Bab 6 Distribusi Kontinu: ”Normal adalah

MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 6
1
Bab 6
Distribusi Kontinu: ”Normal adalah Segalanya”
Ilustrasi 6.1 Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian,
sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah
satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi
frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang
disebut DISTRIBUSI NORMAL.
Ketika hasil pengukuran membentuk suatu distribusi normal, ada beberapa hal yang
dapat diprediksi. Pertama, mean, median dan modus sama. Kedua, seseorang dapat memperkirakan seberapa jauh (dari mean) hasil pengukuran akan terjadi. Dengan
demikian, akan dapat ditentukan skor/nilai mana yang lebih mungkin terjadi dan peluang/proporsi nilai diatas atau dibawah nilai tersebut.
Kebanyakan hasil pengukuran perilaku mengikuti distribusi normal. Misalnya, nilai IQ.
Meannya 100 dan umumnya IQ seseorang akan berada diantara 85-115 atau 15 nilai
dari mean. Jika psikolog mengetahui mean dan deviasi standar maka akan dapat ditentukan proporsi skor/nilai yang berada disetiap daerah jangkauan (range). Tentu saja,
terlepas dari keumuman distribusi normal, terdapat beberapa kasus dengan nilai/hasil
pengukuran yang tidak berdistribusi normal. Kenormalan atau ketidaknormalan data
sangat penting dalam menentukan uji statistik yang bersesuaian.
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 6
2
BEBERAPA DISTRIBUSI KONTINU
Distribusi SERAGAM (Uniform)
Definisi 6.1
Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam pada selang (a, b) jika fungsi
peluang fX nya sbb:
fX (x) =
1
, a≤x<b
b−a
Distribusi NORMAL
Definisi 6.2
Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Normal atau GAUSS dengan parameter
µ dan σ 2 jika fungsi peluang fX nya sbb:
fX (x) = √
1
exp(−(x − µ)2 / 2 σ 2 ), −∞ ≤ x < ∞
2πσ
Latihan.
1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan P (|X| > 1/2), tentukan
fungsi peluang dari |X|.
2. Misalkan lama (dalam menit) mahasiswa mengikuti kuliah TP adalah peubah
acak dengan fungsi peluang seperti gambar dibawah berikut. Tentukan peluang
seorang mahasiswa mengikuti kuliah lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit?
Teorema 6.1 Teorema Limit DeMoivre-Laplace
Jika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada n percobaan independen,
dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b,
!
Sn − np
→ Φ(b) − Φ(a),
P a≤ p
np(1 − p)
untuk n → ∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’ jika np(1 − p) besar,
np(1 − p) ≥ 10)
Diskusi. Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas TP adalah 60 orang. Namun
demikian, Departemen MA ITB mencatat bahwa biasanya hanya 30 persen mahasiswa saja dari total yang terdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan. Jika
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 6
3
MA ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untuk kelas TP, berapa peluang bahwa
lebih dari 60 orang hadir di kelas?
Distribusi UNIFORM/SERAGAM (lanjutan)
Inverse Transformation Method
Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu F , jika
kita definisikan peubah acak X sbb:
X = F −1 (U )
maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F .
Contoh. Jika F (x) = 1 − e−x maka F −1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga
1 − e−x = u
atau
x = − log(1 − u)
Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka
F −1 (U ) = − log(1 − U )
adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1).
Distribusi GAMMA
Definisi Fungsi Gamma :
Z
Γ(t) =
∞
xt−1 e−x dx
0
Catatan:
Γ(t + 1) = t Γ(t), t > 0
Diskusi.
Γ(n) = (n − 1)! n = 1, 2, . . .
(2n)! √
1
=
π
Γ n+
2
n! 22n
Latihan. Bagaimana grafik fungsi Gamma?
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada
Bab 6
4
Peubah acak Gamma.
Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya ‘sukses’
yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p,
dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli
yang dilakukan sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r, maka kita dapatkan
peubah acak beristribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak
Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif.
Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktuyang
diberikan untuk sukses ke-r.
Definisi 6.3
Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang (pdf)
f (x) =
λα α−1 −λx
x
e
, x>0
Γ(α)
dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi Gamma
dengan parameter α dan λ; x ∼ Gamma(α, λ).
Diskusi.
• α=1
• α<1
• α>1
• Jika α membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsi peluang
Normal. Berikan ilustrasi pada λ = 2 dan α = 1/2, 1, 5/2, 5