bahan ajar - eLisa UGM

Bab 1 Vektor
A. Pendahuluan
Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii
lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan
pengetahuan tentang vektor, mecakup gradien skalar, divergensi dan rotasi vektor, integral
garis, integral permukaan, teorema Stokes, teorema divergensi Gauss, dan penyajiannya
dalam beragam sistem koordinat. Oleh karena itu, sebelum membahas tentang masalah
kelistrikan dan kemagnetan dalam mata kuliah ini, pokok bahasan tentang vector ini perlu
diberikan terlebih dahulu. Meskipun materi yang ada dalam pokok bahasan ini cukup banyak
materi ini diharapkan dapat diselesaikan dalam waktu yang relatif cukup singkat. Hal ini
demikian karena mata kuliah-mata kuliah yang menjadi prasyarat mata kuliah ini semestinya
sudah menyediakan pengetahuan yang cukup, khususnya tentang vektor, untuk dapat
mengikuti mata kuliah ini dengan baik; jadi ini hanya sebagai semacam review.
Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat mengkalkulasi
gradien skalar, divergensi dan rotasi suatu vektor, integral garis dan integral permukaan,
serta menggunakan teorema divergensi dan teorema Stokes, dapat menyatakan hubunganhubungan antara sistem-sistem koordinat Cartesian, Silinder dan Bola, dapat menyatakan
suatu vektor, vektor letak, elemen volume, gradien skalar, divergensi dan rotasi vektor, serta
Laplacian dalam ketiga sistem koordinat tersebut.
B. Penyajian
1.1 Definisi Vektor, Vektor Satuan, dan Komponen Vektor
Definisi Vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki nilai (magnitude) dan arah (direction).
Di sini, vektor dilambangkan oleh sebuah huruf atau karakter dengan tanda panah di
atasnya, seperti ⃗, yang besar atau nilainya ditulis sebagai | ⃗| = A. Sebuah vektor
digambarkan sebagai sebuah anak panah (Gambar 1.1). Contoh besaran vektor: medan
listrik ⃗⃗ , medan magnet ⃗⃗, gaya ⃗ , dll.
Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai, seperti massa benda m.
Universits Gadjah Mada
1
Gambar 1.1 Sebuah vektor ⃗ digambar sebagai sebuah anak panah.
Dua buah vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki nilai dan arah yang sama.
Vektor negatif
⃗ (atau negatif vektor ⃗) adalah vektor yang sama besar tetapi berlawanan
arah dengan vektor ⃗.
Vektor-vektor patuh pada aturan penjumlahan seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.2, yang
menunjukkan bahwa
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
(1-1)
Pengurangan vektor dengan vektor lainnya tidak lain adalah penjumlahan vektor dengan
negative vektor lain tadi (Gambar 4), yaitu
⃗
⃗⃗
⃗
( ⃗⃗)
(1-2)
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu (tanpa satuan); sebagai contoh ditulis
sebagai ̂ (besarnya | ̂ | =1), yaitu vektor satuan dalam arah vektor ⃗ (Gambar 1.4). Dengan
demikian:
Universits Gadjah Mada
2
Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat Cartesian (SKC) di sini adalah ̂, ̂, dan ̂
berturut-turut dalam arah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z positif.
Komponen Vektor
Jika vektor ⃗ digambar dalam SKC (Gambar 1.5), maka ia dapat ditulis sebagai
atau
Di sini ⃗
sedangkan
̂ ,⃗
,
, dan
̂, dan ⃗
̂ adalah vektor-vektor komponen dari vektor ⃗;
disebut komponen-komponen vektor ⃗.
Besar (nilai) vektor ⃗ dinyatakan dengan komponen-komponennya:
Universits Gadjah Mada
3
Sudut Arah Vektor
Sebuah vektor ⃗ dalam SKC membetuk sudut-sudut α, β, dan  berturut-turut terhadap
sumbu-sumbu x, y dan z (Gambar 1.6.a). Sudut-sudut α, β, dan  ini disebut sudut arah
vektor ⃗. Gambar 1.6.b memperlihatkan bidang yang dibentuk oleh vektor ⃗ dengan sumbu
x, sudut arah α, serta komponen Ax (gambar serupa untuk bidang-bidang yang dibentuk oleh
vektor ⃗ dengan sumbu x dan sumbu y).
Dari Gambar 1 .6.b diperoleh cosinus-cosinus arah vektor ⃗:
sehingga berlaku hubungan:
Dapat ditulis bahwa:
Universits Gadjah Mada
4
Komponen-komponen vektor satuan merupakan cosinus-cosinus arah vektor.
Penjumlahan Vektor dalam SKC
Ditinjau jumlahan vektor ⃗
⃗⃗
⃗ dalam bidang xy (2 dimensi), seperti ditunjukkan oleh
Gambar 1.7. Vektor hasil jumlahan:
Dengan
Untuk penjumlahan dalam 3 dimensi:
dengan
Universits Gadjah Mada
5
1.2 Vektor Letak
Vektor letak ( sering ditulis sebagai ⃗) menunjukkan letak suatu titik di dalam ruang (sistem
koordinat), berpangkal di titik asal O dan berujung di titik yang ditinjau.
Anggap bahwa di dalam sistem koordinat Cartesian (lihat Gambar 1.8):
- letak titik P(x, y, z)
:⃗
- letak titik P(x, y, z)
:⃗
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Vektor letak P relative terhadap P (Gambar 1.8):
atau
Jarak antara P dan P adalah
Vektor letak P relative terhadap P adalah
Jadi diperoleh bahwa
Universits Gadjah Mada
6
1.3 Perkalian dengan Vektor
Perkalian Skalar dengan Vektor
Perkalian skalar s dengan vektor ⃗, ditulis sebagai s ⃗ atau ⃗s, merupakan jumlahan s buah
vektor ⃗, yaitu sebuah vektor yang besarnya | | kali | ⃗|, arahnya sama dengan arah ⃗ jika s
positif, berlawanan arah dengan arah ⃗ jika s negatif.
Perkalian Titik (Dot Product)
Perkalian titik atau dot product disebut juga sebagai perkalian skalar atau scalar product,
yaitu perkalian dua vektor yang menghasilkan sebuah skalar.
Perkalian titik antara vektor-vektor ⃗ dan ⃗⃗ didefinisikan sebagai
dengan
adalah sudut kecil yang dibentuk oleh kedua vektor ⃗ dan ⃗⃗ (lihat Gambar 1.9).
Berlaku bahwa ⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗
Jika ⃗ dan ⃗⃗ saling tegak lurus (ortogonal), maka ⃗ ⃗⃗
Perkalian titik suatu vektor dengan dirinya sendiri : ⃗ ⃗
⃗
Perkalian titik antara vektor-vektor satuan dalam SKC:
sehingga
Universits Gadjah Mada
7
Jika ̂ adalah vektor satuan dalam suatu arah, dan Ae adalah komponen vektor ⃗ dalam arah
tersebut, maka berlaku bahwa (lihat Gambar 1.10)
Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian silang atau cross product disebut juga perkalian vektor atau vector product, yaitu
perkalian dua vektor yang menghasilkan vektor baru.
Perkalian silang antara vektor-vektor ⃗ dan ⃗⃗ didefinisikan sebagai
dengan
dengan
adalah sudut kecil yang dibentuk oleh kedua vektor ⃗ dan ⃗⃗ (lihat Gambar 1.11)
dan vektor ⃗ memiliki arah yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua
vektor ⃗ dan ⃗⃗ sesuai dengan “aturan tangan kanan”; Nilai AB sin
ini sama dengan luas
jajaran genjang dengan sisi-sisi vektor ⃗ dan ⃗⃗.
Universits Gadjah Mada
8
Berlaku bahwa
Jika ⃗ searah dengan ⃗⃗,maka ⃗
Jadi ⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗.
⃗⃗
Perkalian silang antara vektor-vektor satuan dalam SKC:
Sehingga
Yang dapat diungkapkan dalam bentuk determinan sebagai
Berlaku pula :
1.4 Diferensiasi Vektor terhadap Skalar
Suatu vektor ⃗ sebagai fungsi kontinyu dari variabel skalar s dapat ditulis sebagai
Universits Gadjah Mada
9
Diferensial (turunan) ⃗ terhadap s:
Sebagai contoh:
- vektor letak sebagai fungsi waktu : ⃗( )
- kecepatan : ⃗( )
⃗( )
( )
̂
( )
( )̂
̂
( )
( )̂
( ) ̂
̂
Dapat ditulis bahwa:
1.5 GradienSkalar
Ditinjau besaran skalar u sebagai fungsi letak: u = u(x, y, z);
Besaran skalar ini disebut medan skalar contoh: suhu ruangan.
Anggap bahwa (Gambar 1.12):
-
Di titik P(x, y, z), nilai skalar u adalah u(x, y, z);
-
Di titik lain P(x,y,z), dengan x = x + dx, y = y + dy, z = z + dz, nilai skalar u adalah
u(x,y,z) = u(x ,y ,z) + du
Jadi, dari titik P ke titik P ada pergeseran ⃗⃗⃗⃗⃗ yang menyebabkan perubahan scalar dari u
menjadi u = u + du. Kenyataannya du dapat diungkapkan sebagai
Dengan diferensial parsial dievaluasi di titik P.
Di lain pihak
Universits Gadjah Mada
10
Dengan demikian dapat ditulis bahwa
Dengan
Persamaan (1-34), yaitu ungkapan
, disebut gradien skalar u, atau singkatnya gradien u
(grad u), yang definisi umumnya diberikan oleh persamaan (1-33); ia memiliki sifat sebagai
vektor.
Jadi, gradien skalar merupakan besaran yang akan memberikan perubahan skalar jika di”dot”-kan dengan pergeseran.
Ditinjau suatu permukaan dengan nilai u tetap. Pergeseran ⃗⃗⃗⃗⃗ sepanjang permukaan ini
tidak mengubah nilai skalar u (du = 0) (lihat Gambar 1.13).
Dengan demikian
Jadi,
⃗⃗⃗⃗⃗
. berarti ⃗⃗⃗⃗⃗ tegak lurus terhadap
.
tegak lurus terhadap permukaan yang memiliki u tetap.
Universits Gadjah Mada
11
Sekarang dianggap pergeseran ⃗⃗⃗⃗⃗ membentuk sudut
|
Gambar 1.14, maka
yaitu jika ⃗⃗⃗⃗⃗ searah dengan
|
terhadap
seperti ditunjukkan oleh
. Dengan demikian, du akan maksimum jika
= 0,
yang tegak lurus terhadap permukaan dengan u tetap.
Jadi, arah gradien skalar menunjukkan arah ke mana laju perubahan skalar bernilai
maksimum.
Ditinjau sebagai contoh u = y2 – x.
Dapat ditulis bahwa y2 = x + u, yaitu parabola-parabola dengan u tetap.
Untuk
:
Untuk
:
Untuk
:
Ketiga parabola ini ditunjukkan oleh Gambar 1.15.
Vektor satuan ̂ yang tegak lurus suatu permukaan di suatu titik disebut vektor normal.
Mengingat bahwa
juga tegak lurus permukaan dengan u tetap, maka ̂ searah dengan
, dan kita dapat menuliskan bahwa
Vektor normal permukaan parabola dengan u = -2 adalah
Dan di titik (3,1) adalah
Universits Gadjah Mada
12
Jadi, terlihat pada Gambar 1.15, bahwa arah
(searah dengan ̂) menuju ke skalar u yang
lebih besar (lebih positif).
1.6 Divergensi dan Rotasi Vektor
Komponen-komponen vektor ⃗ dapat bergantung pada letak, misalnya Ax = Ax(x, y, z). Jadi,
⃗ dapat berbeda arah dan/atau besarnya di tempat-tempat yang berbeda. Ditulis :
dengan ⃗ adalah vektor letak. Vektor ⃗ ini disebut medan vektor.
Dari persamaan (1-34) diperoleh operator nabla atau operator del:
yang memiliki sifat vektor.
Yang dinamakan sebagai divergensi ⃗ (atau ditulis juga sebagai div ⃗) adalah
sedangkan rotasi ⃗ (atau ditulis juga sebagai curl ⃗ atau rot ⃗ ) adalah
atau dalam bentuk determinan:
Operator Laplacian:
bekerja pada skalar:
bekerja pada vektor:
Universits Gadjah Mada
13
Berlaku pula
1.7 Integral Garis
Dibayangkan kita bergerak dari titik awal Pi(xi ,yi, zi) ke titik Pf(xf, yf, zf) melalui lintasan
sepanjang kurva C di dalam medan vektor ⃗ (Gambar 1.16). Lintasan ini dapat dipandang
sebagai jumlahan sejumlah vektor pergeseran infinitesimal ⃗⃗⃗⃗⃗ sepanjang kurva C.
Integral garis ⃗ sepanjang kurva C merupakan hasil evaluasi vektor ⃗ di tiap ⃗⃗⃗⃗⃗, yaitu
komponen ⃗ sepanjang ⃗⃗⃗⃗⃗ dikalikan dengan
|⃗⃗⃗⃗⃗| , tidak lain adalah A cos ds = ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗,
kemudian semuanya dijumlahkan; ini ditulis sebagai:
Jika lintasan integrasi berupa kurva tertutup, seperti lingkaran, titik awal berimpit dengan titik
akhir, maka integral garis ditulis sebagai:
yang disebut sirkulasi ⃗, dapat bernilai nol atau tak nol bergantung pada ⃗. Jika ⃗ adalah
vektor letak tiap titik pada kurva C, maka ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗, sehingga
Perhatian:
Di sini, dx, dy, dan dz tidaklah saling bebas karena x, y, dan z dihubungkan oleh persamaan
lintasan (kurva C); demikian juga dengan Ax, Ay, dan Az.
Contoh:
Diketahui medan vektor : ⃗
̂
̂
̂ , dan lintasan berupa parabola
antara
Universits Gadjah Mada
14
(0,0,0) dan (2, √ ,0). Dengan demikian, lintasan terletak di bidang xy, yaitu bidang z = 0, dan
berarti z tetap atau dz =0, sehingga
Karena
, maka
dan
, sehingga
1.8 Integral Permukaan
Sebelum membahas tentang integral permukaan, bahasan tentang vektor elemen luasan
perlu diuraikan terlebih dahulu.
Vektor Elemen Luasan
Pada Gambar 1.17, da adalah elemen luasan infinitesimal sedemikian sehingga berbentuk
datar (tidak harus horisontal). Vektor elemen luasan ini adalah
Dengan ̂ adalah vektor normal elemen luasan da. Ada dua arah ̂ yang mungkin yang
saling berlawanan sehingga perlu ada kesepakatan; ada 2 kasus.
Kasus I
da merupakan bagian dari suatu permukaan terbuka yang dibatasi oleh kurva tertutup C.
Dalam kasus ini kita perlu “memilih” atau “menentukan” arah lintasan pada kurva C tersebut,
kemudian menggunakan aturan tangan kanan untuk menentukan arah ̂ (Gambar 1.18).
Universits Gadjah Mada
15
Kasus II: da merupakan bagian dari suatu permukaan tertutup. Dalam hal ini tidak ada kurva
C; permukaan ini membagi ruang menjadi “dalam” dan “luar”. Arah ̂ senantiasa dipilih dari
“dalam” ke “luar”.
Jika ungkapan ⃗⃗⃗⃗⃗
̂
dan ̂
̂
̂
̂ digabung, maka dapat ditulis
bahwa
dengan
-
adalah komponen-x dari
adalah komponen-y dari
adalah komponen-z dari
⃗, proyeksi da pada bidang yz;
⃗, proyeksi da pada bidang xz;
⃗, proyeksi da pada bidang xy.
Dapat ditunjukkan bahwa:
(“+“ digunakan jika
< 90, “-“ jika
(“+“ digunakan jika
< 90°, “-“ jika
> 90°),
(“+“ digunakan jika
< 90°, “-“ jika
> 90°).
> 90°),
(1-50)
Integral Permukaan
Ditinjau suatu permukaan S yang berada di dalam medan vektor ⃗ (Gambar 1.19). Elemen
luasan pada permukaan ini adalah da; vektor elemen luasannya adalah
⃗
̂
.
Universits Gadjah Mada
16
Di tiap elemen luasan da pada S, komponen ⃗ dalam arah
dengan
⃗, yaitu A cos
, dikalikan
| ⃗|, kemudian semuanya dijumlahkan, hasilnya disebut sebagai integral
permukaan ⃗ pada S ; ditulis:
Integral permukaan ini disebut juga sebagai fluks ⃗ yang melewati permukaan S. Jika
permukaan S merupakan permukaan tertutup, maka integral permukaan ditulis sebagai
yang dapat bernilai nol atau tak nol bergantung pada ⃗.
Dalam SKC, ⃗
̂
̂
̂ dan
⃗
̂
̂
̂ , sehingga
Ingat: dx, dy, dan dz tidak saling bebas, demikian juga dengan
,
, dan
.
Contoh:
Diketahui permukaan S berupa seperempat piringan Iingkaran berjejari b yang berpusat di O
(titik asal SKC) di kuadran I pada bidang xy berada dalam medan vektor ⃗
̂
̂
̂ , seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.20.
Persamaan lingkaran ini adalah
.
Permukaan S pada bidang xy, maka ̂ dapat merupakan
̂ atau
̂ . Anggap dipilih ̂ =
maka da = daz = dxdy. Dengan demikian, integral permukaan:
Universits Gadjah Mada
17
̂,
1.9 Teorema Divergensi Gauss dan Teorema Stokes
Teorema Divergensi Gauss
Ditinjau suatu ruang V (volumenya V) yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S
(contoh: bola, kubus, dli) berada dalam medan vektor ⃗.
Teorema divergensi Gauss diungkapkan secara matematik sebagai
dengan
adalah elemen volume.
Teorema ini menghubungkan integral permukaan suatu medan vektor dengan integral
volume divergensi medan vektor tersebut.
Integral permukaan hanya bergantung pada nilai
memerlukan pengetahuan tentang
⃗ di permukaan; integral volume
⃗, bukan tentang ⃗ di seluruh volume.
Teorema ini berlaku juga untuk ruang yang dibatasi oleh lebih dari satu permukaan tertutup.
Teorema Stokes
Ditinjau suatu permukaan terbuka S sembarang yang dibatasi oleh suatu kurva tertutup C
berada dalam medan vektor ⃗ (Gambar 1.21). Teorema Stokes diungkapkan secara
matematik sebagai:
Teorema ini menghubungkan integral garis suatu medan vektor pada suatu lintasan tertutup
dengan integral permukaan rotasi medan vektor tersebut pada permukaan yang dibatasi
oleh lintasan tertutup tersebut.
Arah
⃗ ditentukan oleh arah lintasan pada kurva C dan dengan menggunakan aturan
tangan kanan.
Untuk kurva-kurva tertutup C yang sama dan permukaan-permukaan S1 dan S2 yang
berbeda, maka
Universits Gadjah Mada
18
Teorema ini berlaku juga untuk permukaan yang dibatasi oleh lebih dari satu kurva tertutup;
contoh permukaan yang dibatasi oleh dua kurva tertutup ditunjukkan oleh Gambar 1.22.
1.10
Vektor dalam Sistem Koordinat Silinder dan Bola
Vektor dalam Sistem Koordinat Silinder (SKS)
Letak titik dalam SKS ditentukan oleh koordinat (
). Hubungan SKS dengan SKC
ditunjukkan oleh Gambar 1.23
Variabel
merupakan jarak dari sumbu z.
Variabel
merupakan sudut m( Ukur dari sumbu x positif).
Variabel
merupakan jarak dari bidang xy.
Hubungan koordinat SKS dengan koordinat SKC:
Universits Gadjah Mada
19
Vector-vektor satuan dalam SKS, yaitu ̂ ̂ dan ̂ saling tegak lurus:
Arah ̂ senantiasa tetap, sedangkan arah ̂ dan ̂ berbeda-beda di titik-titik yang berbeda.
Hubungan vector-vektor satuan dalam SKS dan SKC:
Diferensial vektor satuan dalam SKS:
Dalam SKS, ungkapan suatu vektor ⃗ adalah
sedangkan ungkapan vektor letak adalah
Ungkapan vektor pergeseran infinitesimal adalah ⃗
Jika medan skalar
Mengingat bahwa
(
̂
̂
̂ atau
), maka
⃗
⃗
, maka gradien skalar dalam SKS:
dan operator nabla dalam SKS:
Universits Gadjah Mada
20
Komponen-komponen vector elemen luasan dalam SKS :
Elemen volume dalam SKS (Gambar 1.24)
Volume total:
Divergensi vektor ⃗ dalam SKS:
Rotasi vektor ⃗ dalam SKS:
Laplacian dalam SKS:
Vektor dalam Sistem Koordinat Bola (SKB)
Letak titik dalam SKB ditentukan oleh koordinat (
). Hubungan SKB dengan SKC
ditunjukkan oleh Gambar 1.25.
Variabel r adalah jarak dari pusat sistem koordinat.
`
Variabel
adalah sudut yang diukur dari sumbu z positif
Variabel
adalah sudut yang diukur dari sumbu x positif
Universits Gadjah Mada
21
Hubungan koordinat SKB dengan koordinat SKC :
Vektor-vektor satuan dalam SKB, yaitu ̂ , ̂, dan ̂, saling tegak lurus:
Arah masing-masing vektor satuan ̂ , ̂, dan ̂ berbeda-beda di titik-titik yang berbeda.
Hubungan vektor-vektor satuan dalam SKB dan SKC:
Universits Gadjah Mada
22
Diferensial vektor-vektor satuan dalam SKB:
Dalam SKB, ungkapan suatu vektor ⃗ adalah
Sedangkan ungkapan vektor letak adalah
Ungkapan vektor pergeseran infinitesimal adalah ⃗
̂
̂ , atau
Komponen-komponen vektor elemen luasan dalam SKB:
Elemen volume dalam SKB (Gambar 1.26):
Universits Gadjah Mada
23
Volume total
(
Jika medan skalar
) maka
⃗
Mengingat bahwa
⃗
, maka gradien skalar dalam SKS:
dan operator nabla dalam SKB:
Divergensi vektor ⃗ dalam SKB:
Rotasi vektor ⃗ dalam SKB:
Laplacian dalam SKB:
C. Penutup
Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan soalsoal latihan berikut ini.
1. Carilah vektor letak relatif ⃗⃗ titik P(2, -2, 3) terhadap titik P(-3, 1, 4)! Tentukan sudutsudut arah ⃗⃗ !
2. Diketahui
⃗
̂
sepanjang arah ⃗
̂
̂
̂
̂
dan
⃗⃗
̂
̂
̂.
Carilah komponen
⃗
̂!
Universits Gadjah Mada
24
⃗⃗
3. Diketahui persamaan suatu kelompok ellipsoida sebagai
. Carilah
vektor satuan normal di tiap titik di permukaan tiap ellipsoida ini!
4. Diketahui medan vektor ⃗
̂
̂ . Hitunglah secara langsung fluks ⃗
̂
yang melewati permukaan balok yang memiliki sisi-sisi a, b, dan c seperti ditunjukkan
⃗
oleh Gambar 1.27! Hitunglah ∫
pada seluruh volume balok tersebut, dan
bandingkan hasil-hasil yang diperoleh!
5. Diketahui medan vektor ⃗
̂
̂
̂ dengan
,
, dan
adalah tetapan-tetapan. Hitunglah secara langsung integral ⃗ pada lintasan tertutup
dalam bidang xy seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.28! Kurva lengkung adalah
parabola y2 = kx dengan k adalah tetapan. Hitunglah integral permukaan
⃗ pada
seluruh luasan S yang dibatasi oleh kurva C, dan bandingkan hasil-hasil yang
diperoleh!
6. Diketahui ⃗
̂
̂
̂ dengan a, b, dan c adalah tetapan-tetapan. Apakah ⃗
⃗ dan
merupakan vektor yang tetap (konstan)? Carilah
komponen ⃗ dalam SKC (x, y, z) dan SKB (
7. Carilah
⃗! Carilah komponen-
)!
⃗ untuk vektor letak ⃗ yang diungkapkan dalam SKC, SKS, dan SKB!
Universits Gadjah Mada
25
8. Diketahui vector ⃗
̂
̂
̂, carilah integral garisnya pada lintasan tertutup
seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.29. Kurva lengkung merupakan busur
lingkaran berjejari r0 yang berpusat di titik asal O. Cari juga integral permukaan
⃗
pada luasan yang dibatasi oleh kurva tertutup tadi, dan bandingkan hasil-hasil yang
diperoleh!
9. Dengan menerapkan teorema divergensi pada kasus khusus ⃗ adalah vektor tetap
dan sembarang, tunjukkan bahwan luasan vektor total suatu permukaan tertutup
adalah nol, yaitu ∮ ⃗
⃗⃗! Serupa dengannya, tunjukkan bahwa ∮ ⃗
⃗⃗!
Daftar Pustaka
1. Wangsness, R.K., 1979, “Electromagnetic Fields”, John Wiley & Sons, New York
Universits Gadjah Mada
26