vektor - Staffsite STIMATA

1
VEKTOR
A.
Definisi vektor
Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan
untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain – lain.
Namun, ada beberapa sebaran yang harus menyertakan arah untuk mendeskripsikan
sebaran itu secara lengkap. Misal, kecepatan kereta api. Untuk mendeskripsikan kecepatan
kereta api perlu disertakan juga ke arah mana perpindahan kereta api. Tanpa informasi
mengenai arah pergerakan / perpindahan kereta api, informasi yang diperoleh menjadi
kurang bermakna.
Dalam ilmu Fisika, besaran dapat dikelompokkan menjadi:
a) Besaran skalar
Misal
b) Besaran vektor
Misal
: besaran yang dinyatakan besarnya saja
: massa, waktu, suhu, dan lain – lain
: besaran yang tergantung pada arah
: kecepatan, gaya, dan lain – lain
Perpindahan adalah perubahan posisi dari suatu titik. Perpindahan posisi dari titik A
ke B mengandung beberapa makna:
a) berapa jauh perpindahannya (jarak)
b) ke arah mana perpindahannya
Perpindahan dari titik A ke titik B dapat digambarkan dalam bentuk garis dengan
pangkal di A dan ujung di B. Panjang ruas garis itu dilambangkan dengan ̅̅̅̅ yang
menyatakan arah perpindahan, sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan.
Gambar 1.1
Gambar 1.2
Gambar 1.3
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
Sebuah benda bergerak dari titik A menuju B melewati sebuah lintasan melengkung
(Gambar 1.1). Garis terpendek (lurus) dari A ke B pada Gambar 1.2 menunjukkan vektor
perpindahan gerak yang diberi nama R (Gambar 1.3).
Ada beberapa cara untuk menuliskan vektor:
a) dengan huruf tebal R atau r
b) dengan tanda ⃗ atau
Vektor digambarkan dalam sebuah anak panah. Panjang anak panah menunjukkan besar
vektor, sedangkan arah anak panah menunjukkan arah vektor.
R
-r
-R
Gambar 1.4
Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis
berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah
vektor. Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misal ⃗⃗⃗⃗⃗ atau . Untuk vektor
⃗⃗⃗⃗⃗ , titik P disebut titik pangkal (titik asal) sedangkan Q disebut titik ujung (titik terminal).
B.
Kesamaan Dua Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika ⃗⃗⃗⃗⃗
garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis PQ, maka ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ : ruas
⃗⃗⃗⃗⃗ . Jadi, sebuah vektor dapat
digeser ke tempat lain dan tidak berubah asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan
kedudukan vektor semula.
Jika dua buah vektor arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Maka salah satu vektor
dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Misal, ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
2
Jika ⃗⃗⃗⃗⃗ sama panjang dengan ⃗⃗⃗⃗⃗ tapi arahnya berlawanan. Dua buah vektor itu disebut
berlawanan. ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor
yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Misal, ⃗⃗⃗⃗⃗
C.
Panjang Vektor
Jika vektor ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
(
) maka besar panjang vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
D.
⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗ |
√
Jarak Antara Dua Vektor
Diberikan titik ⃗
(
) dan titik ⃗
( ) , maka jarak antara titik A dan B adalah
panjang vektor |⃗⃗⃗⃗⃗ | yaitu
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
( )
(
)
(
)
Sehingga panjang vector ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
E.
√
Operasi Aljabar pada Vektor
Diketahui a dan b vektor – vektor di ruang komponen – komponennya adalah ̅
dan ̅
maka
̅
̅
̅
̅
̅
Jika ̅
di mana titik koordinat
dan
maka
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
3
4
̅
F.
Penjumlahan Vektor
Ada dua metode dalam penjumlahan vektor:
a. Metode jajaran genjang
Vektor hasil (resultan) yaitu a + b diperoleh dari diagonaljajaran genjang yang
dibentuk oleh a dan b setelah titik awal ditempatkan berimpit.
b. Metode segitiga
Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik ujung
vektor yang lainnya, maka resultan vektor bertitik awal di a dan bertitik ujung di titik
ujung b.
Metode segitiga baik sekali untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor.
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
G.
5
Perkalian Vektor
1. Perkalian vektor dan skalar
Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian skalar ka
menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a, dan arahnya sama dengan
arah a bila k positif dan berlawanan dengan a bila k negative. Jika k=0 maka ka = 0,
disebut vektor nol yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berhimpit.
2. Perkalian vektor dan vektor
a. Perkalian titik
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya
Diketahui a dan b vektor – vektor di ruang komponen – komponennya adalah
dan ̅
̅
maka
̅ ̅
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut antara dua
vektor
Diketahui ̅ dan ̅ adalah dua buah vektor dengan panjang masing – masing ‖ ̅‖ dan
‖ ̅ ‖ sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah . Hasil kali
titik antara vektor ̅ dan ̅ didefinisikan sebagai:
‖̅‖‖̅‖
̅ ̅
[
,
]
b. Perkalian silang antara dua vector di R3
dan ̅
Diketahui ̅
̅
̅
H.
̅
|
̅
|
maka:
̅
|
| ̅
|
̅
| ̅
|
|̅
̅
Bebas Linier dan Tak Bebas Linier
Definisi 1:
Misal {
}adalah himpunan m vektor yang memiliki n komponen untuk tiap –
tiap vektor, sehingga
. Himpunan vektor tersebut dikatakan tak
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
bebas linier jika dan hanya jika terdapat himpunan skalar {
} dengan
setidaknya terdapat sebuah skalar yang tidak nol, sedemikian sehingga
∑
Jika
hanya
himpunan
{
skalar
}
yang
memenuhi
∑
maka himpunan vektor disebut bebas linier.
Contoh:
[
1. Ambil dua buah vektor
dan
],
[
sedemikian sehingga
]. Untuk mendefinisikan skalar
berlaku:
[
]
Diperoleh
[ ]
[ ]
3
Satu – satunya solusi adalah
dan
sehingga kedua vektor di atas bebas
linier.
2. Diketahui dua buah vektor
[
],
[
[ ]
Diperoleh
[
]
].
[ ]
3
Solusi sistem persamaan iniadalah
sehingga kedua vektor di atas tak
bebas linier.
I.
Kombinasi Linier
Vektor ̅ dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor ̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅ jika ̅ dapat
dinyatakan sebagai:
̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
6
Contoh:
Diketahui ̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
. Apakah ̅̅̅ merupakan kombinasi
linier dari ̅̅̅ dan ̅̅̅ ?
Jawab:
̅̅̅
* +
Diperoleh
̅̅̅
* +
̅̅̅
*
+
sehingga diperoleh
merupakan kombinasi linier dari ̅̅̅ dan ̅̅̅ yaitu ̅̅̅
̅̅̅
dan
. Jadi, ̅̅̅
̅̅̅
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
7