Definisi Ruang Vektor dan Subruang

De…nisi Ruang Vektor dan Subruang
Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
Oktober – November 2015
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
1 / 72
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.
2
Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
3
Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
4
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti
Aminah.
5
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
2 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
3 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
4 / 72
Pendahuluan
Pada kajian terakhir, kita telah melakukan generalisasi terhadap konsep vektor
yang telah kita pelajari di sekolah menengah ke vektor di ruang berdimensi n. Di
Rn , vektor tidak lain merupakan suatu entitas matematika yang dinyatakan
memakai n tupel, matriks kolom, atau matriks baris.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
5 / 72
Pendahuluan
Pada kajian terakhir, kita telah melakukan generalisasi terhadap konsep vektor
yang telah kita pelajari di sekolah menengah ke vektor di ruang berdimensi n. Di
Rn , vektor tidak lain merupakan suatu entitas matematika yang dinyatakan
memakai n tupel, matriks kolom, atau matriks baris.
Mulai dari kajian ini, kita akan melakukan perumuman lebih lanjut mengenai
konsep vektor. Kita akan melakukan sedikit abstraksi terhadap konsep vektor.
Vektor dan Ruang Vektor
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
5 / 72
Pendahuluan
Pada kajian terakhir, kita telah melakukan generalisasi terhadap konsep vektor
yang telah kita pelajari di sekolah menengah ke vektor di ruang berdimensi n. Di
Rn , vektor tidak lain merupakan suatu entitas matematika yang dinyatakan
memakai n tupel, matriks kolom, atau matriks baris.
Mulai dari kajian ini, kita akan melakukan perumuman lebih lanjut mengenai
konsep vektor. Kita akan melakukan sedikit abstraksi terhadap konsep vektor.
Vektor dan Ruang Vektor
Vektor merupakan suatu anggota (elemen/ unsur) dari suatu himpunan yang
dinamakan ruang vektor. Ruang vektor merupakan suatu himpunan yang
dilengkapi dengan aksioma-aksioma tertentu.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
5 / 72
Pendahuluan
Pada kajian terakhir, kita telah melakukan generalisasi terhadap konsep vektor
yang telah kita pelajari di sekolah menengah ke vektor di ruang berdimensi n. Di
Rn , vektor tidak lain merupakan suatu entitas matematika yang dinyatakan
memakai n tupel, matriks kolom, atau matriks baris.
Mulai dari kajian ini, kita akan melakukan perumuman lebih lanjut mengenai
konsep vektor. Kita akan melakukan sedikit abstraksi terhadap konsep vektor.
Vektor dan Ruang Vektor
Vektor merupakan suatu anggota (elemen/ unsur) dari suatu himpunan yang
dinamakan ruang vektor. Ruang vektor merupakan suatu himpunan yang
dilengkapi dengan aksioma-aksioma tertentu.
Aksioma-aksioma yang digunakan untuk memperumum gagasan ruang vektor
diperoleh dari sifat-sifat vektor di R2 , R3 , dan Rn . Dengan demikian apabila kita
ingin menyelesaikan permalasahan pada jenis vektor yang baru ini, kita dapat
menganalogikan permasalahan tersebut dengan masalah serupa yang ada pada
ruang vektor Euclid.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
5 / 72
Motivasi
Mulai saat ini, suatu vektor dapat berupa:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
6 / 72
Motivasi
Mulai saat ini, suatu vektor dapat berupa: suatu matriks persegi,
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
6 / 72
Motivasi
Mulai saat ini, suatu vektor dapat berupa: suatu matriks persegi, suatu fungsi dari
R ke R,
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
6 / 72
Motivasi
Mulai saat ini, suatu vektor dapat berupa: suatu matriks persegi, suatu fungsi dari
R ke R, suatu polinom (suku banyak),
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
6 / 72
Motivasi
Mulai saat ini, suatu vektor dapat berupa: suatu matriks persegi, suatu fungsi dari
R ke R, suatu polinom (suku banyak), atau suatu bilangan real positif.
Aplikasi dari penggunaan vektor yang lebih umum ini dapat dijumpai pada kajian
lanjut yang berhubungan dengan
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
6 / 72
Motivasi
Mulai saat ini, suatu vektor dapat berupa: suatu matriks persegi, suatu fungsi dari
R ke R, suatu polinom (suku banyak), atau suatu bilangan real positif.
Aplikasi dari penggunaan vektor yang lebih umum ini dapat dijumpai pada kajian
lanjut yang berhubungan dengan
1
transformasi Fourier, yang dipakai pada pengolahan sinyal digital,
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
6 / 72
Motivasi
Mulai saat ini, suatu vektor dapat berupa: suatu matriks persegi, suatu fungsi dari
R ke R, suatu polinom (suku banyak), atau suatu bilangan real positif.
Aplikasi dari penggunaan vektor yang lebih umum ini dapat dijumpai pada kajian
lanjut yang berhubungan dengan
1
transformasi Fourier, yang dipakai pada pengolahan sinyal digital,
2
transformasi wavelet, yang dipakai pada pengolahan citra digital.
Dalam kedua bahasan tersebut, vektor yang ditinjau berupa fungsi dari R ke R.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
6 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
7 / 72
De…nisi Ruang Vektor Real
Suatu ruang vektor dapat dide…nisikan atas Q, R, C, atau bahkan Zp . Namun
pada kuliah ini kita hanya akan membahas ruang vektor atas R saja.
De…nisi (De…nisi ruang vektor atas R)
Misalkan (V; +; ) adalah suatu struktur matematika yang terdiri atas: (1)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
8 / 72
De…nisi Ruang Vektor Real
Suatu ruang vektor dapat dide…nisikan atas Q, R, C, atau bahkan Zp . Namun
pada kuliah ini kita hanya akan membahas ruang vektor atas R saja.
De…nisi (De…nisi ruang vektor atas R)
Misalkan (V; +; ) adalah suatu struktur matematika yang terdiri atas: (1)
himpunan tak kosong V , (2)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
8 / 72
De…nisi Ruang Vektor Real
Suatu ruang vektor dapat dide…nisikan atas Q, R, C, atau bahkan Zp . Namun
pada kuliah ini kita hanya akan membahas ruang vektor atas R saja.
De…nisi (De…nisi ruang vektor atas R)
Misalkan (V; +; ) adalah suatu struktur matematika yang terdiri atas: (1)
himpunan tak kosong V , (2) operasi + yang disebut sebagai operasi
penjumlahan, dan (3)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
8 / 72
De…nisi Ruang Vektor Real
Suatu ruang vektor dapat dide…nisikan atas Q, R, C, atau bahkan Zp . Namun
pada kuliah ini kita hanya akan membahas ruang vektor atas R saja.
De…nisi (De…nisi ruang vektor atas R)
Misalkan (V; +; ) adalah suatu struktur matematika yang terdiri atas: (1)
himpunan tak kosong V , (2) operasi + yang disebut sebagai operasi
penjumlahan, dan (3) operasi yang disebut perkalian skalar. Struktur atau
himpunan tersebut dikatakan sebagai ruang vektor atas R apabila memenuhi
aksioma-aksioma berikut untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2 V dan ; 2 R
(Aksioma terkait operasi +)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
8 / 72
De…nisi Ruang Vektor Real
Suatu ruang vektor dapat dide…nisikan atas Q, R, C, atau bahkan Zp . Namun
pada kuliah ini kita hanya akan membahas ruang vektor atas R saja.
De…nisi (De…nisi ruang vektor atas R)
Misalkan (V; +; ) adalah suatu struktur matematika yang terdiri atas: (1)
himpunan tak kosong V , (2) operasi + yang disebut sebagai operasi
penjumlahan, dan (3) operasi yang disebut perkalian skalar. Struktur atau
himpunan tersebut dikatakan sebagai ruang vektor atas R apabila memenuhi
aksioma-aksioma berikut untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2 V dan ; 2 R
(Aksioma terkait operasi +)
A1 Untuk setiap ~u; ~v 2 V haruslah ~u + ~v 2 V . Ini berarti V tertutup terhadap
operasi +.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
8 / 72
De…nisi Ruang Vektor Real
Suatu ruang vektor dapat dide…nisikan atas Q, R, C, atau bahkan Zp . Namun
pada kuliah ini kita hanya akan membahas ruang vektor atas R saja.
De…nisi (De…nisi ruang vektor atas R)
Misalkan (V; +; ) adalah suatu struktur matematika yang terdiri atas: (1)
himpunan tak kosong V , (2) operasi + yang disebut sebagai operasi
penjumlahan, dan (3) operasi yang disebut perkalian skalar. Struktur atau
himpunan tersebut dikatakan sebagai ruang vektor atas R apabila memenuhi
aksioma-aksioma berikut untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2 V dan ; 2 R
(Aksioma terkait operasi +)
A1 Untuk setiap ~u; ~v 2 V haruslah ~u + ~v 2 V . Ini berarti V tertutup terhadap
operasi +.
A2 ~u + ~v = ~v + ~u (sifat komutatif penjumlahan)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
8 / 72
De…nisi Ruang Vektor Real
Suatu ruang vektor dapat dide…nisikan atas Q, R, C, atau bahkan Zp . Namun
pada kuliah ini kita hanya akan membahas ruang vektor atas R saja.
De…nisi (De…nisi ruang vektor atas R)
Misalkan (V; +; ) adalah suatu struktur matematika yang terdiri atas: (1)
himpunan tak kosong V , (2) operasi + yang disebut sebagai operasi
penjumlahan, dan (3) operasi yang disebut perkalian skalar. Struktur atau
himpunan tersebut dikatakan sebagai ruang vektor atas R apabila memenuhi
aksioma-aksioma berikut untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2 V dan ; 2 R
(Aksioma terkait operasi +)
A1 Untuk setiap ~u; ~v 2 V haruslah ~u + ~v 2 V . Ini berarti V tertutup terhadap
operasi +.
A2 ~u + ~v = ~v + ~u (sifat komutatif penjumlahan)
A3 (~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~ (sifat asosiatif penjumlahan)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
8 / 72
De…nisi Ruang Vektor Real
Suatu ruang vektor dapat dide…nisikan atas Q, R, C, atau bahkan Zp . Namun
pada kuliah ini kita hanya akan membahas ruang vektor atas R saja.
De…nisi (De…nisi ruang vektor atas R)
Misalkan (V; +; ) adalah suatu struktur matematika yang terdiri atas: (1)
himpunan tak kosong V , (2) operasi + yang disebut sebagai operasi
penjumlahan, dan (3) operasi yang disebut perkalian skalar. Struktur atau
himpunan tersebut dikatakan sebagai ruang vektor atas R apabila memenuhi
aksioma-aksioma berikut untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2 V dan ; 2 R
(Aksioma terkait operasi +)
A1 Untuk setiap ~u; ~v 2 V haruslah ~u + ~v 2 V . Ini berarti V tertutup terhadap
operasi +.
A2 ~u + ~v = ~v + ~u (sifat komutatif penjumlahan)
A3 (~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~ (sifat asosiatif penjumlahan)
~
A4 Terdapat suatu objek 0 2 V yang disebut vektor nol dengan sifat:
~u + ~0 = ~u = ~0 + ~u untuk sembarang ~u 2 V
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
8 / 72
De…nisi Ruang Vektor Real
Suatu ruang vektor dapat dide…nisikan atas Q, R, C, atau bahkan Zp . Namun
pada kuliah ini kita hanya akan membahas ruang vektor atas R saja.
De…nisi (De…nisi ruang vektor atas R)
Misalkan (V; +; ) adalah suatu struktur matematika yang terdiri atas: (1)
himpunan tak kosong V , (2) operasi + yang disebut sebagai operasi
penjumlahan, dan (3) operasi yang disebut perkalian skalar. Struktur atau
himpunan tersebut dikatakan sebagai ruang vektor atas R apabila memenuhi
aksioma-aksioma berikut untuk setiap ~u; ~v ; w
~ 2 V dan ; 2 R
(Aksioma terkait operasi +)
A1 Untuk setiap ~u; ~v 2 V haruslah ~u + ~v 2 V . Ini berarti V tertutup terhadap
operasi +.
A2 ~u + ~v = ~v + ~u (sifat komutatif penjumlahan)
A3 (~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~ (sifat asosiatif penjumlahan)
~
A4 Terdapat suatu objek 0 2 V yang disebut vektor nol dengan sifat:
~u + ~0 = ~u = ~0 + ~u untuk sembarang ~u 2 V
A5 Untuk setiap ~u 2 V terdapat ~u 2 V yang disebut negatif dari ~u dengan
sifat: ~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
8 / 72
(Aksioma terkait operasi )
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
9 / 72
(Aksioma terkait operasi )
A6 Untuk setiap ~u 2 V dan
terhadap operasi .
MZI (FIF Tel-U)
2 R haruslah
De…nisi RV dan Subruang
~u 2 V . Ini berarti V tertutup
Oktober – November 2015
9 / 72
(Aksioma terkait operasi )
A6 Untuk setiap ~u 2 V dan
terhadap operasi .
2 R haruslah
~u 2 V . Ini berarti V tertutup
A7 1 ~u = ~u, angka 1 di sini merupakan bilangan real 1.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
9 / 72
(Aksioma terkait operasi )
A6 Untuk setiap ~u 2 V dan
terhadap operasi .
2 R haruslah
~u 2 V . Ini berarti V tertutup
A7 1 ~u = ~u, angka 1 di sini merupakan bilangan real 1.
A8
(
~u) = (
) ~u
(Aksioma terkait sifat distributif vektor dan distributif skalar)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
9 / 72
(Aksioma terkait operasi )
A6 Untuk setiap ~u 2 V dan
terhadap operasi .
2 R haruslah
~u 2 V . Ini berarti V tertutup
A7 1 ~u = ~u, angka 1 di sini merupakan bilangan real 1.
A8
(
~u) = (
) ~u
(Aksioma terkait sifat distributif vektor dan distributif skalar)
A9
(~u + ~v ) =
MZI (FIF Tel-U)
~u +
~v
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
9 / 72
(Aksioma terkait operasi )
A6 Untuk setiap ~u 2 V dan
terhadap operasi .
2 R haruslah
~u 2 V . Ini berarti V tertutup
A7 1 ~u = ~u, angka 1 di sini merupakan bilangan real 1.
A8
(
~u) = (
) ~u
(Aksioma terkait sifat distributif vektor dan distributif skalar)
A9
(~u + ~v ) =
~u +
~v
A10 ( + ) ~u =
~u +
~v
Catatan
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
9 / 72
(Aksioma terkait operasi )
A6 Untuk setiap ~u 2 V dan
terhadap operasi .
2 R haruslah
~u 2 V . Ini berarti V tertutup
A7 1 ~u = ~u, angka 1 di sini merupakan bilangan real 1.
A8
(
~u) = (
) ~u
(Aksioma terkait sifat distributif vektor dan distributif skalar)
A9
(~u + ~v ) =
~u +
~v
A10 ( + ) ~u =
~u +
~v
Catatan
Ketika operasi perkalian skalar sudah jelas, atau objek vektor yang ditinjau sudah
jelas, maka operasi
~u cukup ditulis dengan ~u saja. Demikian pula dengan
operasi-operasi lain yang melibatkan perkalian skalar.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
9 / 72
Catatan
Dalam beberapa buku tertentu, operasi penjumlahan vektor secara umum ditulis
dengan (atau ) dan operasi perkalian skalar secara umum ditulis dengan
(atau ). Kita tidak akan melakukan hal ini, kecuali jika memang diperlukan.
Catatan
Mengingat objek vektor yang ditinjau di sini tidak selamanya merupakan vektor di
Rn , kita tidak selamanya menggunakan notasi ~v untuk menyatakan suatu vektor.
Ketika suatu vektor berupa matriks, kita akan menotasikannya dengan huruf
kapital cetak tebal (seperti A atau B), dan ketika vektor berupa fungsi atau
polinom, kita cukup menuliskan f , p, f (x), atau p (x).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
10 / 72
Langkah-langkah Veri…kasi Ruang Vektor
Permasalahan
Diberikan suatu himpunan V dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
. Bagaimana cara yang sistematis untuk memeriksa apakah V merupakan suatu
ruang vektor atas R?
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
11 / 72
Langkah-langkah Veri…kasi Ruang Vektor
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
12 / 72
Langkah-langkah Veri…kasi Ruang Vektor
1
Identi…kasi objek-objek di V yang merupakan vektor yang kita tinjau. Vektor
dapat berupa: matriks m n, fungsi, polinom, atau bilangan real positif.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
12 / 72
Langkah-langkah Veri…kasi Ruang Vektor
1
Identi…kasi objek-objek di V yang merupakan vektor yang kita tinjau. Vektor
dapat berupa: matriks m n, fungsi, polinom, atau bilangan real positif.
2
Identi…kasi operasi
dan yang ada.
MZI (FIF Tel-U)
dan operasi
. Pahami baik-baik de…nisi dari operasi
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
12 / 72
Langkah-langkah Veri…kasi Ruang Vektor
1
Identi…kasi objek-objek di V yang merupakan vektor yang kita tinjau. Vektor
dapat berupa: matriks m n, fungsi, polinom, atau bilangan real positif.
2
Identi…kasi operasi
dan yang ada.
3
Veri…kasi aksioma A1 dan A6. Aksioma A1 mengharuskan bahwa V tertutup
terhadap . Aksioma A6 mengharuskan bahwa V tertutup terhadap .
MZI (FIF Tel-U)
dan operasi
. Pahami baik-baik de…nisi dari operasi
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
12 / 72
Langkah-langkah Veri…kasi Ruang Vektor
1
Identi…kasi objek-objek di V yang merupakan vektor yang kita tinjau. Vektor
dapat berupa: matriks m n, fungsi, polinom, atau bilangan real positif.
2
Identi…kasi operasi
dan yang ada.
3
Veri…kasi aksioma A1 dan A6. Aksioma A1 mengharuskan bahwa V tertutup
terhadap . Aksioma A6 mengharuskan bahwa V tertutup terhadap .
4
Jika A1 sudah terpenuhi, periksa apakah
(aksioma A2 dan A3).
MZI (FIF Tel-U)
dan operasi
. Pahami baik-baik de…nisi dari operasi
De…nisi RV dan Subruang
bersifat komutatif dan asosiatif
Oktober – November 2015
12 / 72
Langkah-langkah Veri…kasi Ruang Vektor
1
Identi…kasi objek-objek di V yang merupakan vektor yang kita tinjau. Vektor
dapat berupa: matriks m n, fungsi, polinom, atau bilangan real positif.
2
Identi…kasi operasi
dan yang ada.
3
Veri…kasi aksioma A1 dan A6. Aksioma A1 mengharuskan bahwa V tertutup
terhadap . Aksioma A6 mengharuskan bahwa V tertutup terhadap .
4
Jika A1 sudah terpenuhi, periksa apakah
(aksioma A2 dan A3).
5
Jika A1, A2, dan A3 sudah dipenuhi, tentukan vektor nol di V dan tentukan
bentuk negatif dari setiap vektor di V (aksioma A4 dan A5).
MZI (FIF Tel-U)
dan operasi
. Pahami baik-baik de…nisi dari operasi
De…nisi RV dan Subruang
bersifat komutatif dan asosiatif
Oktober – November 2015
12 / 72
Langkah-langkah Veri…kasi Ruang Vektor
1
Identi…kasi objek-objek di V yang merupakan vektor yang kita tinjau. Vektor
dapat berupa: matriks m n, fungsi, polinom, atau bilangan real positif.
2
Identi…kasi operasi
dan yang ada.
3
Veri…kasi aksioma A1 dan A6. Aksioma A1 mengharuskan bahwa V tertutup
terhadap . Aksioma A6 mengharuskan bahwa V tertutup terhadap .
4
Jika A1 sudah terpenuhi, periksa apakah
(aksioma A2 dan A3).
5
Jika A1, A2, dan A3 sudah dipenuhi, tentukan vektor nol di V dan tentukan
bentuk negatif dari setiap vektor di V (aksioma A4 dan A5).
6
Selanjutnya periksa apakah A7 dan A8 dipenuhi (berkaitan dengan perkalian
skalar).
MZI (FIF Tel-U)
dan operasi
. Pahami baik-baik de…nisi dari operasi
De…nisi RV dan Subruang
bersifat komutatif dan asosiatif
Oktober – November 2015
12 / 72
Langkah-langkah Veri…kasi Ruang Vektor
1
Identi…kasi objek-objek di V yang merupakan vektor yang kita tinjau. Vektor
dapat berupa: matriks m n, fungsi, polinom, atau bilangan real positif.
2
Identi…kasi operasi
dan yang ada.
3
Veri…kasi aksioma A1 dan A6. Aksioma A1 mengharuskan bahwa V tertutup
terhadap . Aksioma A6 mengharuskan bahwa V tertutup terhadap .
4
Jika A1 sudah terpenuhi, periksa apakah
(aksioma A2 dan A3).
5
Jika A1, A2, dan A3 sudah dipenuhi, tentukan vektor nol di V dan tentukan
bentuk negatif dari setiap vektor di V (aksioma A4 dan A5).
6
Selanjutnya periksa apakah A7 dan A8 dipenuhi (berkaitan dengan perkalian
skalar).
Terakhir, periksa sifat distributif vektor dan sifat distributif skalar (A9 dan
A10).
7
dan operasi
. Pahami baik-baik de…nisi dari operasi
bersifat komutatif dan asosiatif
Pemeriksaan bisa dilakukan secara tidak berurut, terutama ketika kita ingin
memberi contoh penyangkal (counter example).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
12 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
13 / 72
Bahasan
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
14 / 72
Ruang Vektor Nol
Teorema
Misalkan V nmerupakan
himpunan yang hanya memuat satu anggota saja, yaitu ~0.
o
Maka V = ~0 adalah suatu ruang vektor atas R.
Bukti
Latihan.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
15 / 72
Bahasan
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
16 / 72
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Teorema
Misalkan V = Rn dan n 1 merupakan suatu bilangan bulat. Himpunan V
dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang dide…nisikan seperti biasa
(lihat slide kuliah sebelumnya) jelas merupakan ruang vektor atas R. Jadi kita
memiliki sifat bahwa Rn adalah ruang vektor atas R.
Bukti
Jelas.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
17 / 72
Teorema
Misalkan V adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah tupel tak
hingga
(u1 ; u2 ; : : :) ,
dengan ui 2 R untuk setiap i 2 N. Selanjutnya untuk
~u = (u1 ; u2 ; : : :) ; ~v = (v1 ; v2 ; : : :) 2 V dan 2 R de…nisikan
~u + ~v
=
~u =
(u1 + v1 ; u2 + v2 ; : : :)
( u1 ; u2 ; : : :) .
V merupakan ruang vektor atas R. Lebih jauh, kita akan menotasikan V sebagai
R1 .
Bukti
Latihan.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
18 / 72
Contoh (Contoh aritmetika di R1 )
Misalkan kita memiliki ~u = (1; 0; 1; 0; 1; 0; 1;
jelas bahwa ~u; ~v 2 R1 . Kita memiliki ~u + ~v =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
), ~v = (0; 2; 0; 2; 0; 2; 0; : : :),
Oktober – November 2015
19 / 72
Contoh (Contoh aritmetika di R1 )
Misalkan kita memiliki ~u = (1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; ), ~v = (0; 2; 0; 2; 0; 2; 0; : : :),
jelas bahwa ~u; ~v 2 R1 . Kita memiliki ~u + ~v = (1; 2; 1; 2; 1; 2; 1; : : :),
2~u =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
19 / 72
Contoh (Contoh aritmetika di R1 )
Misalkan kita memiliki ~u = (1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; ), ~v = (0; 2; 0; 2; 0; 2; 0; : : :),
jelas bahwa ~u; ~v 2 R1 . Kita memiliki ~u + ~v = (1; 2; 1; 2; 1; 2; 1; : : :),
2~u = (2; 0; 2; 0; 2; 0; 2; : : :), dan 2~u ~v =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
19 / 72
Contoh (Contoh aritmetika di R1 )
Misalkan kita memiliki ~u = (1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; ), ~v = (0; 2; 0; 2; 0; 2; 0; : : :),
jelas bahwa ~u; ~v 2 R1 . Kita memiliki ~u + ~v = (1; 2; 1; 2; 1; 2; 1; : : :),
2~u = (2; 0; 2; 0; 2; 0; 2; : : :), dan 2~u ~v = (2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; : : :).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
19 / 72
Bahasan
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
20 / 72
Ruang Matriks Persegi Berorde 2
Teorema
Himpunan V yang berisi seluruh matriks berukuran 2 2 dengan entri-entri
bilangan real merupakan suatu ruang vektor apabila penjumlahan vektornya
dide…nisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalarnya dide…nisikan
sebagai perkalian matriks oleh suatu skalar.
Bukti
0 0
2 V . Kita akan membuktikan bahwa V
0 0
merupakan ruang vektor atas R dengan membuktikan aksioma A1–A10 secara
a11 a12
b11 b12
c11 c12
terurut. Misalkan A =
,B=
, dan C =
a21 a22
b21 b22
c21 c22
adalah vektor di V serta ; 2 R.
Jelas bahwa V 6= ; karena
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
21 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
A+B=
MZI (FIF Tel-U)
a11 + b11
a21 + b21
a12 + b12
a22 + b22
2V
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
2
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
A + B = B + A karena
A+B=
MZI (FIF Tel-U)
2V
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
2
a11 + b11 a12 + b12
2V
a21 + b21 a22 + b22
A + B = B + A karena penjumlahan matriks bersifat komutatif.
A+B=
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
2
3
a11 + b11 a12 + b12
2V
a21 + b21 a22 + b22
A + B = B + A karena penjumlahan matriks bersifat komutatif.
A+B=
(A + B) + C = A + (B + C) karena
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
2
3
a11 + b11 a12 + b12
2V
a21 + b21 a22 + b22
A + B = B + A karena penjumlahan matriks bersifat komutatif.
A+B=
(A + B) + C = A + (B + C) karena penjumlahan matriks bersifat asosiatif.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
2
a11 + b11 a12 + b12
2V
a21 + b21 a22 + b22
A + B = B + A karena penjumlahan matriks bersifat komutatif.
A+B=
3
(A + B) + C = A + (B + C) karena penjumlahan matriks bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
2
3
4
a11 + b11 a12 + b12
2V
a21 + b21 a22 + b22
A + B = B + A karena penjumlahan matriks bersifat komutatif.
A+B=
(A + B) + C = A + (B + C) karena penjumlahan matriks bersifat asosiatif.
0 0
Vektor nol di V adalah O =
yang merupakan unsur identitas
0 0
penjumlahan matriks.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
2
3
4
5
a11 + b11 a12 + b12
2V
a21 + b21 a22 + b22
A + B = B + A karena penjumlahan matriks bersifat komutatif.
A+B=
(A + B) + C = A + (B + C) karena penjumlahan matriks bersifat asosiatif.
0 0
Vektor nol di V adalah O =
yang merupakan unsur identitas
0 0
penjumlahan matriks.
a11 a12
Diberikan A =
2 V , maka A =
a21 a22
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
2
3
4
5
a11 + b11 a12 + b12
2V
a21 + b21 a22 + b22
A + B = B + A karena penjumlahan matriks bersifat komutatif.
A+B=
(A + B) + C = A + (B + C) karena penjumlahan matriks bersifat asosiatif.
0 0
Vektor nol di V adalah O =
yang merupakan unsur identitas
0 0
penjumlahan matriks.
a11 a12
a11
a12
Diberikan A =
2 V , maka A =
2 V dan
a21 a22
a21
a22
kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait penjumlahan vektor.
1
2
3
4
5
a11 + b11 a12 + b12
2V
a21 + b21 a22 + b22
A + B = B + A karena penjumlahan matriks bersifat komutatif.
A+B=
(A + B) + C = A + (B + C) karena penjumlahan matriks bersifat asosiatif.
0 0
Vektor nol di V adalah O =
yang merupakan unsur identitas
0 0
penjumlahan matriks.
a11 a12
a11
a12
Diberikan A =
2 V , maka A =
2 V dan
a21 a22
a21
a22
kita memiliki A + ( A) = ( A) + A = O.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
22 / 72
Aksioma terkait perkalian skalar.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
23 / 72
Aksioma terkait perkalian skalar.
1
A=
a11
a21
MZI (FIF Tel-U)
a12
a22
2V.
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
23 / 72
Aksioma terkait perkalian skalar.
1
2
A=
a11
a21
( A) = (
MZI (FIF Tel-U)
a12
a22
2V.
) A (dari sifat perkalian matriks dengan skalar).
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
23 / 72
Aksioma terkait perkalian skalar.
1
2
3
A=
a11
a21
( A) = (
a12
a22
2V.
) A (dari sifat perkalian matriks dengan skalar).
1A = A (dari sifat perkalian matriks dengan bilangan real 1).
Aksioma terkait sifat distributif vektor dan sifat distributif skalar).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
23 / 72
Aksioma terkait perkalian skalar.
1
2
3
A=
a11
a21
( A) = (
a12
a22
2V.
) A (dari sifat perkalian matriks dengan skalar).
1A = A (dari sifat perkalian matriks dengan bilangan real 1).
Aksioma terkait sifat distributif vektor dan sifat distributif skalar).
1
(A + B) = A + B (dari sifat distributif pada perkalian matriks dengan
skalar).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
23 / 72
Aksioma terkait perkalian skalar.
1
2
3
A=
a11
a21
( A) = (
a12
a22
2V.
) A (dari sifat perkalian matriks dengan skalar).
1A = A (dari sifat perkalian matriks dengan bilangan real 1).
Aksioma terkait sifat distributif vektor dan sifat distributif skalar).
1
(A + B) = A + B (dari sifat distributif pada perkalian matriks dengan
skalar).
2
( + ) A = A + B (dari sifat distributif pada perkalian matriks dengan
skalar).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
23 / 72
Catatan
Secara umum kita memiliki sifat bahwa himpunan seluruh matriks berukuran
m n dengan entri-entri bilangan real merupakan suatu ruang vektor atas R
dengan
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
24 / 72
Catatan
Secara umum kita memiliki sifat bahwa himpunan seluruh matriks berukuran
m n dengan entri-entri bilangan real merupakan suatu ruang vektor atas R
dengan
1
operasi penjumlahan vektornya merupakan operasi penjumlahan matriks,
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
24 / 72
Catatan
Secara umum kita memiliki sifat bahwa himpunan seluruh matriks berukuran
m n dengan entri-entri bilangan real merupakan suatu ruang vektor atas R
dengan
1
operasi penjumlahan vektornya merupakan operasi penjumlahan matriks,
2
operasi perkalian skalarnya merupakan operasi perkalian matriks oleh
suatu skalar,
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
24 / 72
Catatan
Secara umum kita memiliki sifat bahwa himpunan seluruh matriks berukuran
m n dengan entri-entri bilangan real merupakan suatu ruang vektor atas R
dengan
1
operasi penjumlahan vektornya merupakan operasi penjumlahan matriks,
2
operasi perkalian skalarnya merupakan operasi perkalian matriks oleh
suatu skalar,
3
vektor nolnya adalah matriks O berukuran m
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
n;
Oktober – November 2015
24 / 72
Catatan
Secara umum kita memiliki sifat bahwa himpunan seluruh matriks berukuran
m n dengan entri-entri bilangan real merupakan suatu ruang vektor atas R
dengan
1
operasi penjumlahan vektornya merupakan operasi penjumlahan matriks,
2
operasi perkalian skalarnya merupakan operasi perkalian matriks oleh
suatu skalar,
3
vektor nolnya adalah matriks O berukuran m
4
apabila vektor ~a adalah matriks A yang berukuran m
merupakan matriks A.
n;
n, maka
~a
Ruang vektor yang berisi matriks berukuran m n yang dijelaskan di atas
dinotasikan dengan Mmn . Ruang vektor seperti ini akan dinamakan sebagai
ruang matriks.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
24 / 72
Contoh Aritmetika Vektor pada M22
Jika M22 = fA j A matriks 2 2 atas Rg, maka penjumlahan vektor pada M22
adalah penjumlahan matriks dan perkalian skalarnya adalah perkalian matriks
1
1
dengan skalar. Sebagai contoh, misalkan A =
dan
0
1
1
2
B=
. Jelas bahwa A; B 2 M22 . Kita memiliki
0
3
A+B =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
25 / 72
Contoh Aritmetika Vektor pada M22
Jika M22 = fA j A matriks 2 2 atas Rg, maka penjumlahan vektor pada M22
adalah penjumlahan matriks dan perkalian skalarnya adalah perkalian matriks
1
1
dengan skalar. Sebagai contoh, misalkan A =
dan
0
1
1
2
B=
. Jelas bahwa A; B 2 M22 . Kita memiliki
0
3
A+B =
0
0
1
2
,
3A =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
25 / 72
Contoh Aritmetika Vektor pada M22
Jika M22 = fA j A matriks 2 2 atas Rg, maka penjumlahan vektor pada M22
adalah penjumlahan matriks dan perkalian skalarnya adalah perkalian matriks
1
1
dengan skalar. Sebagai contoh, misalkan A =
dan
0
1
1
2
B=
. Jelas bahwa A; B 2 M22 . Kita memiliki
0
3
A+B =
3A =
0
0
1
2
3
0
,
3
3
,
2A + 3B =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
25 / 72
Contoh Aritmetika Vektor pada M22
Jika M22 = fA j A matriks 2 2 atas Rg, maka penjumlahan vektor pada M22
adalah penjumlahan matriks dan perkalian skalarnya adalah perkalian matriks
1
1
dengan skalar. Sebagai contoh, misalkan A =
dan
0
1
1
2
B=
. Jelas bahwa A; B 2 M22 . Kita memiliki
0
3
A+B =
MZI (FIF Tel-U)
0
0
1
2
,
3A =
3
0
3
3
2A + 3B =
5
0
8
11
De…nisi RV dan Subruang
,
Oktober – November 2015
25 / 72
Bahasan
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
26 / 72
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Polinom/ Suku Banyak
Suatu polinom berderajat n dalam x adalah fungsi yang dapat ditulis dalam
bentuk
p (x) = a0 + a1 x +
+ an xn
dengan ai 2 R untuk setiap 1
polinom berderajat
MZI (FIF Tel-U)
i
n. Sebagai contoh p (x) = 2 + x adalah
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
27 / 72
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Polinom/ Suku Banyak
Suatu polinom berderajat n dalam x adalah fungsi yang dapat ditulis dalam
bentuk
p (x) = a0 + a1 x +
+ an xn
dengan ai 2 R untuk setiap 1
polinom berderajat 1.
De…nisi
Diberikan dua polinom p (x) =
bilangan real , maka
Pn
p (x) + q (x)
MZI (FIF Tel-U)
n. Sebagai contoh p (x) = 2 + x adalah
i
j=0
aj xj dan q (x) =
Pm
j=0 bj x
j
, serta sebuah
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
27 / 72
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Polinom/ Suku Banyak
Suatu polinom berderajat n dalam x adalah fungsi yang dapat ditulis dalam
bentuk
p (x) = a0 + a1 x +
+ an xn
dengan ai 2 R untuk setiap 1
polinom berderajat 1.
De…nisi
Diberikan dua polinom p (x) =
bilangan real , maka
n. Sebagai contoh p (x) = 2 + x adalah
i
Pn
j=0
aj xj dan q (x) =
Pm
j=0 bj x
j
, serta sebuah
maxfm;ng
p (x) + q (x)
=
X
(aj + bj ) xj
j=0
p (x)
MZI (FIF Tel-U)
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
27 / 72
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Polinom/ Suku Banyak
Suatu polinom berderajat n dalam x adalah fungsi yang dapat ditulis dalam
bentuk
p (x) = a0 + a1 x +
+ an xn
dengan ai 2 R untuk setiap 1
polinom berderajat 1.
De…nisi
Diberikan dua polinom p (x) =
bilangan real , maka
n. Sebagai contoh p (x) = 2 + x adalah
i
Pn
j=0
aj xj dan q (x) =
Pm
j=0 bj x
j
, serta sebuah
maxfm;ng
p (x) + q (x)
p (x)
=
=
X
j=0
n
X
aj xj =
j=0
MZI (FIF Tel-U)
(aj + bj ) xj
De…nisi RV dan Subruang
n
X
aj xj .
j=0
Oktober – November 2015
27 / 72
De…nisi
Himpunan seluruh polinom yang berderajat paling tinggi n dinotasikan dengan Pn .
Contoh (Contoh aritmetika pada P2 )
Kita memiliki P2 = a0 + a1 x + a2 x2 j a0 ; a1 ; a2 2 R . Elemen-elemen P2
contohnya adalah 0, 1 + x, 1 + x2 , dan 2015 + 2016x + 2017x2 . Misalkan
p (x) = 1 + 2x dan q (x) = 3x + 4x2 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
28 / 72
De…nisi
Himpunan seluruh polinom yang berderajat paling tinggi n dinotasikan dengan Pn .
Contoh (Contoh aritmetika pada P2 )
Kita memiliki P2 = a0 + a1 x + a2 x2 j a0 ; a1 ; a2 2 R . Elemen-elemen P2
contohnya adalah 0, 1 + x, 1 + x2 , dan 2015 + 2016x + 2017x2 . Misalkan
p (x) = 1 + 2x dan q (x) = 3x + 4x2 . Jelas bahwa p (x) ; q (x) 2 P2 . Kita memiliki
p (x) + q (x)
MZI (FIF Tel-U)
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
28 / 72
De…nisi
Himpunan seluruh polinom yang berderajat paling tinggi n dinotasikan dengan Pn .
Contoh (Contoh aritmetika pada P2 )
Kita memiliki P2 = a0 + a1 x + a2 x2 j a0 ; a1 ; a2 2 R . Elemen-elemen P2
contohnya adalah 0, 1 + x, 1 + x2 , dan 2015 + 2016x + 2017x2 . Misalkan
p (x) = 1 + 2x dan q (x) = 3x + 4x2 . Jelas bahwa p (x) ; q (x) 2 P2 . Kita memiliki
p (x) + q (x)
=
3p (x)
=
MZI (FIF Tel-U)
(1 + 2x) + 3x + 4x2 = 1 + 5x + 4x2 ,
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
28 / 72
De…nisi
Himpunan seluruh polinom yang berderajat paling tinggi n dinotasikan dengan Pn .
Contoh (Contoh aritmetika pada P2 )
Kita memiliki P2 = a0 + a1 x + a2 x2 j a0 ; a1 ; a2 2 R . Elemen-elemen P2
contohnya adalah 0, 1 + x, 1 + x2 , dan 2015 + 2016x + 2017x2 . Misalkan
p (x) = 1 + 2x dan q (x) = 3x + 4x2 . Jelas bahwa p (x) ; q (x) 2 P2 . Kita memiliki
p (x) + q (x)
=
(1 + 2x) + 3x + 4x2 = 1 + 5x + 4x2 ,
3p (x)
=
3 (1 + 2x) = 3 + 6x,
4q (x)
=
2p (x)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
28 / 72
De…nisi
Himpunan seluruh polinom yang berderajat paling tinggi n dinotasikan dengan Pn .
Contoh (Contoh aritmetika pada P2 )
Kita memiliki P2 = a0 + a1 x + a2 x2 j a0 ; a1 ; a2 2 R . Elemen-elemen P2
contohnya adalah 0, 1 + x, 1 + x2 , dan 2015 + 2016x + 2017x2 . Misalkan
p (x) = 1 + 2x dan q (x) = 3x + 4x2 . Jelas bahwa p (x) ; q (x) 2 P2 . Kita memiliki
p (x) + q (x)
=
(1 + 2x) + 3x + 4x2 = 1 + 5x + 4x2 ,
3p (x)
=
3 (1 + 2x) = 3 + 6x,
4q (x)
=
2 (1 + 2x)
=
2 + 4x
2p (x)
4 3x + 4x2
12x
16x2 = 2
8x
16x2 .
Teorema
Pn yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan bilangan
real merupakan suatu ruang vektor atas R.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
28 / 72
Bahasan
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
29 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
x
2
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
.
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
.
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
.
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah 1. Tinjau bahwa x 1 =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah 1. Tinjau bahwa x 1 = x 1 =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah 1. Tinjau bahwa x 1 = x 1 = x =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah 1. Tinjau bahwa x 1 = x 1 = x = 1 x =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah 1. Tinjau bahwa x 1 = x 1 = x = 1 x = 1 x
untuk setiap x 2 R+ .
5
Jika x 2 R+ , maka ( x) :=
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah 1. Tinjau bahwa x 1 = x 1 = x = 1 x = 1 x
untuk setiap x 2 R+ .
5
Jika x 2 R+ , maka ( x) := x1 2 R+ . Tinjau bahwa
x ( x) =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah 1. Tinjau bahwa x 1 = x 1 = x = 1 x = 1 x
untuk setiap x 2 R+ .
5
Jika x 2 R+ , maka ( x) := x1 2 R+ . Tinjau bahwa
x ( x) = x x1 =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah 1. Tinjau bahwa x 1 = x 1 = x = 1 x = 1 x
untuk setiap x 2 R+ .
5
Jika x 2 R+ , maka ( x) := x1 2 R+ . Tinjau bahwa
x ( x) = x x1 = 1 = x1 x =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Ruang Vektor (?)
Ruang Vektor (?)
Misalkan V = R+ , yaitu V mencakup semua bilangan real positif. Untuk setiap
x; y 2 V dan 2 R kita de…nisikan dua operasi berikut:
1
2
x
y = xy
x=x
Apakah V merupakan ruang vektor atas R?
Solusi: V adalah ruang vektor atas R. Jelas bahwa V 6= ; karena 1 2 V .
Selanjutnya tinjau bahwa.
Terhadap operasi himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
1
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap operasi .
2
Jika x; y 2 R+ , maka x y = xy = yx = y x. Jadi bersifat komutatif.
3
Jika x; y; z 2 R+ , maka (x y) z = (xy) z = x (yz) = x (y z). Jadi
bersifat asosiatif.
4
Vektor nol di V adalah 1. Tinjau bahwa x 1 = x 1 = x = 1 x = 1 x
untuk setiap x 2 R+ .
5
Jika x 2 R+ , maka ( x) := x1 2 R+ . Tinjau bahwa
x ( x) = x x1 = 1 = x1 x = ( x) x.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
30 / 72
Terhadap operasi
1
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika x 2 R+ dan
MZI (FIF Tel-U)
2 R, maka
x=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x=
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) =
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) =
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
= (
De…nisi RV dan Subruang
x) =
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
= (
x) =
(
x).
x=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
= (
x) =
(
x).
1
x=x =
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
1
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
dan
(x
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
= (
x) =
(
x).
1
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
y) =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
1
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
dan
(x
= (
x) =
(
x).
1
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
y) =
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
(xy) =
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
1
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
dan
(x
= (
x) =
(
x).
1
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
y) =
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
(xy) = (xy) =
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
1
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
dan
(x
= (
x) =
(
x).
1
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
y) =
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
(xy) = (xy) = x y =
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
1
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
dan
(x
= (
x) =
(
x).
1
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
y) =
MZI (FIF Tel-U)
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
(xy) = (xy) = x y = (
De…nisi RV dan Subruang
x) (
y) =
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
1
(
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
dan
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
= (
x) =
x).
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
(x y) =
(xy) = (xy) = x y = (
x) (
y).
( + )
(
1
x) (
y) =
x=
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
1
(
dan
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
= (
x) =
x).
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
(x y) =
(xy) = (xy) = x y = (
x) (
y).
( + )
(
1
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
x=x
MZI (FIF Tel-U)
+
x) (
y) =
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
1
(
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
dan
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
= (
x) =
x).
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
(x y) =
(xy) = (xy) = x y = (
x) (
y).
( + )
(
1
x=x
MZI (FIF Tel-U)
+
= (x ) x
x) (
y) =
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
1
(
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
dan
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
= (
x) =
x).
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
(x y) =
(xy) = (xy) = x y = (
x) (
y).
( + )
(
1
x=x
MZI (FIF Tel-U)
+
= (x ) x
= (
x) (
De…nisi RV dan Subruang
x) (
y) =
x) =
Oktober – November 2015
31 / 72
Terhadap operasi
1
2
3
Jika x 2 R+ dan 2 R, maka
operasi .
Jika x 2 R+ dan ; 2 R, maka
( ) x = x( ) = x( ) = x
Jika x 2 R+ , maka 1
Operasi
1
(
2
himpunan V memenuhi sifat-sifat berikut:
dan
x = x 2 R+ . Jadi V tertutup terhadap
= (
x) =
x).
x = x = x.
terkait oleh sifat distributif berikut.
(x y) =
(xy) = (xy) = x y = (
x) (
y).
( + )
(
1
x=x
MZI (FIF Tel-U)
+
= (x ) x
= (
x) (
De…nisi RV dan Subruang
x) (
y) =
x) = (
x)
(
Oktober – November 2015
y).
31 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
32 / 72
Teorema berikut dapat (dan harus) dibuktikan hanya dengan memakai aksioma
A1–A10 saja.
Teorema
Misalkan V adalah ruang vektor atas R, maka
1
0~u = ~0, untuk setiap ~u 2 V
2
3
4
~0 = ~0, untuk setiap
( 1) ~u =
~u
~
Jika ~u = 0, maka
2R
= 0 atau ~u = ~0.
Bukti
Lihat Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
33 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
34 / 72
Latihan
Latihan
Periksa apakah masing-masing himpunan berikut merupakan ruang vektor atas R.
Berikan bukti atau contoh penyangkal.
1
2
3
V = R2 dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut.
Jika ~u = (u1 ; u2 ) ; ~v = (v1 ; v2 ) 2 V dan 2 R, maka
~u + ~v = (u1 + v1 ; u2 + v2 )
~u = ( u1 ; 0).
V = R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut.
Jika ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) ; ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 V dan 2 R, maka
~u + ~v = (u1 + v1 ; u2 + v2 ; u3 + v3 )
~u = ( u1 ; u2 ; u3 ).
V = R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut.
Jika ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) ; ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 V dan 2 R, maka
~u + ~v = (u1 + v1 ; u2 + v2 ; u3 + v3 )
~u = (0; 0; 0).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
35 / 72
Solusi Soal 1, 2, dan 3
Soal 1:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
36 / 72
Solusi Soal 1, 2, dan 3
Soal 1:
Kita memiliki V = R2 dengan ~u = ( u1 ; 0) untuk setiap ~u 2 R2 . Perhatikan
bahwa
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
36 / 72
Solusi Soal 1, 2, dan 3
Soal 1:
Kita memiliki V = R2 dengan ~u = ( u1 ; 0) untuk setiap ~u 2 R2 . Perhatikan
bahwa
1 (1; 1) = (1 1; 0) = (1; 0)
Jadi
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
36 / 72
Solusi Soal 1, 2, dan 3
Soal 1:
Kita memiliki V = R2 dengan ~u = ( u1 ; 0) untuk setiap ~u 2 R2 . Perhatikan
bahwa
1 (1; 1) = (1 1; 0) = (1; 0)
Jadi
1 (1; 1) 6= (1; 1) .
Akibatnya (V; +; ) bukan ruang vektor atas R.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
36 / 72
Soal 2:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
37 / 72
Soal 2:
Kita memiliki V = R3 dengan ~u = ( u1 ; u2 ; u3 ) untuk setiap ~u 2 R3 .
Perhatikan bahwa
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
37 / 72
Soal 2:
Kita memiliki V = R3 dengan ~u = ( u1 ; u2 ; u3 ) untuk setiap ~u 2 R3 .
Perhatikan bahwa
(1 + 1) (1; 1; 1)
=
(2) (1; 1; 1)
= (2; 1; 1)
Sedangkan
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
37 / 72
Soal 2:
Kita memiliki V = R3 dengan ~u = ( u1 ; u2 ; u3 ) untuk setiap ~u 2 R3 .
Perhatikan bahwa
(1 + 1) (1; 1; 1)
=
(2) (1; 1; 1)
= (2; 1; 1)
Sedangkan
1 (1; 1; 1) + 1 (1; 1; 1)
=
(1; 1; 1) + (1; 1; 1)
=
(2; 2; 2) .
Jadi
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
37 / 72
Soal 2:
Kita memiliki V = R3 dengan ~u = ( u1 ; u2 ; u3 ) untuk setiap ~u 2 R3 .
Perhatikan bahwa
(1 + 1) (1; 1; 1)
=
(2) (1; 1; 1)
= (2; 1; 1)
Sedangkan
1 (1; 1; 1) + 1 (1; 1; 1)
=
(1; 1; 1) + (1; 1; 1)
=
(2; 2; 2) .
Jadi
(1 + 1) (1; 1; 1) 6= 1 (1; 1; 1) + 1 (1; 1; 1) .
Akibatnya (V; +; ) bukan ruang vektor atas R.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
37 / 72
Soal 3:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
38 / 72
Soal 3:
Kita memiliki V = R3 dengan ~u = (0; 0; 0) untuk setiap ~u 2 R3 . Perhatikan
bahwa
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
38 / 72
Soal 3:
Kita memiliki V = R3 dengan ~u = (0; 0; 0) untuk setiap ~u 2 R3 . Perhatikan
bahwa
1 (1; 1; 1) = (0; 0; 0) 6= (1; 1; 1) .
Akibatnya (V; +; ) bukan ruang vektor atas R.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
38 / 72
Latihan
Periksa apakah masing-masing himpunan berikut merupakan ruang vektor atas R.
Berikan bukti atau contoh penyangkal.
4
V = f(x; 0) j x 2 Rg dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
sebagaimana penjumlahan dan perkalian skalar pada R2 .
5
V = f(1; y) j y 2 Rg, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
sebagai berikut. Jika ~u = (1; u) ; ~v = (1; v) 2 V dan 2 R, maka
~u + ~v = (1; u + v)
~u = (1; u).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
39 / 72
Solusi Soal 4 dan 5
Soal 4:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
40 / 72
Solusi Soal 4 dan 5
Soal 4:
V = f(x; 0) j x 2 Rg dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
sebagaimana penjumlahan dan perkalian skalar pada R2 merupakan ruang vektor
atas R.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
40 / 72
Solusi Soal 4 dan 5
Soal 4:
V = f(x; 0) j x 2 Rg dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
sebagaimana penjumlahan dan perkalian skalar pada R2 merupakan ruang vektor
atas R. Vektor nol di V adalah (0; 0) dan negatif dari (x; 0) adalah ( x; 0). Bukti
detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Soal 5:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
40 / 72
Solusi Soal 4 dan 5
Soal 4:
V = f(x; 0) j x 2 Rg dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
sebagaimana penjumlahan dan perkalian skalar pada R2 merupakan ruang vektor
atas R. Vektor nol di V adalah (0; 0) dan negatif dari (x; 0) adalah ( x; 0). Bukti
detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Soal 5:
V = f(1; y) j y 2 Rg, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai
berikut: jika ~u = (1; u) ; ~v = (1; v) 2 V dan 2 R, maka
~u + ~v = (1; u + v),
~u = (1; u),
adalah ruang vektor atas R.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
40 / 72
Solusi Soal 4 dan 5
Soal 4:
V = f(x; 0) j x 2 Rg dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
sebagaimana penjumlahan dan perkalian skalar pada R2 merupakan ruang vektor
atas R. Vektor nol di V adalah (0; 0) dan negatif dari (x; 0) adalah ( x; 0). Bukti
detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Soal 5:
V = f(1; y) j y 2 Rg, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai
berikut: jika ~u = (1; u) ; ~v = (1; v) 2 V dan 2 R, maka
~u + ~v = (1; u + v),
~u = (1; u),
adalah ruang vektor atas R. Vektor nol di V adalah (1; 0) karena kita memiliki
(1; 0) + (1; u) = (1; u) dan (1; u) + (1; 0) = (1; u)
untuk setiap (1; u) 2 V .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
40 / 72
Solusi Soal 4 dan 5
Soal 4:
V = f(x; 0) j x 2 Rg dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
sebagaimana penjumlahan dan perkalian skalar pada R2 merupakan ruang vektor
atas R. Vektor nol di V adalah (0; 0) dan negatif dari (x; 0) adalah ( x; 0). Bukti
detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Soal 5:
V = f(1; y) j y 2 Rg, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai
berikut: jika ~u = (1; u) ; ~v = (1; v) 2 V dan 2 R, maka
~u + ~v = (1; u + v),
~u = (1; u),
adalah ruang vektor atas R. Vektor nol di V adalah (1; 0) karena kita memiliki
(1; 0) + (1; u) = (1; u) dan (1; u) + (1; 0) = (1; u)
untuk setiap (1; u) 2 V . Negatif dari (1; u) adalah (1; u) karena kita memiliki
(1; u) + (1; u) = (1; 0) dan (1; u) + (1; u) = (1; 0) .
Bukti detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
40 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
41 / 72
Subruang
Pada latihan sebelumnya, kita telah melihat bahwa himpunan
V = f(x; 0) j x 2 Rg
adalah suatu ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang
sama seperti pada R2 . Perhatikan pula bahwa V
R2 . Jadi kita memiliki sifat:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
42 / 72
Subruang
Pada latihan sebelumnya, kita telah melihat bahwa himpunan
V = f(x; 0) j x 2 Rg
adalah suatu ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang
sama seperti pada R2 . Perhatikan pula bahwa V
R2 . Jadi kita memiliki sifat:
1
V adalah himpunan bagian (tak kosong) dari R2 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
42 / 72
Subruang
Pada latihan sebelumnya, kita telah melihat bahwa himpunan
V = f(x; 0) j x 2 Rg
adalah suatu ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang
sama seperti pada R2 . Perhatikan pula bahwa V
R2 . Jadi kita memiliki sifat:
1
2
V adalah himpunan bagian (tak kosong) dari R2 .
V adalah suatu ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar yang sama seperti pada R2 .
Pada keadaan seperti ini, kita sebut V sebagai subruang dari R2 .
De…nisi (Subruang)
Misalkan V adalah ruang vektor atas R dan W himpunan bagian dari V yang
tidak kosong. Himpunan W dikatakan subruang dari V apabila W juga
merupakan ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang
sama seperti pada V .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
42 / 72
Memeriksa Sifat Subruang
Jika diberikan suatu ruang vektor V , kita dapat memeriksa apakah W
merupakan subruang dari V dengan cara:
1
2
V
menunjukkan bahwa W 6= ;,
menunjukkan bahwa W adalah ruang vektor dengan operasi penjumlahan
dan perkalian skalar yang sama seperti pada V .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
43 / 72
Memeriksa Sifat Subruang
Jika diberikan suatu ruang vektor V , kita dapat memeriksa apakah W
merupakan subruang dari V dengan cara:
1
2
V
menunjukkan bahwa W 6= ;,
menunjukkan bahwa W adalah ruang vektor dengan operasi penjumlahan
dan perkalian skalar yang sama seperti pada V .
Mengingat ada 10 aksioma yang harus kita periksa, tentunya sangat wajar bila
kita bertanya, “Adakah cara praktis untuk memeriksa apakah suatu himpunan
bagian dari suatu ruang vektor adalah subruang atau bukan?”
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
43 / 72
Misalkan W V dengan V adalah ruang vektor. Kita akan memeriksa apakah W
subruang dari V atau bukan.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
44 / 72
Misalkan W V dengan V adalah ruang vektor. Kita akan memeriksa apakah W
subruang dari V atau bukan.
Jika kita dapat menunjukkan bahwa W memuat vektor nol yang sama
dengan vektor nol pada V , maka W 6= ;. Jadi untuk membuktikan bahwa
W 6= ; kita dapat melakukannya dengan menunjukkan bahwa W memuat
vektor nol yang sama dengan vektor nol pada V . Vektor nol pada W dan V
haruslah sama, mengingat operasi penjumlahan yang digunakan pada W dan
V juga sama.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
44 / 72
Misalkan W V dengan V adalah ruang vektor. Kita akan memeriksa apakah W
subruang dari V atau bukan.
Jika kita dapat menunjukkan bahwa W memuat vektor nol yang sama
dengan vektor nol pada V , maka W 6= ;. Jadi untuk membuktikan bahwa
W 6= ; kita dapat melakukannya dengan menunjukkan bahwa W memuat
vektor nol yang sama dengan vektor nol pada V . Vektor nol pada W dan V
haruslah sama, mengingat operasi penjumlahan yang digunakan pada W dan
V juga sama.
Perhatikan bahwa operasi + bersifat komutatif dan asosiatif pada V . Karena
setiap anggota W juga anggota V , maka pastilah sifat komutatif dan
asosiatif untuk + juga berlaku di W . Dalam keadaan seperti ini, kita
mengatakan bahwa sifat komutatif dan asosiatif untuk + “diwariskan”
(inherited) dari V ke W .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
44 / 72
Misalkan W V dengan V adalah ruang vektor. Kita akan memeriksa apakah W
subruang dari V atau bukan.
Jika kita dapat menunjukkan bahwa W memuat vektor nol yang sama
dengan vektor nol pada V , maka W 6= ;. Jadi untuk membuktikan bahwa
W 6= ; kita dapat melakukannya dengan menunjukkan bahwa W memuat
vektor nol yang sama dengan vektor nol pada V . Vektor nol pada W dan V
haruslah sama, mengingat operasi penjumlahan yang digunakan pada W dan
V juga sama.
Perhatikan bahwa operasi + bersifat komutatif dan asosiatif pada V . Karena
setiap anggota W juga anggota V , maka pastilah sifat komutatif dan
asosiatif untuk + juga berlaku di W . Dalam keadaan seperti ini, kita
mengatakan bahwa sifat komutatif dan asosiatif untuk + “diwariskan”
(inherited) dari V ke W .
Dengan argumen serupa, karena ~0 2 V memenuhi ~0 + ~v = ~v = ~v + ~0 untuk
setiap ~v 2 V maka pastilah ~0 + w
~ =w
~ =w
~ + ~0 untuk setiap w
~ 2W V.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
44 / 72
Misalkan W V dengan V adalah ruang vektor. Kita akan memeriksa apakah W
subruang dari V atau bukan.
Jika kita dapat menunjukkan bahwa W memuat vektor nol yang sama
dengan vektor nol pada V , maka W 6= ;. Jadi untuk membuktikan bahwa
W 6= ; kita dapat melakukannya dengan menunjukkan bahwa W memuat
vektor nol yang sama dengan vektor nol pada V . Vektor nol pada W dan V
haruslah sama, mengingat operasi penjumlahan yang digunakan pada W dan
V juga sama.
Perhatikan bahwa operasi + bersifat komutatif dan asosiatif pada V . Karena
setiap anggota W juga anggota V , maka pastilah sifat komutatif dan
asosiatif untuk + juga berlaku di W . Dalam keadaan seperti ini, kita
mengatakan bahwa sifat komutatif dan asosiatif untuk + “diwariskan”
(inherited) dari V ke W .
Dengan argumen serupa, karena ~0 2 V memenuhi ~0 + ~v = ~v = ~v + ~0 untuk
setiap ~v 2 V maka pastilah ~0 + w
~ =w
~ =w
~ + ~0 untuk setiap w
~ 2W V.
Sifat yang juga diwariskan dari V ke W adalah sifat: 1~v = ~v ,
( ~v ) = ( ) ~v , (~v + w)
~ = ~v + w,
~ dan ( + ) (~v ) = ~v + ~v .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
44 / 72
Sejauh ini, dari 10 aksioma yang harus diperiksa, yang tidak perlu kita periksa
adalah A2, A3, A4, A7, A8, A9, dan A10. Kita tinggal memeriksa:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
45 / 72
Sejauh ini, dari 10 aksioma yang harus diperiksa, yang tidak perlu kita periksa
adalah A2, A3, A4, A7, A8, A9, dan A10. Kita tinggal memeriksa:
1
A1: W tertutup terhadap penjumlahan: untuk setiap w
~ 1; w
~ 2 2 W maka
w
~1 + w
~2 2 W .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
45 / 72
Sejauh ini, dari 10 aksioma yang harus diperiksa, yang tidak perlu kita periksa
adalah A2, A3, A4, A7, A8, A9, dan A10. Kita tinggal memeriksa:
1
2
A1: W tertutup terhadap penjumlahan: untuk setiap w
~ 1; w
~ 2 2 W maka
w
~1 + w
~2 2 W .
A5: untuk setiap w
~ 2 W maka
MZI (FIF Tel-U)
w
~ 2 W.
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
45 / 72
Sejauh ini, dari 10 aksioma yang harus diperiksa, yang tidak perlu kita periksa
adalah A2, A3, A4, A7, A8, A9, dan A10. Kita tinggal memeriksa:
1
2
3
A1: W tertutup terhadap penjumlahan: untuk setiap w
~ 1; w
~ 2 2 W maka
w
~1 + w
~2 2 W .
A5: untuk setiap w
~ 2 W maka
w
~ 2 W.
A6: W tertutup terhadap perkalian skalar: untuk setiap w
~ 2 W dan
maka w
~ 2 W.
2R
Berdasarkan teorema sebelumnya, kita memiliki ( 1) w
~ = w.
~ Jadi jika kita telah
membuktikan bahwa W tertutup terhadap perkalian skalar, kita tidak perlu
membuktikan bahwa A5 berlaku. Jadi pemeriksaan aksioma A5 dan A6 bisa
dilakukan sekaligus dengan hanya memeriksa A6 saja.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
45 / 72
Teorema Pemeriksaan Subruang
Teorema
Jika W subhimpunan dari V yang tidak kosong, maka W adalah suatu subruang
dari V jika dan hanya jika
1
2
untuk setiap w
~ 1; w
~ 2 2 W berlaku w
~1 + w
~ 2 2 W (W tertutup terhadap
operasi penjumlahan)
untuk setiap 2 R dan w
~ 2 W berlaku w
~ 2 W (W tertutup terhadap
operasi perkalian skalar)
Operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar pada W sama dengan operasi
penjumlahan vektor dan perkalian skalar pada V .
Dengan perkataan lain (W; +; :) subruang dari ruang vektor (V; +; :) apabila
1
2
;=
6 W
V
w
~1 + w
~ 2 2 W untuk setiap w
~ 1; w
~ 2 2 W dan ;
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
2 R.
Oktober – November 2015
46 / 72
Permasalahan
Diberikan sembarang ruang vektor V atas R yang memuat lebih dari satu vektor.
Carilah setidaknya dua subruang dari V .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
47 / 72
Permasalahan
Diberikan sembarang ruang vektor V atas R yang memuat lebih dari satu vektor.
Carilah setidaknya dua subruang dari V .
n o
Perhatikan bahwa V pasti memuat vektor nol. Dari hasil sebelumnya, ~0 adalah
ruang vektor. Akibatnya kita memiliki dua subruang dari V , yaitu
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
47 / 72
Permasalahan
Diberikan sembarang ruang vektor V atas R yang memuat lebih dari satu vektor.
Carilah setidaknya dua subruang dari V .
n o
Perhatikan bahwa V pasti memuat vektor nol. Dari hasil sebelumnya, ~0 adalah
n o
ruang vektor. Akibatnya kita memiliki dua subruang dari V , yaitu ~0 dan V .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
47 / 72
Latihan
Latihan
Diberikan ruang vektor R2 dan R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar standar.
1
2
3
4
Apakah A = f(x; 0) j x
0g subruang dari R2 ?
Apakah B = f(0; y) j y 2 Rg subruang dari R2 ?
Apakah C = f(a; 1; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Apakah D = f(a; a; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Solusi soal 1:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
48 / 72
Latihan
Latihan
Diberikan ruang vektor R2 dan R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar standar.
1
2
3
4
Apakah A = f(x; 0) j x
0g subruang dari R2 ?
Apakah B = f(0; y) j y 2 Rg subruang dari R2 ?
Apakah C = f(a; 1; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Apakah D = f(a; a; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Solusi soal 1:
A bukan subruang dari R2 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
48 / 72
Latihan
Latihan
Diberikan ruang vektor R2 dan R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar standar.
1
2
3
4
Apakah A = f(x; 0) j x
0g subruang dari R2 ?
Apakah B = f(0; y) j y 2 Rg subruang dari R2 ?
Apakah C = f(a; 1; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Apakah D = f(a; a; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Solusi soal 1:
A bukan subruang dari R2 . Tinjau bahwa (1; 0) 2 A, tetapi
1 (1; 0) = ( 1; 0) 62 A. Jadi A tidak tertutup terhadap operasi perkalian skalar.
Solusi soal 2:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
48 / 72
Latihan
Latihan
Diberikan ruang vektor R2 dan R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar standar.
1
2
3
4
Apakah A = f(x; 0) j x
0g subruang dari R2 ?
Apakah B = f(0; y) j y 2 Rg subruang dari R2 ?
Apakah C = f(a; 1; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Apakah D = f(a; a; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Solusi soal 1:
A bukan subruang dari R2 . Tinjau bahwa (1; 0) 2 A, tetapi
1 (1; 0) = ( 1; 0) 62 A. Jadi A tidak tertutup terhadap operasi perkalian skalar.
Solusi soal 2:
B adalah subruang dari R2 . Tinjau bahwa:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
48 / 72
Latihan
Latihan
Diberikan ruang vektor R2 dan R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar standar.
1
2
3
4
Apakah A = f(x; 0) j x
0g subruang dari R2 ?
Apakah B = f(0; y) j y 2 Rg subruang dari R2 ?
Apakah C = f(a; 1; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Apakah D = f(a; a; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Solusi soal 1:
A bukan subruang dari R2 . Tinjau bahwa (1; 0) 2 A, tetapi
1 (1; 0) = ( 1; 0) 62 A. Jadi A tidak tertutup terhadap operasi perkalian skalar.
Solusi soal 2:
B adalah subruang dari R2 . Tinjau bahwa: (1) B 6= ; karena (0; 0) 2 B.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
48 / 72
Latihan
Latihan
Diberikan ruang vektor R2 dan R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar standar.
1
2
3
4
Apakah A = f(x; 0) j x
0g subruang dari R2 ?
Apakah B = f(0; y) j y 2 Rg subruang dari R2 ?
Apakah C = f(a; 1; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Apakah D = f(a; a; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Solusi soal 1:
A bukan subruang dari R2 . Tinjau bahwa (1; 0) 2 A, tetapi
1 (1; 0) = ( 1; 0) 62 A. Jadi A tidak tertutup terhadap operasi perkalian skalar.
Solusi soal 2:
B adalah subruang dari R2 . Tinjau bahwa: (1) B 6= ; karena (0; 0) 2 B. (2) B
tertutup terhadap operasi penjumlahan: untuk (0; y1 ) ; (0; y2 ) 2 B, maka
(0; y1 ) + (0; y2 ) = (0; y1 + y2 ) 2 B.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
48 / 72
Latihan
Latihan
Diberikan ruang vektor R2 dan R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar standar.
1
2
3
4
Apakah A = f(x; 0) j x
0g subruang dari R2 ?
Apakah B = f(0; y) j y 2 Rg subruang dari R2 ?
Apakah C = f(a; 1; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Apakah D = f(a; a; 0) j a 2 Rg subruang dari R3 ?
Solusi soal 1:
A bukan subruang dari R2 . Tinjau bahwa (1; 0) 2 A, tetapi
1 (1; 0) = ( 1; 0) 62 A. Jadi A tidak tertutup terhadap operasi perkalian skalar.
Solusi soal 2:
B adalah subruang dari R2 . Tinjau bahwa: (1) B 6= ; karena (0; 0) 2 B. (2) B
tertutup terhadap operasi penjumlahan: untuk (0; y1 ) ; (0; y2 ) 2 B, maka
(0; y1 ) + (0; y2 ) = (0; y1 + y2 ) 2 B. (3) B tertutup terhadap operasi perkalian
skalar: untuk (0; y) 2 B dan 2 R maka (0; y) = (0; y) 2 B.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
48 / 72
Solusi soal 3:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
49 / 72
Solusi soal 3:
C bukan subruang dari R3 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
49 / 72
Solusi soal 3:
C bukan subruang dari R3 . Tinjau bahwa (0; 1; 0) 2 C, tetapi
2 (0; 1; 0) = (0; 2; 0) 62 C. Jadi C tidak tertutup terhadap operasi perkalian
skalar.
Solusi soal 4:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
49 / 72
Solusi soal 3:
C bukan subruang dari R3 . Tinjau bahwa (0; 1; 0) 2 C, tetapi
2 (0; 1; 0) = (0; 2; 0) 62 C. Jadi C tidak tertutup terhadap operasi perkalian
skalar.
Solusi soal 4:
D adalah subruang dari R3 . Tinjau bahwa
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
49 / 72
Solusi soal 3:
C bukan subruang dari R3 . Tinjau bahwa (0; 1; 0) 2 C, tetapi
2 (0; 1; 0) = (0; 2; 0) 62 C. Jadi C tidak tertutup terhadap operasi perkalian
skalar.
Solusi soal 4:
D adalah subruang dari R3 . Tinjau bahwa
1
D 6= ; karena (0; 0; 0) 2 D.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
49 / 72
Solusi soal 3:
C bukan subruang dari R3 . Tinjau bahwa (0; 1; 0) 2 C, tetapi
2 (0; 1; 0) = (0; 2; 0) 62 C. Jadi C tidak tertutup terhadap operasi perkalian
skalar.
Solusi soal 4:
D adalah subruang dari R3 . Tinjau bahwa
1
2
D 6= ; karena (0; 0; 0) 2 D.
D tertutup terhadap operasi penjumlahan: untuk (a; a; 0) ; (b; b; 0) 2 D
maka (a; a; 0) + (b; b; 0) = (a + b; (a + b) ; 0) 2 D.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
49 / 72
Solusi soal 3:
C bukan subruang dari R3 . Tinjau bahwa (0; 1; 0) 2 C, tetapi
2 (0; 1; 0) = (0; 2; 0) 62 C. Jadi C tidak tertutup terhadap operasi perkalian
skalar.
Solusi soal 4:
D adalah subruang dari R3 . Tinjau bahwa
1
2
3
D 6= ; karena (0; 0; 0) 2 D.
D tertutup terhadap operasi penjumlahan: untuk (a; a; 0) ; (b; b; 0) 2 D
maka (a; a; 0) + (b; b; 0) = (a + b; (a + b) ; 0) 2 D.
D tertutup terhadap operasi perkalian skalar: untuk (a; a; 0) 2 D dan
k 2 R maka k (a; a; 0) = (ka; (ka) ; 0) 2 D.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
49 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
50 / 72
Latihan
Periksa apakah himpunan-himpunan berikut merupakan subruang dari M22 (ruang
matriks yang anggotanya adalah matriks 2 2).
1
2
Himpunan S yang beranggotakan matriks 2 2 yang semua entri
diagonalnya adalah nol. Dengan perkataan lain
0 p
S = A j A 2 M22 dan A =
, p; q 2 R .
q 0
Himpunan T yang beranggotakan matriks 2 2 yang determinannya 0.
Dengan perkataan lain T = fA j A 2 M22 dan det (A) = 0g.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
51 / 72
Solusi:
Soal 1:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
maka A =
0
a2
a1
0
dan B =
0 0
0 0
0 b1
b2 0
2 S. Kemudian misalkan A; B 2 S,
untuk a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, akibatnya
A+B=
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
0 a1
dan B =
a2 0
0 a1
0 b1
A+B=
+
a2 0
b2 0
0
misalkan A 2 S dengan A =
a2
maka A =
0 0
0 0
0 b1
b2 0
2 S. Kemudian misalkan A; B 2 S,
untuk a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, akibatnya
=
0
a2 + b2
a1 + b1
0
a1
0
dan k 2 R, maka
2 S. Terakhir,
kA =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
0 0
0 0
0 b1
b2 0
2 S. Kemudian misalkan A; B 2 S,
0 a1
dan B =
untuk a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, akibatnya
a2 0
0 a1
0 b1
0
a1 + b1
A+B=
+
=
2 S. Terakhir,
a2 0
b2 0
a2 + b2
0
0 a1
misalkan A 2 S dengan A =
dan k 2 R, maka
a2 0
0 a1
0
ka1
kA = k
=
2 S.
a2 0
ka2
0
maka A =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
0 0
0 0
0 b1
b2 0
2 S. Kemudian misalkan A; B 2 S,
0 a1
dan B =
untuk a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, akibatnya
a2 0
0 a1
0 b1
0
a1 + b1
A+B=
+
=
2 S. Terakhir,
a2 0
b2 0
a2 + b2
0
0 a1
misalkan A 2 S dengan A =
dan k 2 R, maka
a2 0
0 a1
0
ka1
kA = k
=
2 S. Akibatnya S adalah subruang dari
a2 0
ka2
0
M22 .
maka A =
Soal 2:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
0 0
0 0
0 b1
b2 0
2 S. Kemudian misalkan A; B 2 S,
0 a1
dan B =
untuk a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, akibatnya
a2 0
0 a1
0 b1
0
a1 + b1
A+B=
+
=
2 S. Terakhir,
a2 0
b2 0
a2 + b2
0
0 a1
misalkan A 2 S dengan A =
dan k 2 R, maka
a2 0
0 a1
0
ka1
kA = k
=
2 S. Akibatnya S adalah subruang dari
a2 0
ka2
0
M22 .
maka A =
Soal 2: Misalkan A =
2 0
0 0
dan B =
0
0
0
1
, jelas bahwa A; B 2 T
karena
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
0 0
0 0
0 b1
b2 0
2 S. Kemudian misalkan A; B 2 S,
0 a1
dan B =
untuk a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, akibatnya
a2 0
0 a1
0 b1
0
a1 + b1
A+B=
+
=
2 S. Terakhir,
a2 0
b2 0
a2 + b2
0
0 a1
misalkan A 2 S dengan A =
dan k 2 R, maka
a2 0
0 a1
0
ka1
kA = k
=
2 S. Akibatnya S adalah subruang dari
a2 0
ka2
0
M22 .
maka A =
Soal 2: Misalkan A =
2 0
0 0
dan B =
0
0
0
1
, jelas bahwa A; B 2 T
karena det (A) = det (B) = 0. Kita memiliki A + B =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
0 0
0 0
0 b1
b2 0
2 S. Kemudian misalkan A; B 2 S,
0 a1
dan B =
untuk a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, akibatnya
a2 0
0 a1
0 b1
0
a1 + b1
A+B=
+
=
2 S. Terakhir,
a2 0
b2 0
a2 + b2
0
0 a1
misalkan A 2 S dengan A =
dan k 2 R, maka
a2 0
0 a1
0
ka1
kA = k
=
2 S. Akibatnya S adalah subruang dari
a2 0
ka2
0
M22 .
maka A =
Soal 2: Misalkan A =
2 0
0 0
dan B =
0
0
0
1
, jelas bahwa A; B 2 T
karena det (A) = det (B) = 0. Kita memiliki A + B =
2
0
0
1
dan
det (A + B) =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
0 0
0 0
0 b1
b2 0
2 S. Kemudian misalkan A; B 2 S,
0 a1
dan B =
untuk a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, akibatnya
a2 0
0 a1
0 b1
0
a1 + b1
A+B=
+
=
2 S. Terakhir,
a2 0
b2 0
a2 + b2
0
0 a1
misalkan A 2 S dengan A =
dan k 2 R, maka
a2 0
0 a1
0
ka1
kA = k
=
2 S. Akibatnya S adalah subruang dari
a2 0
ka2
0
M22 .
maka A =
Soal 2: Misalkan A =
2 0
0 0
dan B =
0
0
0
1
, jelas bahwa A; B 2 T
karena det (A) = det (B) = 0. Kita memiliki A + B =
2
0
0
1
dan
det (A + B) = 2 6= 0.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Solusi:
Soal 1: Jelas bahwa S 6= ; karena
0 0
0 0
0 b1
b2 0
2 S. Kemudian misalkan A; B 2 S,
0 a1
dan B =
untuk a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R, akibatnya
a2 0
0 a1
0 b1
0
a1 + b1
A+B=
+
=
2 S. Terakhir,
a2 0
b2 0
a2 + b2
0
0 a1
misalkan A 2 S dengan A =
dan k 2 R, maka
a2 0
0 a1
0
ka1
kA = k
=
2 S. Akibatnya S adalah subruang dari
a2 0
ka2
0
M22 .
maka A =
Soal 2: Misalkan A =
2 0
0 0
dan B =
0
0
0
1
, jelas bahwa A; B 2 T
2 0
dan
0 1
det (A + B) = 2 6= 0. Akibatnya A + B 62 T . Karena T tidak tertutup terhadap
operasi penjumlahan, maka T bukan subruang dari M22 .
karena det (A) = det (B) = 0. Kita memiliki A + B =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
52 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
53 / 72
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
Misalkan W = f(x; y) j x 0; y 0g. Apakah W merupakan subruang dari R2
bila penjumlahan dan perkalian skalarnya dide…nisikan seperti biasa?
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
54 / 72
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
Misalkan W = f(x; y) j x 0; y 0g. Apakah W merupakan subruang dari R2
bila penjumlahan dan perkalian skalarnya dide…nisikan seperti biasa? Perhatikan
bahwa W merupakan daerah kuadran 1.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
54 / 72
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
Misalkan W = f(x; y) j x 0; y 0g. Apakah W merupakan subruang dari R2
bila penjumlahan dan perkalian skalarnya dide…nisikan seperti biasa? Perhatikan
bahwa W merupakan daerah kuadran 1.
W bukan subruang dari R2 karena W tidak tertutup terhadap operasi perkalian
skalar: untuk w
~ = (1; 1) 2 W tetapi 1 w
~ = ( 1; 1) 62 W .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
54 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
55 / 72
Kombinasi Linier
De…nisi
Suatu vektor w
~ disebut sebagai suatu kombinasi linier vektor-vektor ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr
apabila
w
~ = 1~v1 + 2~v2 +
+ r ~vr ,
dengan
1;
2; : : : ;
r
2 R.
Contoh
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
56 / 72
Kombinasi Linier
De…nisi
Suatu vektor w
~ disebut sebagai suatu kombinasi linier vektor-vektor ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr
apabila
w
~ = 1~v1 + 2~v2 +
+ r ~vr ,
dengan
1;
2; : : : ;
r
2 R.
Contoh
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor
basis standar ^{ = (1; 0; 0), |^ = (0; 1; 0), dan k^ = (0; 0; 1) karena
~v
=
MZI (FIF Tel-U)
(v1 ; v2 ; v3 ) =
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
56 / 72
Kombinasi Linier
De…nisi
Suatu vektor w
~ disebut sebagai suatu kombinasi linier vektor-vektor ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr
apabila
w
~ = 1~v1 + 2~v2 +
+ r ~vr ,
dengan
1;
2; : : : ;
r
2 R.
Contoh
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor
basis standar ^{ = (1; 0; 0), |^ = (0; 1; 0), dan k^ = (0; 0; 1) karena
~v
=
(v1 ; v2 ; v3 ) = v1 (1; 0; 0) + v2 (0; 1; 0) + v3 (0; 0; 1)
=
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
56 / 72
Kombinasi Linier
De…nisi
Suatu vektor w
~ disebut sebagai suatu kombinasi linier vektor-vektor ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr
apabila
w
~ = 1~v1 + 2~v2 +
+ r ~vr ,
dengan
1;
2; : : : ;
r
2 R.
Contoh
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor
basis standar ^{ = (1; 0; 0), |^ = (0; 1; 0), dan k^ = (0; 0; 1) karena
~v
(v1 ; v2 ; v3 ) = v1 (1; 0; 0) + v2 (0; 1; 0) + v3 (0; 0; 1)
^
= v1^{ + v2 |^ + v3 k.
=
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
56 / 72
Latihan
Latihan
Misalkan ~u = (1; 2; 1) dan ~v = (6; 4; 2) merupakan dua vektor di R3 . Periksa:
1
apakah w
~ 1 = (9; 2; 7) merupakan kombinasi linier dari ~u dan ~v ?
2
apakah w
~ 2 = (4; 1; 8) merupakan kombinasi linier dari ~u dan ~v ?
apakah ~0 = (0; 0; 0) merupakan kombinasi linier dari ~u dan ~v ?
3
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
57 / 72
Solusi soal 1:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
58 / 72
Solusi soal 1:
Tinjau bahwa jika w
~ 1 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
58 / 72
Solusi soal 1:
Tinjau bahwa jika w
~ 1 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~1
MZI (FIF Tel-U)
=
~u + ~v
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
58 / 72
Solusi soal 1:
Tinjau bahwa jika w
~ 1 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~1
=
~u + ~v
(9; 2; 7)
=
(1; 2
=
1) +
(6; 4; 2)
( + 6 ;2 + 4 ;
+ 2 ).
Akibatnya diperoleh SPL
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
58 / 72
Solusi soal 1:
Tinjau bahwa jika w
~ 1 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~1
=
~u + ~v
(9; 2; 7)
=
(1; 2
=
1) +
(6; 4; 2)
( + 6 ;2 + 4 ;
+ 2 ).
Akibatnya diperoleh SPL
+6
2 +4
+2
=
9
= 2
=
7
Dengan menyelesaikan SPL di atas, diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
58 / 72
Solusi soal 1:
Tinjau bahwa jika w
~ 1 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~1
=
~u + ~v
(9; 2; 7)
=
(1; 2
=
1) +
(6; 4; 2)
( + 6 ;2 + 4 ;
+ 2 ).
Akibatnya diperoleh SPL
+6
2 +4
+2
=
9
= 2
=
7
Dengan menyelesaikan SPL di atas, diperoleh
=
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
3 dan
= 2. Jadi
Oktober – November 2015
58 / 72
Solusi soal 1:
Tinjau bahwa jika w
~ 1 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~1
=
~u + ~v
(9; 2; 7)
=
(1; 2
=
1) +
(6; 4; 2)
( + 6 ;2 + 4 ;
+ 2 ).
Akibatnya diperoleh SPL
+6
2 +4
+2
=
9
= 2
=
7
Dengan menyelesaikan SPL di atas, diperoleh
=
w
~=
3 dan
= 2. Jadi
3~u + 2~v .
Dengan demikian w
~ adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
58 / 72
Solusi soal 2:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
59 / 72
Solusi soal 2:
Tinjau bahwa jika w
~ 2 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
59 / 72
Solusi soal 2:
Tinjau bahwa jika w
~ 2 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~2
MZI (FIF Tel-U)
=
~u + ~v
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
59 / 72
Solusi soal 2:
Tinjau bahwa jika w
~ 2 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~2
=
(4; 1; 8) =
=
~u + ~v
(1; 2; 1) +
(6; 4; 2)
( + 6 ;2 + 4 ;
+2 )
Akibatnya diperoleh SPL
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
59 / 72
Solusi soal 2:
Tinjau bahwa jika w
~ 2 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~2
=
(4; 1; 8) =
=
~u + ~v
(1; 2; 1) +
(6; 4; 2)
( + 6 ;2 + 4 ;
+2 )
+6
=4
= 1 . Dengan OBE kita memperoleh
Akibatnya diperoleh SPL 2 + 4
+
2
2
3= 8
1 6
4
1 5 yang bentuk EBT-nya adalah
matriks diperbesar 4 2 4
8
1 2
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
59 / 72
Solusi soal 2:
Tinjau bahwa jika w
~ 2 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~2
=
(4; 1; 8) =
=
~u + ~v
(1; 2; 1) +
(6; 4; 2)
( + 6 ;2 + 4 ;
+2 )
+6
=4
= 1 . Dengan OBE kita memperoleh
Akibatnya diperoleh SPL 2 + 4
+
2
2
3= 8
1 6
4
1 5 yang bentuk EBT-nya adalah
matriks diperbesar 4 2 4
8
1
2
2
3
1 0 0
4 0 1 0 5 (tunjukkan!).
0 0 1
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
59 / 72
Solusi soal 2:
Tinjau bahwa jika w
~ 2 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~2
=
(4; 1; 8) =
=
~u + ~v
(1; 2; 1) +
(6; 4; 2)
( + 6 ;2 + 4 ;
+2 )
+6
=4
= 1 . Dengan OBE kita memperoleh
Akibatnya diperoleh SPL 2 + 4
+
2
2
3= 8
1 6
4
1 5 yang bentuk EBT-nya adalah
matriks diperbesar 4 2 4
8
1
2
2
3
1 0 0
4 0 1 0 5 (tunjukkan!). Karena SPL tidak memiliki solusi, maka tidak ada
0 0 1
nilai dan sehingga w
~ 2 = ~u + ~v .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
59 / 72
Solusi soal 2:
Tinjau bahwa jika w
~ 2 adalah kombinasi linier dari ~u dan ~v , maka terdapat
; 2 R yang memenuhi
w
~2
=
(4; 1; 8) =
=
~u + ~v
(1; 2; 1) +
(6; 4; 2)
( + 6 ;2 + 4 ;
+2 )
+6
=4
= 1 . Dengan OBE kita memperoleh
Akibatnya diperoleh SPL 2 + 4
+
2
2
3= 8
1 6
4
1 5 yang bentuk EBT-nya adalah
matriks diperbesar 4 2 4
8
1
2
2
3
1 0 0
4 0 1 0 5 (tunjukkan!). Karena SPL tidak memiliki solusi, maka tidak ada
0 0 1
nilai dan sehingga w
~ 2 = ~u + ~v . Jadi w
~ 2 bukan kombinasi linier dari ~u dan
~v .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
59 / 72
Solusi soal 3:
Vektor ~0 merupakan kombinasi linier dari ~u dan ~v karena ~0 = (0; 0; 0) = 0~u + 0~v .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
60 / 72
Bahasan
1
Pendahuluan dan Motivasi
2
De…nisi Ruang Vektor atas R
3
Beberapa Contoh Ruang Vektor atas R
Ruang Vektor Nol
Ruang Vektor Euclid Rn dan R1
Ruang Matriks
Ruang Polinom (Ruang Suku Banyak)
Ruang Vektor (?)
4
Beberapa Sifat Ruang Vektor atas R
5
Latihan Veri…kasi Ruang Vektor
6
Subruang
7
Latihan Veri…kasi Subruang M22
8
Pemeriksaan Subruang Secara Geometris
9
Kombinasi Linier
10
Himpunan Perentang (Himpunan Pembangun)
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
61 / 72
Teorema
Misalkan V adalah ruang vektor dan ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr 2 V , maka
1
Himpunan W yang terdiri atas vektor-vekor kombinasi linier ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr
merupakan subruang dari V .
2
Himpunan W yang dijelaskan pada nomor 1 merupakan subruang terkecil dari
V yang memuat ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr .
Bukti
Lihat Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
Dengan perkataan lain teorema di atas menyatakan bahwa
Jika W = f 1~v1 + 2~v2 +
+
merupakan subruang dari V .
vr
r~
:
i
2 R untuk 1
i
rg maka W
Tidak terdapat subruang W 0 dari V dengan sifat f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr g
W0 W.
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
W 0 dan
Oktober – November 2015
62 / 72
De…nisi Himpunan Perentang/ Spanning Set
De…nisi
Jika S = f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr g V , maka subruang W dari V yang memuat semua
kombinasi linier dari vektor-vektor pada S disebut sebagai ruang yang direntang/
ruang yang dibangun oleh ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr . Atau dengan perkataan lain vektor-vektor
~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr merentang/ membangun W . Hal ini dapat dinotasikan sebagai
W = span (S) = span f~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vr g .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
63 / 72
Akibat
Himpunan S V dikatakan merentang/ membangun ruang vektor V apabila
semua vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor-vektor
pada S. Sebagai contoh, himpunan S = f(1; 0) ; (0; 1) ; (0; 2)g merentang/
membangun R2 karena sembarang vektor (x; y) 2 R2 dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier vektor-vektor pada S, yaitu
(x; y)
MZI (FIF Tel-U)
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
64 / 72
Akibat
Himpunan S V dikatakan merentang/ membangun ruang vektor V apabila
semua vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor-vektor
pada S. Sebagai contoh, himpunan S = f(1; 0) ; (0; 1) ; (0; 2)g merentang/
membangun R2 karena sembarang vektor (x; y) 2 R2 dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier vektor-vektor pada S, yaitu
(x; y)
=
(x; y)
=
MZI (FIF Tel-U)
x (1; 0) + y (0; 1) + 0 (0; 2) atau dapat pula
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
64 / 72
Akibat
Himpunan S V dikatakan merentang/ membangun ruang vektor V apabila
semua vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor-vektor
pada S. Sebagai contoh, himpunan S = f(1; 0) ; (0; 1) ; (0; 2)g merentang/
membangun R2 karena sembarang vektor (x; y) 2 R2 dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier vektor-vektor pada S, yaitu
(x; y)
=
(x; y)
=
(x; y)
=
MZI (FIF Tel-U)
x (1; 0) + y (0; 1) + 0 (0; 2) atau dapat pula
1
x (1; 0) + 0 (0; 1) + y (0; 2) atau dapat pula
2
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
64 / 72
Akibat
Himpunan S V dikatakan merentang/ membangun ruang vektor V apabila
semua vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor-vektor
pada S. Sebagai contoh, himpunan S = f(1; 0) ; (0; 1) ; (0; 2)g merentang/
membangun R2 karena sembarang vektor (x; y) 2 R2 dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier vektor-vektor pada S, yaitu
(x; y)
=
(x; y)
=
(x; y)
=
MZI (FIF Tel-U)
x (1; 0) + y (0; 1) + 0 (0; 2) atau dapat pula
1
x (1; 0) + 0 (0; 1) + y (0; 2) atau dapat pula
2
x (1; 0) y (0; 1) + y (0; 2) .
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
64 / 72
Contoh Lain Himpunan Perentang di R2
Contoh
Tinjau ruang vektor R2 dan S = f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g. Maka
span (S)
=
=
MZI (FIF Tel-U)
span f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
65 / 72
Contoh Lain Himpunan Perentang di R2
Contoh
Tinjau ruang vektor R2 dan S = f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g. Maka
span (S)
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
span f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g
f (1; 1) +
( 1; 1) + ( 1; 0) j ; ;
De…nisi RV dan Subruang
2 Rg
Oktober – November 2015
65 / 72
Contoh Lain Himpunan Perentang di R2
Contoh
Tinjau ruang vektor R2 dan S = f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g. Maka
span (S)
=
=
=
span f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g
f (1; 1) +
f(
;
( 1; 1) + ( 1; 0) j ; ;
+ ) j ; ;
2 Rg .
2 Rg
Perhatikan bahwa setiap vektor (x; y) 2 R2 dapat ditulis sebagai
(x; y) = 0 (1; 1) + y ( 1; 1) + ( x
y) ( 1; 0) ,
contohnya ( 1; 2) =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
65 / 72
Contoh Lain Himpunan Perentang di R2
Contoh
Tinjau ruang vektor R2 dan S = f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g. Maka
span (S)
=
=
=
span f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g
f (1; 1) +
f(
;
( 1; 1) + ( 1; 0) j ; ;
+ ) j ; ;
2 Rg .
2 Rg
Perhatikan bahwa setiap vektor (x; y) 2 R2 dapat ditulis sebagai
(x; y) = 0 (1; 1) + y ( 1; 1) + ( x
y) ( 1; 0) ,
contohnya ( 1; 2) = (0) (1; 1) + (2) ( 1; 1) + ( 1) ( 1; 0). Akibatnya
span (S) =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
65 / 72
Contoh Lain Himpunan Perentang di R2
Contoh
Tinjau ruang vektor R2 dan S = f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g. Maka
span (S)
=
=
=
span f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g
f (1; 1) +
f(
;
( 1; 1) + ( 1; 0) j ; ;
+ ) j ; ;
2 Rg .
2 Rg
Perhatikan bahwa setiap vektor (x; y) 2 R2 dapat ditulis sebagai
(x; y) = 0 (1; 1) + y ( 1; 1) + ( x
y) ( 1; 0) ,
contohnya ( 1; 2) = (0) (1; 1) + (2) ( 1; 1) + ( 1) ( 1; 0). Akibatnya
span (S) = R2 . Ini berarti S = f(1; 1) ; ( 1; 1) ; ( 1; 0)g merentang (atau
membangun) R2 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
65 / 72
Himpunan Perentang untuk Pn
Pn merupakan notasi untuk ruang vektor yang vektor-vektornya berupa polinom
berderajat paling tinggi n. Sebagai contoh
P2 = a0 + a1 x + a2 x2 j a0 ; a1 ; a2 2 R .
Kita memiliki 5; 7 + x; 5 + 2x + 14x2 2 P2 .
Perhatikan bahwa setiap polinom p (x) = a0 + a1 x +
sebagai kombinasi linier
p (x) = a0 p0 (x) + a1 p1 (x) +
+ an xn dapat ditulis
+ an pn (x) ,
dengan pi (x) =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
66 / 72
Himpunan Perentang untuk Pn
Pn merupakan notasi untuk ruang vektor yang vektor-vektornya berupa polinom
berderajat paling tinggi n. Sebagai contoh
P2 = a0 + a1 x + a2 x2 j a0 ; a1 ; a2 2 R .
Kita memiliki 5; 7 + x; 5 + 2x + 14x2 2 P2 .
Perhatikan bahwa setiap polinom p (x) = a0 + a1 x +
sebagai kombinasi linier
p (x) = a0 p0 (x) + a1 p1 (x) +
+ an xn dapat ditulis
+ an pn (x) ,
dengan pi (x) = xi , i = 0; : : : ; n. Akibatnya diperoleh
Pn = span
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
66 / 72
Himpunan Perentang untuk Pn
Pn merupakan notasi untuk ruang vektor yang vektor-vektornya berupa polinom
berderajat paling tinggi n. Sebagai contoh
P2 = a0 + a1 x + a2 x2 j a0 ; a1 ; a2 2 R .
Kita memiliki 5; 7 + x; 5 + 2x + 14x2 2 P2 .
Perhatikan bahwa setiap polinom p (x) = a0 + a1 x +
sebagai kombinasi linier
p (x) = a0 p0 (x) + a1 p1 (x) +
+ an xn dapat ditulis
+ an pn (x) ,
dengan pi (x) = xi , i = 0; : : : ; n. Akibatnya diperoleh
Pn = span f1; x; : : : ; xn g .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
66 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (1)
Diberikan dua vektor ~v1 ; ~v2 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 g dapat merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 g dengan ~v1 = (1; 1; 0) dan ~v2 = (0; 1; 1)
merentang R3 ?
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
67 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (1)
Diberikan dua vektor ~v1 ; ~v2 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 g dapat merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 g dengan ~v1 = (1; 1; 0) dan ~v2 = (0; 1; 1)
merentang R3 ?
Solusi: Apabila f~v1 ; ~v2 g merentang R3 , maka setiap vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier ~v1 dan ~v2 , yaitu
~u =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
67 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (1)
Diberikan dua vektor ~v1 ; ~v2 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 g dapat merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 g dengan ~v1 = (1; 1; 0) dan ~v2 = (0; 1; 1)
merentang R3 ?
Solusi: Apabila f~v1 ; ~v2 g merentang R3 , maka setiap vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier ~v1 dan ~v2 , yaitu
~u =
(u1 ; u2 ; u3 )
MZI (FIF Tel-U)
~v1 + ~v2
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
67 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (1)
Diberikan dua vektor ~v1 ; ~v2 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 g dapat merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 g dengan ~v1 = (1; 1; 0) dan ~v2 = (0; 1; 1)
merentang R3 ?
Solusi: Apabila f~v1 ; ~v2 g merentang R3 , maka setiap vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier ~v1 dan ~v2 , yaitu
~u =
(u1 ; u2 ; u3 )
=
~v1 + ~v2
(1; 1; 0) +
(0; 1; 1) = ( ;
+ ; ).
Sehingga diperoleh SPL dalam bentuk matriks
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
67 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (1)
Diberikan dua vektor ~v1 ; ~v2 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 g dapat merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 g dengan ~v1 = (1; 1; 0) dan ~v2 = (0; 1; 1)
merentang R3 ?
Solusi: Apabila f~v1 ; ~v2 g merentang R3 , maka setiap vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier ~v1 dan ~v2 , yaitu
~u =
(u1 ; u2 ; u3 )
(0; 1; 1) = ( ;
2
3
1 0
Sehingga diperoleh SPL dalam bentuk matriks 4 1 1 5
0 1
MZI (FIF Tel-U)
=
~v1 + ~v2
(1; 1; 0) +
De…nisi RV dan Subruang
+ ; ).
2
3
u1
= 4 u2 5.
u3
Oktober – November 2015
67 / 72
Matriks diperbesar dari SPL adalah
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
68 / 72
2
1
Matriks diperbesar dari SPL adalah 4 1
0
0
1
1
3
u1
u2 5. Dengan OBE diperoleh
u3
matriks
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
68 / 72
2
3
1 0 u1
Matriks diperbesar dari SPL adalah 4 1 1 u2 5. Dengan OBE diperoleh
3 0 1 u3
2
1 0
u1
5. Ini berarti SPL memiliki solusi apabila
u3
matriks 4 0 1
0 0 u2 u1 u3
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
68 / 72
2
3
1 0 u1
Matriks diperbesar dari SPL adalah 4 1 1 u2 5. Dengan OBE diperoleh
3 0 1 u3
2
1 0
u1
5. Ini berarti SPL memiliki solusi apabila
u3
matriks 4 0 1
0 0 u2 u1 u3
u2 u1 u3 = 0, atau u2 = u1 + u3 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
68 / 72
2
3
1 0 u1
Matriks diperbesar dari SPL adalah 4 1 1 u2 5. Dengan OBE diperoleh
3 0 1 u3
2
1 0
u1
5. Ini berarti SPL memiliki solusi apabila
u3
matriks 4 0 1
0 0 u2 u1 u3
u2 u1 u3 = 0, atau u2 = u1 + u3 . Akibatnya f~v1 ; ~v2 g tidak merentang R3 ,
karena kombinasi linier dari ~v1 dan ~v2 tidak dapat menghasilkan semua vektor di
R3 . Sebagai contoh, (1; 2; 3) tidak dapat dibangun dari ~v1 dan ~v2 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
68 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (2)
Diberikan empat vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dapat
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dengan ~v1 = (1; 1; 1), ~v2 = (0; 1; 1),
~v3 = (0; 0; 1), ~v4 = (1; 2; 3) merentang R3 ?
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
69 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (2)
Diberikan empat vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dapat
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dengan ~v1 = (1; 1; 1), ~v2 = (0; 1; 1),
~v3 = (0; 0; 1), ~v4 = (1; 2; 3) merentang R3 ?
Solusi: Apabila f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g merentang R3 maka setiap vektor
~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ~v1 , ~v2 , dan
~v3 , yaitu
~u =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
69 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (2)
Diberikan empat vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dapat
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dengan ~v1 = (1; 1; 1), ~v2 = (0; 1; 1),
~v3 = (0; 0; 1), ~v4 = (1; 2; 3) merentang R3 ?
Solusi: Apabila f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g merentang R3 maka setiap vektor
~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ~v1 , ~v2 , dan
~v3 , yaitu
~u =
=
(u1 ; u2 ; u3 )
MZI (FIF Tel-U)
v1
1~
1
+
v2
2~
(1; 1; 1) +
+
v3
3~
2
+
v4
4~
(0; 1; 1) +
3
(0; 0; 1) +
4
(1; 2; 3)
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
69 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (2)
Diberikan empat vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dapat
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dengan ~v1 = (1; 1; 1), ~v2 = (0; 1; 1),
~v3 = (0; 0; 1), ~v4 = (1; 2; 3) merentang R3 ?
Solusi: Apabila f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g merentang R3 maka setiap vektor
~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ~v1 , ~v2 , dan
~v3 , yaitu
~u =
v1
1~
=
(u1 ; u2 ; u3 )
=
1
(
+
v2
2~
(1; 1; 1) +
1
+
4;
1
+
v3
3~
2
+
+
v4
4~
(0; 1; 1) +
2
+2
4;
3
1
(0; 0; 1) +
+
2
+
3
4
(1; 2; 3)
+3
4)
Sehingga diperoleh SPL dalam bentuk matriks
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
69 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (2)
Diberikan empat vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 2 R3 . Apakah f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dapat
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g dengan ~v1 = (1; 1; 1), ~v2 = (0; 1; 1),
~v3 = (0; 0; 1), ~v4 = (1; 2; 3) merentang R3 ?
Solusi: Apabila f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g merentang R3 maka setiap vektor
~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ~v1 , ~v2 , dan
~v3 , yaitu
~u =
v1
1~
=
(u1 ; u2 ; u3 )
Sehingga
2
1 0
4 1 1
1 1
1
(
=
diperoleh2 SPL
3
0 1 6 1
2
0 2 56
4 3
1 3
MZI (FIF Tel-U)
4
+
v2
2~
(1; 1; 1) +
1
+
4;
1
+
v3
3~
2
+
+
v4
4~
(0; 1; 1) +
2
+2
dalam bentuk matriks
3
3
2
u1
7
7 = 4 u2 5.
5
u3
De…nisi RV dan Subruang
4;
3
1
(0; 0; 1) +
+
2
+
3
4
(1; 2; 3)
+3
4)
Oktober – November 2015
69 / 72
Matriks diperbesar dari SPL adalah
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
70 / 72
2
1
Matriks diperbesar dari SPL adalah 4 1
1
0
1
1
0
0
1
1
2
3
3
u1
u2 5. Dengan OBE
u3
diperoleh matriks
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
70 / 72
2
1 0 0
Matriks diperbesar dari SPL adalah 4 1 1 0
1 1 31
2
1 0 0 1
u1
diperoleh matriks 4 0 1 0 1 u2 u1 5.
0 0 1 1 u3 u2
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
1
2
3
3
u1
u2 5. Dengan OBE
u3
Oktober – November 2015
70 / 72
Matriks diperbesar dari
2
1
diperoleh matriks 4 0
0
diperoleh 1 = u1 t,
MZI (FIF Tel-U)
2
1 0 0
SPL adalah 4 1 1 0
1 1 31
0 0 1
u1
1 0 1 u2 u1 5.
0 1 1 u3 u2
u1 t, dan 3
2 = u2
De…nisi RV dan Subruang
1
2
3
Jika
= u3
3
u1
u2 5. Dengan OBE
u3
4
= t 2 R, maka
u2
t.
Oktober – November 2015
70 / 72
2
3
1 0 0 1 u1
Matriks diperbesar dari SPL adalah 4 1 1 0 2 u2 5. Dengan OBE
1 1 31 3 u3
2
1 0 0 1
u1
diperoleh matriks 4 0 1 0 1 u2 u1 5. Jika 4 = t 2 R, maka
0 0 1 1 u3 u2
diperoleh 1 = u1 t, 2 = u2 u1 t, dan 3 = u3 u2 t. Ini berarti
f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g merentang R3 . Sebagai contoh, bila ~u = (1; 2; 3), maka dapat
diperoleh ~u =
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
70 / 72
2
3
1 0 0 1 u1
Matriks diperbesar dari SPL adalah 4 1 1 0 2 u2 5. Dengan OBE
1 1 31 3 u3
2
1 0 0 1
u1
diperoleh matriks 4 0 1 0 1 u2 u1 5. Jika 4 = t 2 R, maka
0 0 1 1 u3 u2
diperoleh 1 = u1 t, 2 = u2 u1 t, dan 3 = u3 u2 t. Ini berarti
f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g merentang R3 . Sebagai contoh, bila ~u = (1; 2; 3), maka dapat
diperoleh ~u = 1 (1; 1; 1) + 1 (0; 1; 1) + 1 (0; 0; 1) + 0 (1; 2; 3).
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
70 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (3)
Diberikan tiga vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 2 R3 . Syarat apa yang diperlukan agar ~v1 ; ~v2 ; ~v3
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 g dengan ~v1 = (1; 1; 2), ~v2 = (1; 0; 1),
~v3 = (2; 1; 3) merentang R3 .
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
71 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (3)
Diberikan tiga vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 2 R3 . Syarat apa yang diperlukan agar ~v1 ; ~v2 ; ~v3
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 g dengan ~v1 = (1; 1; 2), ~v2 = (1; 0; 1),
~v3 = (2; 1; 3) merentang R3 .
Solusi:
Perhatikan bahwa jika ~v1 ; ~v2 ; ~v3 merentang R3 maka
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
71 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (3)
Diberikan tiga vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 2 R3 . Syarat apa yang diperlukan agar ~v1 ; ~v2 ; ~v3
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 g dengan ~v1 = (1; 1; 2), ~v2 = (1; 0; 1),
~v3 = (2; 1; 3) merentang R3 .
Solusi:
Perhatikan bahwa jika ~v1 ; ~v2 ; ~v3 merentang R3 maka setiap vektor
~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier ~v1 ; ~v2 ; ~v3 , atau
dengan perkataan lain terdapat 1 ; 2 ; 3 2 R yang memenuhi
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
71 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (3)
Diberikan tiga vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 2 R3 . Syarat apa yang diperlukan agar ~v1 ; ~v2 ; ~v3
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 g dengan ~v1 = (1; 1; 2), ~v2 = (1; 0; 1),
~v3 = (2; 1; 3) merentang R3 .
Solusi:
Perhatikan bahwa jika ~v1 ; ~v2 ; ~v3 merentang R3 maka setiap vektor
~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier ~v1 ; ~v2 ; ~v3 , atau
dengan perkataan lain terdapat 1 ; 2 ; 3 2 R yang memenuhi
~u =
(u1 ; u2 ; u3 )
v1
1~
=
=
1
(
+
v2
2~
+
(1; 1; 2) +
1
+
2
+2
v3
3~
2
(1; 0; 1) +
3;
1
+
3
3; 2 1
(2; 1; 3)
+
2
+3
3)
Sehingga diperoleh SPL dalam bentuk matriks
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
71 / 72
Himpunan Perentang untuk R3 (3)
Diberikan tiga vektor ~v1 ; ~v2 ; ~v3 2 R3 . Syarat apa yang diperlukan agar ~v1 ; ~v2 ; ~v3
merentang R3 ?
Latihan
Periksa apakah himpunan f~v1 ; ~v2 ; ~v3 g dengan ~v1 = (1; 1; 2), ~v2 = (1; 0; 1),
~v3 = (2; 1; 3) merentang R3 .
Solusi:
Perhatikan bahwa jika ~v1 ; ~v2 ; ~v3 merentang R3 maka setiap vektor
~u = (u1 ; u2 ; u3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier ~v1 ; ~v2 ; ~v3 , atau
dengan perkataan lain terdapat 1 ; 2 ; 3 2 R yang memenuhi
~u =
(u1 ; u2 ; u3 )
v1
1~
=
=
1
v2
2~
+
(1; 1; 2) +
1
+
2
+2
v3
3~
2
3;
(1; 0; 1) +
+
2
1
Sehingga diperoleh SPL dalam bentuk matriks 4 1
2
MZI (FIF Tel-U)
(
+
1
De…nisi RV dan Subruang
3
3; 2 1
1
0
1
(2; 1; 3)
+ 2 + 3 3)
32
3 2
2
1 54
3
1
2
3
3
u1
5 = 4 u2 5
u3
Oktober – November 2015
71 / 72
Kita dapat menyelesaikan permasalahan ini dengan dua cara:
Cara 1:
Matriks diperbesar untuk SPL adalah
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
72 / 72
Kita dapat menyelesaikan permasalahan ini
Cara 1:
2
1
Matriks diperbesar untuk SPL adalah 4 1
2
dengan dua cara:
3
1 2 u1
0 1 u2 5. Dengan OBE
1 3 u3
diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
72 / 72
Kita dapat menyelesaikan permasalahan ini dengan dua cara:
Cara 1:
2
3
1 1 2 u1
Matriks diperbesar untuk SPL adalah 4 1 0 1 u2 5. Dengan OBE
2 3 1 3 u3
2
1
1
2
u1
5. SPL memiliki solusi apabila
1
1
u2 u1
diperoleh 4 0
0
0
0 u3 u2 u1
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
72 / 72
Kita dapat menyelesaikan permasalahan ini dengan dua cara:
Cara 1:
2
3
1 1 2 u1
Matriks diperbesar untuk SPL adalah 4 1 0 1 u2 5. Dengan OBE
2 3 1 3 u3
2
1
1
2
u1
5. SPL memiliki solusi apabila
1
1
u2 u1
diperoleh 4 0
0
0
0 u3 u2 u1
u3 u2 u1 = 0 atau u3 = u2 + u1 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
72 / 72
Kita dapat menyelesaikan permasalahan ini dengan dua cara:
Cara 1:
2
3
1 1 2 u1
Matriks diperbesar untuk SPL adalah 4 1 0 1 u2 5. Dengan OBE
2 3 1 3 u3
2
1
1
2
u1
5. SPL memiliki solusi apabila
1
1
u2 u1
diperoleh 4 0
0
0
0 u3 u2 u1
u3 u2 u1 = 0 atau u3 = u2 + u1 . Akibatnya f~v1 ; ~v2 ; ~v3 g tidak merentang R3
karena kombinasi linier dari ~v1 ; ~v2 ; ~v3 tidak dapat menghasilkan semua vektor di
R3 . Sebagai contoh, (1; 2; 0) tidak dapat dibangun dari ~v1 dan ~v2 .
Cara 2:
Perhatikan bahwa
1
1
2
MZI (FIF Tel-U)
1
0
1
2
1
3
=
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
72 / 72
Kita dapat menyelesaikan permasalahan ini dengan dua cara:
Cara 1:
2
3
1 1 2 u1
Matriks diperbesar untuk SPL adalah 4 1 0 1 u2 5. Dengan OBE
2 3 1 3 u3
2
1
1
2
u1
5. SPL memiliki solusi apabila
1
1
u2 u1
diperoleh 4 0
0
0
0 u3 u2 u1
u3 u2 u1 = 0 atau u3 = u2 + u1 . Akibatnya f~v1 ; ~v2 ; ~v3 g tidak merentang R3
karena kombinasi linier dari ~v1 ; ~v2 ; ~v3 tidak dapat menghasilkan semua vektor di
R3 . Sebagai contoh, (1; 2; 0) tidak dapat dibangun dari ~v1 dan ~v2 .
Cara 2:
Perhatikan bahwa
1
1
2
akibatnya nilai
MZI (FIF Tel-U)
1;
2;
3
1
0
1
2
1
3
= 0,
tidak selalu ada untuk setiap pilihan ~u 2 R3 .
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
72 / 72
Kita dapat menyelesaikan permasalahan ini dengan dua cara:
Cara 1:
2
3
1 1 2 u1
Matriks diperbesar untuk SPL adalah 4 1 0 1 u2 5. Dengan OBE
2 3 1 3 u3
2
1
1
2
u1
5. SPL memiliki solusi apabila
1
1
u2 u1
diperoleh 4 0
0
0
0 u3 u2 u1
u3 u2 u1 = 0 atau u3 = u2 + u1 . Akibatnya f~v1 ; ~v2 ; ~v3 g tidak merentang R3
karena kombinasi linier dari ~v1 ; ~v2 ; ~v3 tidak dapat menghasilkan semua vektor di
R3 . Sebagai contoh, (1; 2; 0) tidak dapat dibangun dari ~v1 dan ~v2 .
Cara 2:
Perhatikan bahwa
1
1
2
1
0
1
2
1
3
= 0,
akibatnya nilai 1 ; 2 ; 3 tidak selalu ada untuk setiap pilihan ~u 2 R3 . Jadi
~v1 ; ~v2 ; ~v3 tidak merentang R3 .
MZI (FIF Tel-U)
De…nisi RV dan Subruang
Oktober – November 2015
72 / 72