · ·
∂~u
Teorema: Misalkan z = f (x, y) terdiferensial di sekitar titik P, dan~u vektor
∂f
arah satuan maka
(P) = ∇F(P) ·~u
∂~u
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
18 / 34
Turunan Berarah
ITB USE ONLY
Soal-soal latihan:
1
Misalkan f (x, y) = 4x2 − xy + 3y2 , tentukan Du f di titik (2, −1)
(a.) pada arah~a = h4, 3i (b.) pada arah menuju titik (5, 3).
Misalkan z = f (x, y), pada arah manakah D~u f (~p) maksimum?
3
Diberikan temperatur sebuah keping pada setiap titik (x, y) adalah
T(x, y) = 4x2 − xy + 3y2 . Seekor kutu berada di posisi (1, 2). Pada arah
manakah dia harus bergerak agar mengalami penurunan temperatur
terbesar.
4
Alief sedang berada pada lereng gunung Bromo. Bila Dia bergerak ke
utara, laju perubahan ketinggiannya adalah 0,7 meter/detik, sedangkan bila
bergerak ke arah barat laju perubahan ketinggiannya 0,5 meter/detik.
Tentukan laju perubahan ketinggian gunung bila dia bergerak ke arah
timur laut. Petunjuk: gambarkan arah mata angin dengan arah timur dan
utara masing-masing menggambarkan sumbu x positif dan y positif
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Open Source
Not For Commercial Use
2
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
19 / 34
Turunan Berarah vs Vektor Gradien
ITB USE ONLY
Turunan Berarah vs Vektor Gradien:
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ
dari fungsi z = f (x, y).
l
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
20 / 34
Turunan Berarah vs Vektor Gradien
ITB USE ONLY
Turunan Berarah vs Vektor Gradien:
Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ
dari fungsi z = f (x, y).
Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut.
Open Source
Not For Commercial Use
P
l
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
20 / 34
Turunan Berarah vs Vektor Gradien
ITB USE ONLY
Turunan Berarah vs Vektor Gradien:
P
Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ
dari fungsi z = f (x, y).
Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut.
Open Source
Not For Commercial Use
r
u
~u vektor singgung satuan satuan di titik P.
l
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
20 / 34
Turunan Berarah vs Vektor Gradien
ITB USE ONLY
Turunan Berarah vs Vektor Gradien:
P
Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ
dari fungsi z = f (x, y).
Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut.
Open Source
Not For Commercial Use
r
u
~u vektor singgung satuan satuan di titik P.
Nilai D~u f (P) = 0, mengapa ?
l
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
20 / 34
Turunan Berarah vs Vektor Gradien
ITB USE ONLY
Turunan Berarah vs Vektor Gradien:
P
Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ
dari fungsi z = f (x, y).
Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut.
Open Source
Not For Commercial Use
r
u
~u vektor singgung satuan satuan di titik P.
Nilai D~u f (P) = 0, mengapa ?
l
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Dilain pihak D~u f (P) = ∇f (P) ·~u
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
20 / 34
Turunan Berarah vs Vektor Gradien
ITB USE ONLY
Turunan Berarah vs Vektor Gradien:
P
Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ
dari fungsi z = f (x, y).
Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut.
Open Source
Not For Commercial Use
r
u
~u vektor singgung satuan satuan di titik P.
Nilai D~u f (P) = 0, mengapa ?
l
Dilain pihak D~u f (P) = ∇f (P) ·~u
Jadi ∇f (P) ·~u = 0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
20 / 34
Turunan Berarah vs Vektor Gradien
ITB USE ONLY
Turunan Berarah vs Vektor Gradien:
P
Ñf ( P )
Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ
dari fungsi z = f (x, y).
Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut.
Open Source
Not For Commercial Use
r
u
~u vektor singgung satuan satuan di titik P.
Nilai D~u f (P) = 0, mengapa ?
l
Dilain pihak D~u f (P) = ∇f (P) ·~u
Jadi ∇f (P) ·~u = 0
Kesimpulan: ∇f (P) tegak lurus terhadap lengkungan ℓ
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
20 / 34
Turunan Berarah vs Vektor Gradien
ITB USE ONLY
Turunan Berarah vs Vektor Gradien:
P
Ñf ( P )
Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ
dari fungsi z = f (x, y).
Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut.
Open Source
Not For Commercial Use
r
u
~u vektor singgung satuan satuan di titik P.
Nilai D~u f (P) = 0, mengapa ?
l
Dilain pihak D~u f (P) = ∇f (P) ·~u
Jadi ∇f (P) ·~u = 0
Kesimpulan: ∇f (P) tegak lurus terhadap lengkungan ℓ
Perluasan konsep: Misalkan F(x, y, z) = k sebuah permukaan dan P sebarang
titik di permukaan tersebut, maka ∇F =< Fx (P), Fy (P), Fz (P) > tegak lurus
permukaan di titik P. Bukti ♠ .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
20 / 34
Turunan Berarah vs Vektor Gradien
ITB USE ONLY
Turunan Berarah vs Vektor Gradien:
P
Ñf ( P )
Perhatikan kurva ketinggian dengan level ℓ
dari fungsi z = f (x, y).
Titik P(a, b) berada pada kurva tersebut.
Open Source
Not For Commercial Use
r
u
~u vektor singgung satuan satuan di titik P.
Nilai D~u f (P) = 0, mengapa ?
l
Dilain pihak D~u f (P) = ∇f (P) ·~u
Jadi ∇f (P) ·~u = 0
Kesimpulan: ∇f (P) tegak lurus terhadap lengkungan ℓ
Perluasan konsep: Misalkan F(x, y, z) = k sebuah permukaan dan P sebarang
titik di permukaan tersebut, maka ∇F =< Fx (P), Fy (P), Fz (P) > tegak lurus
permukaan di titik P. Bukti ♠ .
2
Latihan: Diberikan fungsi z = x4 + y2 . Tentukan vektor gradien di titik (2, 1),
lalu gambarkan kurva ketinggian beserta vektor gradiennya.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
20 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
ITB USE ONLY
z
y
x
F(x,y,z)=0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Bidang Singgung
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
ITB USE ONLY
z
Bidang Singgung
y
x
F(x,y,z)=0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
ITB USE ONLY
z
Bidang Singgung
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
P
b
y
x
F(x,y,z)=0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
a
P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
z
ITB USE ONLY
Bidang Singgung
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.
P
a
b
y
x
F(x,y,z)=0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Dibuat bidang singgung yang melalui titik P.
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
z
ITB USE ONLY
Bidang Singgung
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.
P
a
b
y
x
Bagaimana menentukan persamaan bidang
singgung tersebut?
F(x,y,z)=0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Open Source
Not For Commercial Use
Dibuat bidang singgung yang melalui titik P.
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
z
ITB USE ONLY
Bidang Singgung
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
ÑF(P )
P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.
P
a
b
y
x
F(x,y,z)=0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Open Source
Not For Commercial Use
Dibuat bidang singgung yang melalui titik P.
Bagaimana menentukan persamaan bidang
singgung tersebut?
∇F(P) tegak lurus permukaan F(x, y, z) = 0.
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
z
ITB USE ONLY
Bidang Singgung
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
ÑF(P )
P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.
P
a
b
y
x
F(x,y,z)=0
Bagaimana menentukan persamaan bidang
singgung tersebut?
∇F(P) tegak lurus permukaan F(x, y, z) = 0.
Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Open Source
Not For Commercial Use
Dibuat bidang singgung yang melalui titik P.
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
z
Bidang Singgung
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
ÑF(P )
P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.
P
b
y
x
F(x,y,z)=0
Bagaimana menentukan persamaan bidang
singgung tersebut?
∇F(P) tegak lurus permukaan F(x, y, z) = 0.
Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung.
Tetapkan sebarang titik Q(x, y, z) pada bidang singgung tersebut.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Open Source
Not For Commercial Use
Dibuat bidang singgung yang melalui titik P.
Q
a
ITB USE ONLY
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
z
Bidang Singgung
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
ÑF(P )
P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.
P
b
y
x
F(x,y,z)=0
Bagaimana menentukan persamaan bidang
singgung tersebut?
∇F(P) tegak lurus permukaan F(x, y, z) = 0.
Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung.
Tetapkan sebarang titik Q(x, y, z) pada bidang singgung tersebut.
−→
Jelas ∇F(P) tegak lurus PQ .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Open Source
Not For Commercial Use
Dibuat bidang singgung yang melalui titik P.
Q
a
ITB USE ONLY
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
z
Bidang Singgung
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
ÑF(P )
P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.
P
b
y
x
F(x,y,z)=0
Open Source
Not For Commercial Use
Dibuat bidang singgung yang melalui titik P.
Q
a
ITB USE ONLY
Bagaimana menentukan persamaan bidang
singgung tersebut?
∇F(P) tegak lurus permukaan F(x, y, z) = 0.
Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung.
Tetapkan sebarang titik Q(x, y, z) pada bidang singgung tersebut.
−→
Jelas ∇F(P) tegak lurus PQ .
Jadi ∇F(P)· < x − a, y − b, z − c >= 0.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
z
Bidang Singgung
Perhatikan grafik permukaan F(x, y, z) = 0
ÑF(P )
P(a, b, c) titik pada permukaan tersebut.
P
b
y
x
F(x,y,z)=0
Open Source
Not For Commercial Use
Dibuat bidang singgung yang melalui titik P.
Q
a
ITB USE ONLY
Bagaimana menentukan persamaan bidang
singgung tersebut?
∇F(P) tegak lurus permukaan F(x, y, z) = 0.
Jadi ∇F(P) adalah vektor normal dari bidang singgung.
Tetapkan sebarang titik Q(x, y, z) pada bidang singgung tersebut.
−→
Jelas ∇F(P) tegak lurus PQ .
Jadi ∇F(P)· < x − a, y − b, z − c >= 0.
<
∂F
∂F
∂F
∂ x (P), ∂ y (P), ∂ z (P) > · < x − a, y − b, z − c >= 0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
21 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
ITB USE ONLY
Bidang singgung pada permukaan z = f (x, y)
P
Open Source
Not For Commercial Use
z=f(x,y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
22 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
ITB USE ONLY
Bidang singgung pada permukaan z = f (x, y)
P
Misalkan P(a, b, c) titik pada permukaan.
Open Source
Not For Commercial Use
z=f(x,y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
22 / 34
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
ITB USE ONLY
Bidang singgung pada permukaan z = f (x, y)
P
Misalkan P(a, b, c) titik pada permukaan.
Tulis z = f (x, y) sebagai F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0.
Open Source
Not For Commercial Use
z=f(x,y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
22 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
ÑF(P )
Bidang singgung pada permukaan z = f (x, y)
P
Misalkan P(a, b, c) titik pada permukaan.
Tulis z = f (x, y) sebagai F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0.
∇F =<
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
∂f ∂f
∂x, ∂y,
−1 >
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
z=f(x,y)
March 11, 2011
22 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
ÑF(P )
Bidang singgung pada permukaan z = f (x, y)
P
Misalkan P(a, b, c) titik pada permukaan.
∇F =<
∂f
∂f ∂f
∂x, ∂y,
−1 >
∂f
Open Source
Not For Commercial Use
Tulis z = f (x, y) sebagai F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0.
z=f(x,y)
Persamaan bidang: < ∂ x (P), ∂ y (P), −1 > · < x − a, y − b, z − c >= 0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
22 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Bidang Singgung
ÑF(P )
Bidang singgung pada permukaan z = f (x, y)
P
Misalkan P(a, b, c) titik pada permukaan.
∇F =<
∂f
∂f ∂f
∂x, ∂y,
−1 >
∂f
Open Source
Not For Commercial Use
Tulis z = f (x, y) sebagai F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0.
z=f(x,y)
Persamaan bidang: < ∂ x (P), ∂ y (P), −1 > · < x − a, y − b, z − c >= 0
Soal-soal latihan:
1
2
3
Tentukan persamaan bidang singgung terhadap x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik
(1, 2, 3).
Tentukan persamaan bidang singgung terhadap z = x2 + y2 di titik (1, 1, 2).
Tentukan persamaan bidang singgung yang sejajar dengan bidang xoy
terhadap z = x2 − 2xy − y2 − 8x + 4y.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
22 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Diferensial Total dan Aproksimasi
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Open Source
Not For Commercial Use
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y).
Open Source
Not For Commercial Use
( x0, y0 , f ( x0, y0 ))
dz
Dz
( x, y, f ( x, y))
z = f ( x, y )
Dx
( x0, y0 )
Dy
( x, y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
dz
Dz
Titik (x0 , y0 ) dan (x, y) di domain f .
( x, y, f ( x, y))
z = f ( x, y )
Dx
( x0, y0 )
Dy
( x, y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y).
( x0, y0 , f ( x0, y0 ))
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
dz
Dz
( x, y, f ( x, y))
Titik (x0 , y0 ) dan (x, y) di domain f .
Diferensial dari peubah bebas x dan y,
z = f ( x, y )
Dx
( x0, y0 )
Dy
( x, y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y).
( x0, y0 , f ( x0, y0 ))
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
dz
Dz
( x, y, f ( x, y))
z = f ( x, y )
Dx
( x0, y0 )
Dy
( x, y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Titik (x0 , y0 ) dan (x, y) di domain f .
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y).
( x0, y0 , f ( x0, y0 ))
Diferensial dari peubah bebas x dan y,
dx = ∆x = x − x0
dy = ∆y = y − y0
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
dz
Dz
( x, y, f ( x, y))
z = f ( x, y )
Dx
( x0, y0 )
Dy
( x, y)
Titik (x0 , y0 ) dan (x, y) di domain f .
Diferensial dari peubah bebas x dan y,
dx = ∆x = x − x0
dy = ∆y = y − y0
Pada peubah tak bebas z, nilai ∆z dan dz tidak sama.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y).
( x0, y0 , f ( x0, y0 ))
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
dz
Dz
( x, y, f ( x, y))
z = f ( x, y )
Dx
( x0, y0 )
Dy
( x, y)
Titik (x0 , y0 ) dan (x, y) di domain f .
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y).
( x0, y0 , f ( x0, y0 ))
Diferensial dari peubah bebas x dan y,
dx = ∆x = x − x0
dy = ∆y = y − y0
Pada peubah tak bebas z, nilai ∆z dan dz tidak sama.
∆z = f (x, y) − f (x0 , y0 ), perbedaan nilai fungsi pada permukaaan z = f (x, y).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
dz
Dz
( x, y, f ( x, y))
z = f ( x, y )
Dx
( x0, y0 )
Dy
( x, y)
Titik (x0 , y0 ) dan (x, y) di domain f .
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y).
( x0, y0 , f ( x0, y0 ))
Diferensial dari peubah bebas x dan y,
dx = ∆x = x − x0
dy = ∆y = y − y0
Pada peubah tak bebas z, nilai ∆z dan dz tidak sama.
∆z = f (x, y) − f (x0 , y0 ), perbedaan nilai fungsi pada permukaaan z = f (x, y).
Persamaan bidang singgung: z − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
dz
Dz
( x, y, f ( x, y))
z = f ( x, y )
Dx
( x0, y0 )
Dy
( x, y)
Titik (x0 , y0 ) dan (x, y) di domain f .
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y).
( x0, y0 , f ( x0, y0 ))
Diferensial dari peubah bebas x dan y,
dx = ∆x = x − x0
dy = ∆y = y − y0
Pada peubah tak bebas z, nilai ∆z dan dz tidak sama.
∆z = f (x, y) − f (x0 , y0 ), perbedaan nilai fungsi pada permukaaan z = f (x, y).
Persamaan bidang singgung: z − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy.
Pada gambar di atas z − f (x0 , y0 ) adalah segmen dz, jelaskan?
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Diferensial Total dan Aproksimasi
Sebelum membahas konsep aproksimasi, amatilah visualisasi berikut: ♠
dz
Dz
( x, y, f ( x, y))
z = f ( x, y )
Dx
( x0, y0 )
Dy
( x, y)
Titik (x0 , y0 ) dan (x, y) di domain f .
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y).
( x0, y0 , f ( x0, y0 ))
Diferensial dari peubah bebas x dan y,
dx = ∆x = x − x0
dy = ∆y = y − y0
Pada peubah tak bebas z, nilai ∆z dan dz tidak sama.
∆z = f (x, y) − f (x0 , y0 ), perbedaan nilai fungsi pada permukaaan z = f (x, y).
Persamaan bidang singgung: z − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy.
Pada gambar di atas z − f (x0 , y0 ) adalah segmen dz, jelaskan?
dz = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy disebut diferensial total dari fungsi f .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
23 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Misalkan f terdiferensialkan di lingkungan yang memuat (x0 , y0 ) dan (x, y).
Open Source
Not For Commercial Use
Bila |(x, y) − (x0 , y0 )| → 0 maka |∆z − dz| → 0, mengapa?
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
24 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Misalkan f terdiferensialkan di lingkungan yang memuat (x0 , y0 ) dan (x, y).
Bila |(x, y) − (x0 , y0 )| → 0 maka |∆z − dz| → 0, mengapa?
Open Source
Not For Commercial Use
Jadi untuk keperluan aproksimasi, digunakan hubungan
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
24 / 34
Fungsi Dua Peubah: Diferensial Total & Aproksimasi
ITB USE ONLY
Misalkan f terdiferensialkan di lingkungan yang memuat (x0 , y0 ) dan (x, y).
Bila |(x, y) − (x0 , y0 )| → 0 maka |∆z − dz| → 0, mengapa?
f (x, y) − f (x0, y0 ) = ∆z
≈ dz = fx(x0 , y0) dx + fy(x0 , y0) dy.
Open Source
Not For Commercial Use
Jadi untuk keperluan aproksimasi, digunakan hubungan
Latihan:
1 Misalkan z = 2x3 + xy − y3 . Tentukan ∆z dan dz bila (x, y) berubah dari
(2, 1) ke (2, 03 ; 0, 98).
√
2 Gunakan hampiran diferensial total untuk menghitung
3,9 · 9,1.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
24 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Aturan Rantai
Open Source
Not For Commercial Use
Aturan ini berfungsi untuk menentukan turunan dari sebuah fungsi komposisi.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
25 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Aturan Rantai
Aturan ini berfungsi untuk menentukan turunan dari sebuah fungsi komposisi.
Open Source
Not For Commercial Use
Berdasarkan jenis fungsi komposisinya, dikenal 2 jenis aturan rantai.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
25 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Aturan Rantai
Aturan ini berfungsi untuk menentukan turunan dari sebuah fungsi komposisi.
Aturan Rantai jenis 1
Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(t) dan y = y(t).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Berdasarkan jenis fungsi komposisinya, dikenal 2 jenis aturan rantai.
March 11, 2011
25 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Aturan Rantai
Aturan ini berfungsi untuk menentukan turunan dari sebuah fungsi komposisi.
Aturan Rantai jenis 1
Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(t) dan y = y(t).
Open Source
Not For Commercial Use
Berdasarkan jenis fungsi komposisinya, dikenal 2 jenis aturan rantai.
Perhatikan bahwa terhadap peubah t, f merupakan fungsi satu peubah.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
25 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Aturan Rantai
Aturan ini berfungsi untuk menentukan turunan dari sebuah fungsi komposisi.
Aturan Rantai jenis 1
Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(t) dan y = y(t).
Open Source
Not For Commercial Use
Berdasarkan jenis fungsi komposisinya, dikenal 2 jenis aturan rantai.
Perhatikan bahwa terhadap peubah t, f merupakan fungsi satu peubah.
dz ∂ z dx ∂ z dy
=
+
dt ∂ x dt ∂ y dt
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
25 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Aturan Rantai
Aturan ini berfungsi untuk menentukan turunan dari sebuah fungsi komposisi.
Aturan Rantai jenis 1
Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(t) dan y = y(t).
Open Source
Not For Commercial Use
Berdasarkan jenis fungsi komposisinya, dikenal 2 jenis aturan rantai.
Perhatikan bahwa terhadap peubah t, f merupakan fungsi satu peubah.
dz ∂ z dx ∂ z dy
=
+
dt ∂ x dt ∂ y dt
Latihan:
1 Misalkan z = x3 y dengan x = 2t dan y = t 2 . Tntukan dz .
dt
2 Sebuah silinder jari-jari alasnya r = 10 cm dan tingginya h = 100 cm.
Silinder tersebut dipanaskan sehingga memuai dengan laju pertambahan
jari-jarinya 0,2 cm/jam dan laju pertambahan tingginya 0,5 cm/jam.
Tentukan laju pertambahan volumenya setiap saat.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
25 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 1
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi satu peubah dalam bentuk imlisit F(x, y) = 0.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
26 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 1
Diberikan fungsi satu peubah dalam bentuk imlisit F(x, y) = 0.
Open Source
Not For Commercial Use
Pada persamaan di atas tersirat x = x dan y = y(x).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
26 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 1
Diberikan fungsi satu peubah dalam bentuk imlisit F(x, y) = 0.
Turunkan F(x, y) = 0 terhadap x memakai aturan rantai jenis 1.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Pada persamaan di atas tersirat x = x dan y = y(x).
March 11, 2011
26 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 1
Diberikan fungsi satu peubah dalam bentuk imlisit F(x, y) = 0.
Turunkan F(x, y) = 0 terhadap x memakai aturan rantai jenis 1.
∂ F dx ∂ F dy
+
=0
∂ x dx ∂ y dx
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Pada persamaan di atas tersirat x = x dan y = y(x).
March 11, 2011
26 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 1
Diberikan fungsi satu peubah dalam bentuk imlisit F(x, y) = 0.
Turunkan F(x, y) = 0 terhadap x memakai aturan rantai jenis 1.
∂ F dx ∂ F dy
+
=0
∂ x dx ∂ y dx
Dengan mengingat
dx
dx
= 1, diperoleh
∂ F ∂ F dy
+
=0
∂ x ∂ y dx
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Pada persamaan di atas tersirat x = x dan y = y(x).
March 11, 2011
26 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 1
Diberikan fungsi satu peubah dalam bentuk imlisit F(x, y) = 0.
Turunkan F(x, y) = 0 terhadap x memakai aturan rantai jenis 1.
∂ F dx ∂ F dy
+
=0
∂ x dx ∂ y dx
Dengan mengingat
dx
dx
= 1, diperoleh
∂ F ∂ F dy
+
=0
∂ x ∂ y dx
Dari persamaan terakhir,
Latihan: Tentukan
dy
dx
dy
dx
Open Source
Not For Commercial Use
Pada persamaan di atas tersirat x = x dan y = y(x).
dapat ditentukan.
dari x3 + x2 y − 10y4 = 0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
26 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Aturan Rantai jenis 2
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
27 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Aturan Rantai jenis 2
Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t).
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan bahwa terhadap peubah (s, t), f merupakan fungsi dua peubah.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
27 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
Aturan Rantai jenis 2
Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t).
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
dan
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan bahwa terhadap peubah (s, t), f merupakan fungsi dua peubah.
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
27 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
Aturan Rantai jenis 2
Diberikan fungsi z = f (x, y) dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t).
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
dan
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
Latihan: Misalkan z = x3 y dengan x = 2s + 7t dan y = 5st.
Tentukan
∂z
∂s
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
dan
Open Source
Not For Commercial Use
Perhatikan bahwa terhadap peubah (s, t), f merupakan fungsi dua peubah.
∂z
∂t .
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
27 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
28 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2
Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0.
Open Source
Not For Commercial Use
Pada persamaan di atas tersirat x = x, y = y, dan z = f (x, y).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
28 / 34
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
ITB USE ONLY
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2
Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0.
Pada persamaan di atas tersirat x = x, y = y, dan z = f (x, y).
Open Source
Not For Commercial Use
Turunkan F(x, y, z) = 0 terhadap x dan y memakai aturan rantai jenis 2.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
28 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2
Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0.
Pada persamaan di atas tersirat x = x, y = y, dan z = f (x, y).
∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z
+
+
=0
∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
dan
Open Source
Not For Commercial Use
Turunkan F(x, y, z) = 0 terhadap x dan y memakai aturan rantai jenis 2.
∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z
+
+
=0
∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
28 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2
Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0.
Pada persamaan di atas tersirat x = x, y = y, dan z = f (x, y).
∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z
+
+
=0
∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x
Dengan mengingat
∂x
∂x
= 1 dan
∂y
∂y
∂F ∂F ∂z
+
=0
∂x ∂z ∂x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
dan
∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z
+
+
=0
∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y
= 1, diperoleh
dan
Open Source
Not For Commercial Use
Turunkan F(x, y, z) = 0 terhadap x dan y memakai aturan rantai jenis 2.
∂ F ∂ F dz
+
=0
∂ y ∂ z dy
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
28 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Aturan Rantai
Penurunan Fungsi Implisit Memakai Aturan Rantai jenis 2
Diberikan fungsi dua peubah dalam bentuk imlisit F(x, y, z) = 0.
Pada persamaan di atas tersirat x = x, y = y, dan z = f (x, y).
∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z
+
+
=0
∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x
Dengan mengingat
∂x
∂x
= 1 dan
dan
∂y
∂y
Dari persamaan terakhir,
Latihan: Tentukan
∂z
∂x
∂z
∂x
dan
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
dan
∂z
∂y
∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z
+
+
=0
∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y
= 1, diperoleh
∂F ∂F ∂z
+
=0
∂x ∂z ∂x
dan
∂z
∂y
Open Source
Not For Commercial Use
Turunkan F(x, y, z) = 0 terhadap x dan y memakai aturan rantai jenis 2.
∂ F ∂ F dz
+
=0
∂ y ∂ z dy
dapat ditentukan.
dari x3 ey+z − y sin(x − z) = 0
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
28 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
29 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
Perhatikan grafik permukaan z = f (x, y)
8
6
2
0
−2
−4
−6
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
y
−3
x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
4
March 11, 2011
29 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
Perhatikan grafik permukaan z = f (x, y)
titik maksimum
8
4
2
0
−2
−4
−6
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
y
−3
x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
f dikatakan mencapai maksimum di p0 bila
f (p0 ) ≥ f (p) ∀ p ∈ Df .
f (p0 ) disebut nilai maksimum.
6
March 11, 2011
29 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
Perhatikan grafik permukaan z = f (x, y)
8
4
2
0
−2
−4
−6
3
3
2
2
titik minimum
1
0
1
0
−1
−1
−2
−2
−3
y
−3
x
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Open Source
Not For Commercial Use
f dikatakan mencapai maksimum di p0 bila
f (p0 ) ≥ f (p) ∀ p ∈ Df .
f (p0 ) disebut nilai maksimum.
6
f dikatakan mencapai minimum di p0 bila
f (p0 ) ≤ f (p) ∀ p ∈ Df .
f (p0 ) disebut nilai minimum.
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
29 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
Perhatikan grafik permukaan z = f (x, y)
8
titik maksimum lokal
f dikatakan mencapai maksimum di p0 bila
f (p0 ) ≥ f (p) ∀ p ∈ Df .
f (p0 ) disebut nilai maksimum.
4
2
0
−2
−4
−6
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
y
−3
x
Open Source
Not For Commercial Use
6
f dikatakan mencapai minimum di p0 bila
f (p0 ) ≤ f (p) ∀ p ∈ Df .
f (p0 ) disebut nilai minimum.
f dikatakan mencapai maksimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≥ f (p) untuk semua
titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai maksimum lokal.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
29 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
Perhatikan grafik permukaan z = f (x, y)
8
4
2
0
−2
−4
titik minimum lokal
−6
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
y
−3
x
Open Source
Not For Commercial Use
f dikatakan mencapai maksimum di p0 bila
f (p0 ) ≥ f (p) ∀ p ∈ Df .
f (p0 ) disebut nilai maksimum.
6
f dikatakan mencapai minimum di p0 bila
f (p0 ) ≤ f (p) ∀ p ∈ Df .
f (p0 ) disebut nilai minimum.
f dikatakan mencapai maksimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≥ f (p) untuk semua
titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai maksimum lokal.
f dikatakan mencapai minimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≤ f (p) untuk semua
titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai minimum lokal
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
29 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
Perhatikan grafik permukaan z = f (x, y)
8
4
2
0
Open Source
Not For Commercial Use
f dikatakan mencapai maksimum di p0 bila
f (p0 ) ≥ f (p) ∀ p ∈ Df .
f (p0 ) disebut nilai maksimum.
titik ekstrim lokal
6
−2
−4
titik ekstrim lokal
−6
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
y
−3
x
f dikatakan mencapai minimum di p0 bila
f (p0 ) ≤ f (p) ∀ p ∈ Df .
f (p0 ) disebut nilai minimum.
f dikatakan mencapai maksimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≥ f (p) untuk semua
titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai maksimum lokal.
f dikatakan mencapai minimum lokal di p0 bila f (p0 ) ≤ f (p) untuk semua
titik p di sekitar p0 . f (p0 ) disebut nilai minimum lokal
Untuk selanjutnya titik maksimum/minimum disebut titik ekstrim.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
29 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
2
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
2
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
2
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
2
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1
Titik singular dan titik batas tidak ada.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
2
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1
Titik singular dan titik batas tidak ada.
2
f (x, y) = x2 − 2x + y4 =
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
30 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
2
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1
Titik singular dan titik batas tidak ada.
2
2
f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 =
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
30 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
2
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1
Titik singular dan titik batas tidak ada.
2
2
2
f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 = (x − 1)2 + y4 − 1 ≥
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
30 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
2
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1
Titik singular dan titik batas tidak ada.
2
2
2
f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 = (x − 1)2 + y4 − 1 ≥ − 1
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
30 / 34
ITB USE ONLY
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
Titik ekstrim tidak selalu ada (berikan contoh).
(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0
b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada
c. Titik batas dari Df
2
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
Open Source
Not For Commercial Use
Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas,
maka titik ekstrim dijamin ada.
fx (x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = 2y . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1
Titik singular dan titik batas tidak ada.
2
2
2
f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 = (x − 1)2 + y4 − 1 ≥ − 1
Jadi (1, 0) merupakan titik minimum, dan tidak ada titik maksimum.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
30 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Teorema Pengujian titik ekstrim lokal
a.
b.
c.
d.
Jika D > 0 dan fxx (p0 ) < 0, maka p0 titik maksimum lokal.
Jika D > 0 dan fxx (p0 ) > 0, maka p0 titik minimum lokal.
Jika D < 0, maka p0 titik pelana (bukan titik ekstrim).
Jika D = 0, tidak ada kesimpulan.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Open Source
Not For Commercial Use
Misalkan f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disekitar titik
stasioner p0 (x0 , y0 ). Tetapkan D = fxx (p0 ) fyy (p0 ) − fxy2 (p0 ), maka
March 11, 2011
31 / 34
Fungsi Dua Peubah: Maksimum dan Minimum
ITB USE ONLY
Teorema Pengujian titik ekstrim lokal
a.
b.
c.
d.
Jika D > 0 dan fxx (p0 ) < 0, maka p0 titik maksimum lokal.
Jika D > 0 dan fxx (p0 ) > 0, maka p0 titik minimum lokal.
Jika D < 0, maka p0 titik pelana (bukan titik ekstrim).
Jika D = 0, tidak ada kesimpulan.
Latihan:
2
1
2
3
2
Open Source
Not For Commercial Use
Misalkan f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disekitar titik
stasioner p0 (x0 , y0 ). Tetapkan D = fxx (p0 ) fyy (p0 ) − fxy2 (p0 ), maka
Tentukan titik ekstrim lokal / titik pelana dari z = −x
+ by2 .
a2
Tentukan titik pada z2 = x2 y + 4 yang jaraknya paling dekat ke titik asal.
Tentukan titik ekstrim dari f (x, y) = 2 + x2 + y2 pada daerah
2
S = {(x, y) : x2 + y4 ≤ 1}
petunjuk: untuk mencari titik ekstrim pada batas S, gunakan substitusi
x = cos t dan y = 2 sin t dengan 0 ≤ t ≤ 2π .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
31 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Ektrim Dengan Kendala.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
32 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Ektrim Dengan Kendala.
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y)
Open Source
Not For Commercial Use
Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala/syarat g(x, y) = 0.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
32 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Ektrim Dengan Kendala.
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y)
Open Source
Not For Commercial Use
Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala/syarat g(x, y) = 0.
Ilustrasi:
y2
Cari titik maksimum dari f (x, y) = 2 + x2 + y2 sepanjang x2 + − 1 = 0
4 }
| {z
g(x, y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
32 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Ektrim Dengan Kendala.
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y)
Open Source
Not For Commercial Use
Akan dicari titik ekstrim dari f dengan kendala/syarat g(x, y) = 0.
Ilustrasi:
y2
Cari titik maksimum dari f (x, y) = 2 + x2 + y2 sepanjang x2 + − 1 = 0
4 }
| {z
Berikut ditampilkan visualisasi dari masalah ini.
g(x, y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
32 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Metode Pelipat Lagrange.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
33 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Metode Pelipat Lagrange.
Open Source
Not For Commercial Use
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
33 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Metode Pelipat Lagrange.
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0.
Open Source
Not For Commercial Use
Gambarkan kurva ketinggian dari f / bersama dengan kurva kendalanya.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
33 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Metode Pelipat Lagrange.
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0.
Gambarkan kurva ketinggian dari f / bersama dengan kurva kendalanya.
Open Source
Not For Commercial Use
Akan dicari titik ekstrim dari f dengan
kendala titik tersebut berada pada kurva
g(x, y) = 0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
33 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Metode Pelipat Lagrange.
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0.
Gambarkan kurva ketinggian dari f / bersama dengan kurva kendalanya.
Open Source
Not For Commercial Use
Akan dicari titik ekstrim dari f dengan
kendala titik tersebut berada pada kurva
g(x, y) = 0
Pada gambar, titik tersebut adalah p0 dan p1 .
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
33 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Metode Pelipat Lagrange.
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0.
Gambarkan kurva ketinggian dari f / bersama dengan kurva kendalanya.
Open Source
Not For Commercial Use
Akan dicari titik ekstrim dari f dengan
kendala titik tersebut berada pada kurva
g(x, y) = 0
Pada gambar, titik tersebut adalah p0 dan p1 .
Di titik ekstrim tersebut, kurva kendala
g(x, y) = 0 akan bersinggungan dengan
kurva ketinggian dari f , Mengapa?.
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
33 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Metode Pelipat Lagrange.
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0.
Gambarkan kurva ketinggian dari f / bersama dengan kurva kendalanya.
Open Source
Not For Commercial Use
Akan dicari titik ekstrim dari f dengan
kendala titik tersebut berada pada kurva
g(x, y) = 0
Pada gambar, titik tersebut adalah p0 dan p1 .
Di titik ekstrim tersebut, kurva kendala
g(x, y) = 0 akan bersinggungan dengan
kurva ketinggian dari f , Mengapa?.
Dengan demikian, di titik ekstrim, ∇g(x, y) sejajar dengan ∇f (x, y), Mengapa?
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
33 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Metode Pelipat Lagrange.
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0.
Gambarkan kurva ketinggian dari f / bersama dengan kurva kendalanya.
Open Source
Not For Commercial Use
Akan dicari titik ekstrim dari f dengan
kendala titik tersebut berada pada kurva
g(x, y) = 0
Pada gambar, titik tersebut adalah p0 dan p1 .
Di titik ekstrim tersebut, kurva kendala
g(x, y) = 0 akan bersinggungan dengan
kurva ketinggian dari f , Mengapa?.
Dengan demikian, di titik ekstrim, ∇g(x, y) sejajar dengan ∇f (x, y), Mengapa?
Jadi untuk mencari titik ekstrim dari z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0,
kita harus mencari pasangan titik (x, y) yang memenuhi hubungan:
∇f (x, y) = λ ∇g(x, y)
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
dengan λ konstanta, disebut pelipat Lagrange
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
33 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Open Source
Not For Commercial Use
Titik (x, y) yang memenuhi hubungan ∇f (x, y) = λ ∇g(x, y) disebut titik kritis
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
34 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Titik (x, y) yang memenuhi hubungan ∇f (x, y) = λ ∇g(x, y) disebut titik kritis
Open Source
Not For Commercial Use
Diskusi:
Bila terdapat n buah titik kritis, dengan n > 1, bagaimana menetukan
titik maksimum dan titik minimumnya?
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
34 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Titik (x, y) yang memenuhi hubungan ∇f (x, y) = λ ∇g(x, y) disebut titik kritis
Open Source
Not For Commercial Use
Diskusi:
Bila terdapat n buah titik kritis, dengan n > 1, bagaimana menetukan
titik maksimum dan titik minimumnya?
Bila hanya terdapat 1 buah titik krirtis, bagaimana menentukan jenisnya?
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
34 / 34
Fungsi Dua Peubah: Ektrim Dengan Kendala / Metode Pelipat Lagrange
ITB USE ONLY
Titik (x, y) yang memenuhi hubungan ∇f (x, y) = λ ∇g(x, y) disebut titik kritis
1
2
3
4
Open Source
Not For Commercial Use
Diskusi:
Bila terdapat n buah titik kritis, dengan n > 1, bagaimana menetukan
titik maksimum dan titik minimumnya?
Bila hanya terdapat 1 buah titik krirtis, bagaimana menentukan jenisnya?
Latihan:
2
Carilah nilai maksimum dari f (x, y) = 2 + x2 + y2 sepanjang g(x,y) = x2 + y4 − 1 = 0.
2
Carilah titik-titik ekstrim dari f (x, y) = y2 − x2 pada elips x4 + y2 = 1.
Tentukan volume maksimum dari sebuah kotak yang dapat dibuat bila harga
bahan alasnya tiga kali harga bahan sisi yang lain. Harga bahan alasnya Rp
6.000/m2 dan jumlah uang yang tersedia Rp. 120.000. Catatan: ∇f (x,y,z) = hfx ,fy ,fz i.
Tentukan titik ekstrim dari f (x, y, z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan
perpotongan silinder x2 + y2 = 2 dengan bidang y + z = 1.
Catatan: Masalah ini adalah masalah ekstrim dengan dua kendala yaitu
g(x, y, z) = 0 dan h(x, y, z) = 0, rumus metode Lagrangenya adalah:

 ∇f (x, y, z) = λ ∇g(x, y, z) + µ ∇h(x, y, z)
g(x, y, z) = 0

h(x, y, z) = 0
Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB)
Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
March 11, 2011
34 / 34