diktat kuliah kalkulus peubah banyak

DIKTAT KULIAH
KALKULUS PEUBAH BANYAK
(IE-308)
BAB 2
RUANG 3 DIMENSI
Diktat ini digunakan bagi mahasiswa
Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik
Universitas Kristen Maranatha
Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc
JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA
BANDUNG
2012
Diktat ini disusun berdasarkan “Calculus III” oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan
dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
BAB 2. RUANG 3 DIMENSI.
2.1 Sistem koordinat 3-Dimensi
Kita akan membahas sistem koordinat dalam 3 dimensi, yang kita nyatakan dengan , dan
notasi untuk sistem koordinat 2 dimensi kita nyatakan sebagai , sistem koordinat dalam 1
dimensi dinyatakan sebagai
dan secara umum sistem koordinat dalam n dimensi
dinyatakan dalam
. Secara intuitisi kita dapat menggambarkan sistem koordinat sampai 3
dimensi, lebih dari itu agak sulit untuk menggambarkannya.
Kita akan memulai dengan sistem koordinat dasar yang disebut sistem koordinat Cartesian.
Gambar 2.1. Koordinat Cartesian
Pertama digambarkan garis sumbu x, garis sumbu y dan garis sumbu z. Perpotongan antara
garis sumbu x,y dan z kita sebut sebagai titik (0,0,0), titik Original atau titik 0 yang
merupakan titik referensi.
Banyak rumus / formula di
dapat diperluas ke . Contohnya jarak antara 2 titik di
yang dinyatakan sebagai:
Dalam
jarak antara 2 titik dinyatakan sebagai:
Contoh lain, persamaan suatu lingkaran dengan titik pusat
dinyatakan sebagai,
Dan persamaan sebuah bola dengan titik pusat / center
dinyatakan sebagai,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
dan radius/jari-jari r
and jari2/radius r
Halaman 8
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Contoh perbandingan bekerja dalam
,
dan
UK Maranatha 2012
.
Contoh 2.1.1. Gambarkan
dalam
,
dan
.
Solution
Dalam
kita memiliki sistem koordinat tunggal, sehingga
sistem koordinat 1-D.
adalah sebuah titik di
Gambar 2.2. Titik x=3 dalam ℝ
Dalam
persamaan
berarti menggambarkan seluruh titik dalam bentuk
Ini akan menghasilkan garis vertical dalam sistem koordinat 2-D .
..
Gambar 2.3. Garis x =3 dalam ℝ2
Dalam
persamaan
berarti mengambarkan seluruh titik dalam bentuk
. .
Ini akan menghasilkan suatu bidang yang sejajar dengan bidang yz, hanya kita mempunyai
nilai
.
Gambar 2.4. Bidang x=3 dalam ℝ3
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 9
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 2.1.2. Gambarkan
dalam
dan
.
Solusi
Dalam hal ini
dilewat, karena kita bekerja dgn 2 variable artinya lebih 1-D tidak mungkin.
Dalam
ini adalah sebuah garis dengan kemiringan/ slope 2 dan memotong y di -3.
Gambar 2.5. Persamaan
di
.
Namun dalam
, karena kita tidak menspesifikasikan nilai z, maka berarti untuk setiap
nilai z kita meng-copy/menggandakan garis tersebut. Sehingga gambarnya akan berbentuk
suatu bidang yang memotong bidang xy menghasilkan garis
Gambar 2.6. Persamaan
Contoh 2.1.3. Gambarkan
Solution
Dalam
dalam
.
dalam
dan
.
.
kita mendapatkan sebuah lingkaran dengan titik pusat di (0,0) dengan radius 2.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 10
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Dalam
untuk setiap nilai z kita mendapatkan lingkaran seperti diatas pada bidang sejajar
xy.
Berikut gambar yang kita dapat.
Gambar 2.7.
dalam
dan
.
2.2. Persamaan garis
Dalam bagian ini kita akan meninjau bagaimana merepresentasikan suatu garis lurus atau
lengkungan dalam
. Dalam kalukulus Dasar kita ketahui bahwa dalam
untuk garis
lurus di representasi oleh persamaan
, namun persamaan yang sama dalam
,
akan berarti sebuah bidang.
Ada dua cara untuk menyatakan suatu garis , yaitu dengan persamaan / equation seperti yang
telah kita kenal dalam Kalkulus Dasar, dan cara lain dalam bentuk persamaan vektor atau
dengan parametirasi (parameterization) yang akan kita pelajari dalam bagian ini. Untuk itu
kita akan menggunakan konsep vektor dan fungsi vektor. Apakah fungsi vektor ? Bagaimana
fungsi vektor dapat digunakan untuk menyatakan suatu kurva (lengkungan)? Perhatikan
contoh berikut ini.
Misalkan kita mempunyai suatu fungsi vektor sbb. :
Suatu fungsi vector adalah sebuah fungsi yang mempunyai satu atau lebih variabel, dalam
contoh kita diatas 1 variabel, dan menghasilkan vektor.
Vektor yang dihasilkan fungsi dapat berupa sebuah vektor dalam berbagai dimensi yang
didefinisikan, dalam contoh kita kita mendapatkan vektor dalam .
Kita akan mulai dari fungsi vektor dalam
dan setelah kita mulai terbiasa kita akan
membahas dalam
.
Kita akan menggambarkan fungsi vektor diatas (
). , kita akan menamakan fungsi
vektor diatas sebagai fungsi yang menghasilkan vektor posisi.
Suatu vektor posisi, sebutlah
, adalah suatu vektor yang berawal dititik awal /
origin (0,0) dan berakhir di titik
.
Jadi, untuk mendapatkan gambar dari vektor posisi, kita masukkan nilai dari variabel t dan
menggambarkan vektor posisi yang didapat. Dalam hal contoh diatas kita mendapatkan :
Jadi , untuk tiap vektor posisi kita mendapatkan titik-titik pada garis.
Titik-titik tersebut,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 11
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Kita menggambarkannya sbb.:
Gambar 2.8.
Contoh lain,
.
Gambar 2.9.
Dalam contoh diatas kita mendapatkan gambar sebuah elips. Dengan kata lain titik ujung dari
vektor2 posisi kita menghasilkan lengkungan ellips.
Untuk menuliskan persamaan suatu garis dalam
dan seperti yang kita bahas diatas kita
membutuhkan suatu fungsi vektor untuk mengerjakannya.
Misal untuk suatu garis, dan terdapat suatu titik digaris tersebut, yaitu
, dan
tersebut. Kita nyatakan
adalah suatu vektor yang sejajar/ parallel dengan garis
adalah setiap titik yang ada digaris tersebut.
Kita terjemahkan kedalam vektor posisi, yaitu
masing2 P0 dan P . Dan kita definisikan bahwa
and
suatu vektor sama dengan
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
yang adalah vektor posisi untuk
.
Halaman 12
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Kita mendapatkan gambar sbb.:
Gambar 2.10. Garis dalam bentuk vektor 𝑟 = 𝑟0 + 𝑎
Kita dapat menuliskan sebagai: 𝑟 = 𝑟0 + 𝑎
Kita lihat bahwa vektor
and
adalah sejajar / parallel. Dan ada suatu besaran atau
parameter, t, sedemikian sehingga
Sehingga kita mendapatkan,
Formulasi diatas disebut sebagai bentuk vektor dari persamaan garis. Besaran yang tidak
diketahui disini adalah t. Bila t positive maka garis akan melintas kearah kanan gambar kita
dan bila t negative lintasan kearah sebaliknya (kearah kiri dalam gambar kita). Untuk setiap
nilai t yang bervariasi kita akan mendapatkan suatu garis. The following sketch shows this
dependence on t of our sketch.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 13
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 2.11. Garis dalam bentuk vektor
Kita dapat merepresentasikan persamaan garis kedalam beberapa bentuk alternatif
persamaan.
Kita menulis ulang persamaan untuk masing2 komponen vektor, sbb.:
Persamaan2 diatas disebut sebagai bentuk parametric dari persamaan garis.
𝑥− 𝑥
𝑦− 𝑦
𝑧− 𝑧
Bila a, b, dan c bukan nol, maka 𝑡 = 𝑎 0 , 𝑡 = 𝑏 0 dan 𝑡 = 𝑐 0
Sehingga kita mendapatkan :
Bentuk ini disebut persamaan simetrik suatu garis .
Bila salah satu dari a, b, or c bernilai nol (0) kita masih dapat menuliskan persamaan
simetrik. Contoh, misal
. Dalam hal ini t berpengaruh pada persamaan parametrik
untuk y, sehingga kita memcahkan persamaan parametrik untuk t hanya pada x dan z .
Sehingga persamaan kita berbentuk,
Contoh 2.2.1. Tuliskan persamaan garis lurus yang melewati titik-titik
. Tuliskan dalam tiga bentuk persamaan.
Penyelesaian:
Kita menentukan vektor arah / vektor yang paralel terhadap garis yaitu vector
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
dan
.
Halaman 14
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
adalah vektor yang mempunyai titik awal dititik akhir
dan titik awal di titik kedua
, (boleh dibalik) sehingga kita mendapatkan,
Kita mendapatkan bentuk persamaan vektor garis sbb:
Dan bentuk parametrik persamaan garis sbb.:
Bentuk persamaan simetrik sbb.:
Contoh 2.2.2. Tentukan apakah garis yang melewati titik
dinyatakan oleh
,
tentukan koordinat titik tembus tsb.
Penyelesaian:
Vektor arah garis tersebut adalah:
dan
dan sejajar garisyang
menembus bidang- xz. Bila ya
Sehingga persamaan garis yang dimaksud adalah:
Bila garis ini menembus bidang-xz berarti koordinat- y pada titik tersebut harus = nol/zero.
Jadi, kita pecahkan persamaan untuk komponen y dari persamaan = 0 dan kita lihat apakah
kita bisa mendapatkan nilai t untuk solusi persamaan diatas. Bila kita mendapat nilai t berarti
garis tersebut menembus bidang- xz bila tidak maka garis tersebut tidak menembus bidang xz.
Jadi, garis tersebut menembus bidang-xz.
Dan untuk mendapat koordinat titik tembus, kita memasukkan nilai parameter
kedalam persamaan. Kita gunakan bentuk vector,
Bentuk diatas adalah sebuah vector posisi, sehingga koordinat dari titik tembus bidang-xz
yang dicari adalah titik akhir vektor posisi, yaitu :
.
2.3. Persamaan Bidang Datar
Pada bagian ini kita akan mempelajari bagaimana merepresentasikan bidang datar dalam
persamaan.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 15
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Misalkan kita mempunyai suatu titik,
yang berada dalam suatu bidang datar .
Kita misalkan juga kita mempunyai suatu vektor yang tegak lurus /orthogonal (perpendicular)
terhadap bidang datar tadi, yaitu,
. Vektor ini disebut vektor normal. Misal
adalah titik sembarang yang ada dibidang datar. Kita tetapkan vektor-vektor
dan
adalah vektor posisi dari titik P0 dan P .
Gambar dari vektor-vektor diatas adalah sbb.:
Gambar 2.12. Pernyataan bidang datar dalam bentuk vektor
Dalam gambar diatas kita mendapatkan vektor
berada dalam bidang. Dalam gambar
tersebut kita mempunyai vektor normal pada bidang, dan karena tegak lurus / orthogonal
pada bidang, berarti vektor normal tegak lurus pada setiap vector yang terletak dibidang
tersebut, kita dapat menyatakan orthogonal dengan
Product) untuk 2 vektor yang orthogonal adalah = 0.
. Kita tahu perkalian titik (Dot
Persamaan diatas adalah persamaan vektor suatu bidang.
Bentuk lain persamaan yang dihasilkan dari persamaan diatas adalah:
Dari hasil dot product didapatkan bentuk,
Persamaan diatas disebut persamaan scalar suatu bidang. Sering ditulis sebagai,
Dimana
.
Dari persamaan scalar bidang, dengan cepat kita dapat menentukan vektor normal dari
bidang tersebut, yaitu :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 16
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 2.3.1.
Tentukan persamaan bidang datar yang memiliki titik
,
dan
.
Solusi
Kita dapat menetapkan 2 vektor dari titik yang ada pada bidang, yaitu:
Kedua vektor ini terletak dalam bidang dimaksud dan cross product dari kedua vektor
tersebut akan menghasilkan normal vektor yang tegak lurus dengan kedua vector diatas.
Persamaan bidang datar adalah,
Kita dapat menggunakan titik selain titik P seperti Q & R dalam menentukan (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0) dan
akan menghasilkan persamaan bidang datar yang sama (silahkan dicoba).
Contoh 2.3.2. Tetapkan apakah bidang datar
dan garis
tegak lurus/orthogonal, parallel atau bukan keduanya satu sama lain.
Solusi
Kita dapatkan vektor normal bidang datar adalah:
. Kita dapatkan vektor arah
dari garis yang dimaksud adalah:
.
Apabila kedua vektor,
dan
adalah parallel/sejajar satu sama lain,
maka garis dan bidang datar tersebut akan tegak lurus/orthogonal. Mari kita uji,
Jadi, kedua vektor tersebut tidak parallel, jadi bidang dan garis tsb tidak orthogonal.
Sekarang kita menguji jika bidang dan garis adalah sejajar satu sama lain. Jika garis dan
bidang sejajar, maka setiap vektor yang sejajar dengan garis tsb akan orthogonal dengan
normal vektor dari bidang yang dimaksud. Jadi jika
dan
orthogonal maka garis dan
bidang akan sejajar. Mari kita uji dengan:
Jadi kedua vektor tersebut tidak saling tegaklurus atau orthogonal, jadi garis dan bidang tidak
sejajar/parallel.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 17
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Jadi, garis dan bidang tidak orthogonal ataupun tidak sejajar.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 18
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
2.4. Permukaan Quadric
Pada bagian ini kita akan membahas permukaan quadric. Permukaan quadric adalah grafik
dari persamaan-persamaan yang mempunyai bentuk umum sbb.:
dimana A, … , J adalah konstanta/constants.
Berikut ini beberapa persamaan standard yang membentuk permukaan quadric yang perlu
kita kenal dengan baik, yaitu:
Ellipsoid
Persamaan umum dari ellipsoid.
Gambar 2.13. Permukaan ellipsoid
Bila
maka kita akan mendapatkan permukaan bola/sphere.
Disini persamaan ellipsoid berpusat dititik O (0,0,0) , bisa di (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) dengan melakukan
(𝑥−𝑥 )2
(𝑦 −𝑦 0) 2
(𝑧−𝑧 )2
proses translasi sederhana. Persamaan menjadi : 𝑎 20 + 𝑏 2 + 𝑐 20 = 1
Untuk memudahkan pembahasan selanjutnya maka kita memakai titik pusat di (0,0,0).
Kerucut/Cone
Berikut ini persamaan suatu kerucut/cone.
Gambar 2.14 Permukaan kerucut/cone.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 19
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Perhatikan persamaan cone diatas mempunyai mulut terbuka sepanjang sumbu-z. Untuk
suatu kerucut yang memiliki mulut terbuka sepanjang sumbu-x mempunyai persamaan sbb,
Silender/Cylinder
Berikut ini persamaan umum sebuah silinder.
Dalam hal ini penampang irisan/cross section berbentuk sebuah ellipse. Jika
kita akan
mendapatkan sebuah silender dengan irisan berbentuk lingkaran. Persamaan silinder dengan
irisan lingkaran dengan mulut membuka sepanjang sumbu z adalah:
Gambar 2.15. Permukaan bentuk silender dengan irisan sebuah ellipse.
Silinder diatas akan mempunyai pusat sepanjang sumbu yang tidak muncul dalam persamaan,
dalam hal ini sumbu-z. Perlu diperhatikan untuk tidak bingung dengan bentuk lingkaran atau
ellips. Dalam 2 dimensi kita dengan persamaan yang sama kita memperoleh suatu ellips atau
lingkaran, tetapi dalam 3 dimensi kita mendapatkan sebuah silender.
Hyperboloid of One Sheet
Berikut ini persamaan hyperboloid of one sheet.
Gambar sketsa adalah sbb.
Gambar 2.16. Hyperboloid of one sheet
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 20
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Variabel dengan tanda negative didepannya akan memberikan sumbu mana grafik tsb
berpusat, untuk bentuk diatas variable z dan sumbu-z.
Hyperboloid of Two Sheets
Berikut ini persamaan hyperboloid of two sheets.
Gambar 2.17. Hyperboloid of two sheets.
Variabel dengan tanda positif didepannya akan menentukan sumbu mana grafik diatas
berpusat, dalam bentuk diatas sumbu-z.
Elliptic Paraboloid
Berikut ini persamaan sebuah elliptic paraboloid.
Penampang irisan dari berbentuk ellipse dan bila
berbentuk lingkaran.
maka penampang irisan akan
Gambar 2.18. Elliptic paraboloid
Dalam hal ini, variabel yang tidak berpangkat menentukan pada sumbu mana bentuk ini
mempunyai mulut terbuka, dalam kasus diatas sumbu z. Tanda c menentukan arah mana
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 21
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
paraboloid tersebut membuka. Bila c positive maka membuka keatas dan jika c negative
maka membuka kebawah.
Hyperbolic Paraboloid
Berikut persamaan hyperbolic paraboloid.
Gambar 2.19. hyperbolic paraboloid.
Bentuk diatas menyerupai bentuk pelana (saddle shaped) dan seperti juga elliptic paraboloid
tanda c menentukan arah mana permukaan tersebut membuka. Gambar diatas c positive.
With the both of the types of paraboloids discussed above the surface can be easily moved up
or down by adding/subtracting a constant from the left side.
Contoh:
Adalah elliptic paraboloid yg memiliki mulut membuka kebawah, persamaan diatas dapat
(𝑧−6)
ditulis dalam bentuk −1 = 𝑥 2 + 𝑦 2 sehingga titik pusat adalah di
bukan di
.
Gambar 2.20. permukaan paraboloid dengan persamaan
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
.
Halaman 22
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
2.5. Fungsi multivariabel
Pada bab ini kita akan membahas tentang fungsi multivariabel. Dari definisi fungsi kita tahu
tidak semua persamaan quadric berbentuk fungsi.
Kita meninjau grafik fungsi 2 variables,
yang adalah permukaan dalam ruang 3
dimensi.Contoh sketsa graphik dari
.
Gambar 2.21. Permukaan
Bentuk fungsi umum lain yang telah kita bahas adalah bidang datar. Persamaan umum bidang
datar yang telah kita bahas adalah:
Atau dengan menempatkan z dikiri dan menggantinya dengan notasi fungsi,didapat:
Menggambarkan bidang datar adalah dengan mencari titik potong/interseksi dengan ketiga
sumbu, kemudian menghubungkan ketiga titik tersebut.
Contoh: Gambarkan ,
Untuk lebih mudah menggambarkan fungsi diatas kita tulis sbb.:
Titik potong dengan salah satu garis sumbu didapat dengan menetapkan koordinat variabel
sumbu lainnya = 0. Contoh untuk mendapatkan titik potong dengan sumbu-z kita tetapkan
. Jadi, titik potong pada garis sumbu-z: (0,0,12), untuk sumbu-x:(4,0,0), sumbu-y
(0,3,0)
Sehingga bidang datar tersebut dapat kita gambarkan sbb.:
Gambar 2.22. Permukaan
Kita dapat mengembangkan fungsi menjadi permukaan 4 dimensi, misal
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
.
Halaman 23
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Namun untuk menggambarkannya tidak bisa, karena intuisi visual kita adalah ruang 3
dimensi.
Domain.
Kita me review kembali konsep domain pada fungsi single variable,
, domain x
adalah setiap nilai x yang bila dimasukkan kedalam fungsi akan memberikan kembali satu
dan hanya satu nilai (definisi fungsi). Jadi domain dari fungsi 1 variabel adalah satu garis
bilangan (1 dimensi).
Maka domain fungsi dua variable,
, adalah suatu area/daerah/ regions dalam
ruang dua dimensi dan terdiri dari pasangan koordinat,
, dan bila kita memasukkan
nilai x & y kedalam fungsi kita akan mendapatkan satu dan hanya satu bilangan real/real
number.
Contoh 2.5.1. Tentukan domain dari fungsi-fungsi berikut ini.
(a)
(b)
(c)
Solusi
(a) Dalam kasus ini kita tahu akar tidak dapat bernilai negatif, sehingga 𝑥 + 𝑦 ≥ 0
Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir termasuk garis batasnya.
Gambar 2.23. Sketsa
(b) Utk kasus ini juga akar tidak boleh negatif, sehingga
Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir termasuk garis batasnya.
Gambar 2.24. Sketsa 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 𝑜
(c) Dalam kasus ini nilai dalam logarithm tidak boleh negatif atau nol (0), sehingga
Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir tidak termasuk garis batasnya
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 24
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Gambar 2.25. Sketsa
Catatan domain fungsi 3 variabel ,
𝑥2
9
UK Maranatha 2012
+ 𝑦2 < 1
, adalah regions dalam ruang 3 dimensi.
Contoh 2.5.2. Tentukan domain dari fungsi berikut ini,
Solusi
Dalam kasus ini kita tahu bahwa akar tidak bisa negatif dan penyebut dalam pembagian tidak
boleh 0. Sehingga perlu disyaratkan,
Jadi, domain dari fungsi ini adalah setiap titik dalam himpunan yang terletak diluar
permukaan bola yang berpusat dititik (0,0,0) dengan jari-jari/radius 4.
Level curve.
Level curve suatu fungsi
adalah kurva dalam 2 dimensi yang didapat dengan
menetapkan
, dimana k adalah suatu bilangan. Jadi persamaan level curves adalah
. Penulisan lain yang ekivalen bisa dalam bentuk
kasus ini persamaan level curve adalah
contour curve.
dan dalam
. Level curve disebut juga sebagai
Contoh 2.5.3. Tetapkan level curves dari fungsi
Jawab
. Gambarkan beberapa.
dapat kita tuliskan sebagai,
Bila kita pangkat 2 persamaan diatas kita mendapatkan ,
Persamaan diatas adalah persamaan cone atau kerucut dan karena kita tahu dari persamaan
dalam bentuk awal
, bahwa akar akan selalu memberi hasil positif, maka dapat
kita simpulkan bahwa bentuk kerucut yang kita ambil adalah kerucut sebelah atas.
Level curves ( contour curves) untuk permukaan ini didapat dari persamaan diatas dengan
mengganti nilai
. Dalam contoh kasus ini,
dimana k adalah sembarang blangan. So, in this case, the level curves are circles of radius k
with center at the origin.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 25
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Kita dapat menggambar sketsa permukaan tersebut, dan untuk setiap nilai z yang kita
tetapkan dengan bilangan k kita dapatkan sketsa dalam 2 dimensi sbb.
Gambar 2.26. sketsa
dan sketsa level curve atau contour curve.
Kita dapat katakan bahwa garis kontur / level curve adalah irisan dari fungsi
bidang datar
.
dan
Traces.
Bila level curve adalah irisan permukaan
dengan bidang datar
, maka
traces suatu permukaan adalah kurva/garis lengkung yang merupakan penampang irisan
dengan bidang datar
atau
.
Contoh 2.5.4. Gambarkan trace dari fungsi
untuk bidang
dan
.
Untuk
. Didapat
Yang merupakan persamaan garis trace. Gambar dibawah ini menggambarkan potongan
irisan bidang x=1 dengan permukaan
Gambar 2.27
Untuk
kita
Dan gambar sketsanya berupa
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 26
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 2.28.
2.6. Fungsi bernilai Vektor
Fungsi bernilai vektor (dalam buku teks berbahasa Inggris disebut vector-valued function )
adalah fungsi yang mempunyai satu atau lebih variabel dan memetakannya menghasilkan
vektor. Bila fungsi multivariabel yang lalu, memetakan domain dalam himpunan bilangan
real, menjadi bilangan real. Dalam fungsi vektor, memetakan menghasilkan vektor.
Fungsi vektor variabel tunggal dapat dalam
atau
dan dinyatakan sebagai,
dimana
,
dan
disebut sebagai komponen fungsi.
Perhatikan notasi, 𝑥, 𝑦, 𝑧 menyatakan koordinat, sedangkan 𝑥, 𝑦, 𝑧 menyatakan vektor.
Domain dari fungsi vektor adalah himpunan dari semua nilai t dimana komponen fungsi
terdefinisi.
Contoh 2.6.1. Tetapkan domain dari fungsi
Komponen ke-1 terdefinisi untuk setiap t . Komponen ke-2 terdefinisi hanya untuk
Komponen ke-3 hanya terdefinisi untuk
.
. Sehingga domain fungsi adalah
Contoh 2.6.2. Gambarkan sketsa fungsi vector .
Domain fungsi t terdefinisi untuk semua himpunan bilangan real t.
Dengan memasukkan nilai t beberapa nilai kita dapatkan vektor diatas, makin banyak nilai
dimasukkan dan ini sangat memungkinkan dengan bantuan komputer, kita mendapatkan
gambar sketsa sbb. :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 27
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 2.29.
Contoh 2.6.3. Buat sketsa fungsi vektor berikut ini
(a)
(b)
(a)
Gambar 2.30.
Dalam contoh ini kita mendapatkan sebuah ellipse.
(b)
Gambar 2.31.
Contoh 2.6.4.
Gambarkan sketsa fungsi vektor
Fungsi vektor diatas dapat dituliskan sebagai
Dalam bentuk ini kita dapatkan persamaa garis yang melalui titik
dengan vector
. Gambar sketsa adalah sbb.:
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
dan sejajar
Halaman 28
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Gambar 2.32.
Contoh 2.6.5. Gambarkan sketsa fungsi vektor
Kita dapat menulis ulang dalam persamaan parametric untuk kurva
Persamaan x dan y menunjuk pada lingkaran dengan radius 2 dan pusat (0,0) pada 2 dimensi
dan pada 3 dimensi dimana z = 3. Kita dapat menggambarkan sketsa sbb.:
Gambar 2.33.
Contoh 2.6.6. Gambarkan sketsa fungsi vector
Solution
Bila komponen z = k seperti contoh 5 kita akan mendapatkan hasil yang sama dengan contoh
5, tetapi dalam contoh ini z = t sehingga gambar sketsa akan berbentuk helix atau spiral.
Gambar 2.34.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 29
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 2.6.7. Tentukan persamaan vektor untuk segment garis yang berawal pada titik
dan berakhir pada titik
.
Solusi
Untuk mendapatkan persamaan garis bentuk vektor, kita perlu menentukan vektor arah, yaitu
Dengan satu titik P dan vektor arah 𝑣 didapat persamaan garis bentuk vektor, sbb. :
Dengan menata tulis persamaan diatas kita mendapatkan:
Persamaan garis ini dinyatakan dengan titik
dan
dan karena
perumusan dari soal diatas adalah persamaan segmen garis yang berawal dari P dan berakhir
di Q, tidak lebih dan kurang, maka perlu ditetapkan batasan dari nilai t.
Dari persamaan diatas didapat
Jadi dengan membatasi nilai t antara nol dan satu kita mendapatkan segment garis yang
mulai dari P dan berakhir di Q.
Jadi kesimpulan, persamaan segment garis yang mulai dari
dan berakhir di
adalah
Berikut adalah contoh fungsi vektor dengan 2 variabel dalam contoh ini fungsi vektor yang
menggambarkan permukaan.
Contoh 2.6.8. Identifikasi bentuk permukaan apa yang dinyatakan oleh fungsi vektor
.
Solution
Fungsi vektor diatas dapat dituliskan kedalam bentuk persamaan parametrik sbb,:
Persamaan pertama dan kedua menyatakan kita dapat mengambil bebas nilai x & y,
persamaan ketiga menyatakan persamaan elliptic paraboloid. Sehingga persamaan diatas
identik menggambarkan persamaan yang menggambarkan bentuk elliptic paraboloid.
Secara umum setiap fungsi single variabel, fungsi dua variabel maupun fungsi multivariabel
dapat dinyatakan/dituliskan dalam kedalam persamaan bentuk vektor.
Semua Fungsi Multivariabel dapat dinyatakan dalam Fungsi Vektor !!!!!!!.
Untuk fungsi single variable (
atau
ganda (
,
, atau
fungsi vektor sbb.:
Untuk fungsi variabel tunggal dinyatakan,
) atau sembarang fungsi variabel
) dapat dituliskan kebentuk persamaan
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 30
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Dan untuk fungsi variabel ganda dinyatakan sebagai,
Sesuai dengan bentuk awal dari fungsi multivariable.
Contoh : Fungsi hyperbolic paraboloid
dapat dituliskan sebagai fungsi vektor:
Konsep ini sangat penting dalam pembahasan Kalkulus Peubah Banyak.
2.7. Kalkulus pada Fungsi bernilai Vektor
Pada bagian ini dibahas konsep dasar kalkulus, yaitu limit, turunan / derivatives dan integral
untuk fungsi bernilai vektor . Prinsip kerja, rumusan berlaku dalam
untuk perluasan ruang dimensi
(ruang dimensi n).
dan juga berlaku
Limit untuk fungsi bernilai vektor.
Contoh 2.7.1.
Hitung
dimana fungsi vektor
.
Untuk komponen y digunakan dalil L’Hospital.
Turunan Fungsi bernilai Vektor.
Contoh 2.7.2. Hitung
(turunan dari)
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
.
Halaman 31
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Teorema
Beberapa definisi yang penting: smooth curve adalah setiap kurva dimana
kontinu dan
curve.
adalah
untuk setiap t kecuali pada titik akhir. Contoh helix adalah smooth
Integral Fungsi bernilai Vektor.
Dan untuk definite integrals.
Untuk indefinite integral konstan hasil proses integral berbentuk vektor.
Untuk definite integral dapat dituliskan dalam bentuk,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 32
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Contoh 2.7.3. Hitung
untuk fungsi vektor
Contoh 2.7.4. Hitung
UK Maranatha 2012
.
untuk fungsi vektor
.
2.8. Vektor Tangent, Normal dan Binormal
Untuk suatu fungsi vektor,
dan
, maka
. Garis singgung
sejajar vektor tangent,
disebut vektor tangent bila terdapat
pada titik P adalah garis yang melalui titik P dan
.
Unit vektor tangent didefinisikan
Contoh 2.8.1. Tentukan rumusan vektor tangent dan unit vektor tangent untuk fungsi
vektor
Vektor tangent adalah:
.
Panjang unit vektor tangent :
Maka unit vektor tangent adalah
Contoh 2.8.2. Tentukan persamaan bentuk vektor garis singgung pada lengkungan fungsi
vektor
pada titik
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
.
Halaman 33
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Vektor tangent didapat dengan memasukkan nilai
Nilai lengkungan fungsi vektor pada
UK Maranatha 2012
pada turunan fungsi vektor,
adalah,
Persamaan vektor dari garis singgung adalah,
Unit vektor normal didefinisikan sebagai,
Unit vektor normal orthogonal (atau normal, atau tegaklurus) terhadap unit vektor tangent
dan juga terhadap kurva fungsi vektor.
Teorema
Bila
terhadap
suatu vektor sehingga
untuk setiap t. Maka
orthogonal
.
Vektor Binormal di definisikan sebagai,
Karena vektor binormal adalah hasil perkalian silang/cross product dari unit vektor tangent
dan unit vektor normal maka vektor binormal orthogonal terhadap vektor tangent dan vektor
normal .
Contoh 2.8.3. Tentukan vektor normal dan binormal untuk fungsi vektor
.
Maka unit vektor tangent adalah,
Unit vektor normal didapat dari turunan unit vektor tangent dibagi magnitude unit vektor
tanget.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 34
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Sehingga vektor normal adalah,
Vektor binormal adalah,
2.9. Panjang garis/lintasan Fungsi vektor
Pada bab ini membahas bagaimana menentukan panjang lintasan dari fungsi vektor,
Pada interval
.
Fungsi vektor dapat dituliskan dalam bentuk parametric sbb.:
Panjang lintasan kurva
pada interval
adalah,
Sehingga, panjang lintasan dapat dituliskan sebagai:
Contoh 2.9.1. Tentukan panjang lintasan dari kurva fungsi vektor
untuk interval
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
.
Halaman 35
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
tangent vector dan magnitude nya adalah:
Maka panjang lintasan adalah:
Fungsi panjang lintasan (arc length function).
Fungsi panjang lintasan (arc length function) didefinisikan sebagai,
Contoh 2.9.2. Tentukan fungsi panjang lintasan fungsi vektor
.
Dari contoh 1 kita dapatkan,
Sehingga kita dapatkan fungsi panjang lintasan sebagai,
Dari persamaan diatas kita dapatkan :
Dengan memasukkan nilai diatas ke fungsi vektor awal, kita melakukan reparameterize
(parameterisasi ulang) fungsi vektor kedalam bentuk,
dalam contoh kita dapatkan,
. Jadi untuk fungsi vektor
Dari persamaan vektor diatas, dapat ditentukan dimana titik capai pada kurva fungsi vektor
setelah menempuh jarak tertentu sepanjang s . Pengukuran jarak s adalah jarak yang diawali
dari titik awal dimana
.
Kegunaan dari fungsi lintasan diatas ditunjukkan dalam contoh dibawah ini.
Contoh 2.9.3. Tentukan titik mana yang akan dicapai pada
setelah menempuh jarak lintasan sepanjang
Dari proses reparametrisasi diatas, kita dapatkan:
?
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 36
Rudy Wawolumaja
Dengan memasukkan nilai
dicapai adalah pada titik:
Jadi setelah melintasi jarak
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
kedalam fungsi diatas kita dapatkan lokasi akhir yang
sepanjang kurva, dicapai titik akhir
.
2.10. Kelengkungan/Curvature
Kelengkungan/curvature adalah ukuran seberapa cepat suatu lengkungan berubah arah pada
suatu titik yang ditetapkan. Ada beberapa rumusan untuk menentukan kelengkungan suatu
kurva. Rumusan formal diberikan sebagai,
Dimana
adalah unit vektor tangent dan s adalah panjang lintasan/kurva (arc length).
Rumusan formal diatas agak rumit untuk digunakan, terdapat dua alternatif rumusan
kelengkungan yang cukup praktis untuk digunakan, yaitu:
Contoh 2.10.1.
Solusi
Tentukan curvature dari fungsi vektor
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
.
Halaman 37
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Dari contoh 2.8.3. pada subbab 2.8. “Vektor Tangent, Normal and Binormal ”, kita
mendapatkan hasil perhitungan untuk fungsi vektor diatas, sebagai:
Turunan unit tangent adalah,
Besaran (magnitude) kedua vektor adalah,
Maka kelengkungan didapat,
Dalam kasus contoh ini didapatkan nilai kelengkungan (curvature) adalah constant. Ini berarti
bahwa kurva berubah arah dengan laju yang sama pada tiap titik sepanjang kurva, Mengingat
fungsi kurva ini adalah lintasan helix, maka hasil yang didapat sesuai/masuk akal.
Contoh 2.10.2. Tentukan curvature dari
.
Dalam contoh ini kita menggunakan rumusan kedua curvature.
Hasil perkalian silang (cross product).
Besaran (magnitudes),
Sehingga nilai untuk setiap nilai t adalah,
Misal kita mempunyai kurva yang dinyatakan dalam fungsi real
mendapatkan nilai kelengkungannya / curvature.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
dan kita ingin
Halaman 38
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Setiap fungsi multi variable dapat dinyatakan dalam fungsi vektor, untuk fungsi real diatas
kita dapat menuliskannya sebagai,
Dengan menggunakan rumusan kedua curvature, kita akan mendapatkan
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 39
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
2.11. Kecepatan dan Percepatan
Bila fungsi vektor posisi suatu benda
tersebut adalah,
maka kecepatan dan percepatan dari benda
Baik kecepatan maupun percepatan berbentuk vektor.
Dalam mekanika percepatan terdiri dari dua komponen, yaitu komponen tangential, aT, dan
komponen normal , aN. Komponen tangential adalah bagian percepatan yang searah dengan
lintasan dan komponen normal percepatan adalah bagian percepatan yang normal / tegaklurus
(atau orthogonal) terhadap lintasan. Sehingga dapat dituliskan :
Dimana
dan
adalah unit tangent dan unit normal dari fungsi vektor posisi.
Bila didefinisikan
Dimana
maka komponen tangential dan normal percepatan adalah,
adalah kelengkungan (curvature) dari fungsi vektor posisi.
Contoh 2.11.1. Bila percepatan suatu benda bergerak adalah
, dapatkan
fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda , bila diketahui kecepatan awal adalah
dan posisi awal adalah
Solusi
.
Fungsi posisi adalah,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 40
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 2.11.2. Untuk contoh diatas, tentukan komponen tangential dan normal percepatan.
Solusi
Dengan menggunakan rumus,
Komponen tangential percepatan adalah,
Komponen normal percepatan adalah,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 41
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
2.12. Koordinat silendris
Koordinat silendris dalam
ditunjukan dalam gambar dibawah ini:
Gambar 2.35. Koordinat silendris.
Konversi dari koordinat silendris ke Cartesian adalah sbb.:
Sedangkan konversi dari koordinat Cartesian ke koordinat silendris dinyatakan sbb.:
Contoh 2.12.1. Identifikasi jenis permukaan/surface untuk persamaan berikut ini:
(a)
(b)
(c)
Solution
(a) Silender dengan radius 5 berpusat disumbu-z.
(b) Dengan konversi koordinat Cartesian kita dapatkan
Jadi, bentuk permukaan adalah bola dengan radius = 10.
(c) Dalam kasus ini, dengan konversi ke koordinat kita mendapatkan
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 42
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Jadi bentuk permukaan yang dimaksud adalah kerucut atau cone.
2.13. Koordinat Bola
Koordinat bola digambarkan sbb.:
Gambar 2.36. Koordinat Bola.
Koordinat bola / Spherical coordinates terdiri dari tiga variabel/perubah.
Pertama variabel , yang merupakan jarak dari titik 0 (origin) dengan titik yang dimaksud,
sehingga perlu di syaratkan
.
Variabel kedua adalah
. Ini adalah sudut yang sama dengan yang dinyatakan dalam
koordinat polar/cylindrical coordinates. Yaitu sudut antara sumbu-x positif dan garis yang
dinyatakan dengan r (yang juga sama dengan r yang dinyatakan dalam koordinat p
olar/cylindrical coordinates). Tidak ada persyaratan untuk .
Variabel ketiga adalah . Ini adalah sudut antara sumbu-z positif dengan garis yang
menghubungkan 0 (origin) dengan titik yang dimaksud. Perlu disyaratkan
Berikut rumus konversi antara koordinat:
Konversi dari koordinat bola ke koordinat silender, diketahui
.
dan ingin didapat
. Dan karena dalam koordinat bola dan silender adalah sama, maka yang perlu
dicari adalah r dan z . Dengan sedikit proses geometry dan trigoneometry didapat:
Sehingga :
Juga berlaku,
Atau,
Hubungan dengan koordinat Cartesian, untuk itu kita lihat rumus konversi koordinat
Cartesian dengan koordinat silender yang telah dibahas di bab sebelum ini.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 43
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Dengan menggunaka formula r dan z kita dapatkan,
Diketahui juga
sehingga,
Konversi dari Cartesian atau cylindrical coordinates ke spherical coordinates dilakukan
dengan penurunan rumus yang sama.
Contoh 2.13.1. Lakukan konversi berikut ini.
(a) Konversikan titik
dari koordinat silender ke koordinat bola.
(b) Konversikan titik
dari koordinat Cartessian ke koordinat bola..
(a) Nilai adalah sama dalam kedua koordinat.
Berikut didapatkan .
Untuk mendapatkan
dilakukan dengan rumus konversi untuk r atau z.
Ada banyak kemungkinan untuk nilai
mempunyai persyaratan
yang memberikan
dalam
maka nilai yang diambila adalah
koordinat bola yang didapat adalah
(b) Langkah pertama adalah menemukan
Untuk mendapatkan
, namun karena kita
𝜋
3
, sehingga
.
.
, digunakan rumus konversi untuk z.
Karena persyaratan range maka hanya nilai diatas yang diperbolehkan untuk
.
Untuk mendapatkan digunakan konversi untuk x atau y. Dengan menggunakan rumus
konversi untuk y didapat,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 44
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Dari kedua nilai diatas, perlu dipilih salah satu dan karena koordinat
dan
terletak dalam quadrant kedua, maka sudut haruslah sudut yang menghasilkan titik pada
quadrant kedua. Sehingga sudut yang dipilih adalah,
.
Jadi koordinat bola adalah
.
Contoh 2.13.2. Identifikasi permukaan yang dinyatakan persamaan berikut ini.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
Bila dikonversi ke koordinat Cartesian coordinates yang telah dikenal, didapat.
Sehingga kita mendapat permukaan bola dengan radius 5 berpusat di 0 (origin).
(b)
Kita mendapatkan cone dengan sudut
dengan sumbu z positive.
(c)
Didapat bidang datar vertical yang membentuk sudut
dengan sumbu-x positive.
(d)
Cara 1
Sisi kiri dan kanan ditambahkan dengan
didapat.
Bila dikonversi ke koordinat Cartesian didapat,
Persamaan diatas menyatakan sebuah silender dengan radius 2 berpusat di sumbu-x.
Cara 2
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 45
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Cara ini lebih langsung, yaitu konversi langsung ke koordinat silender dan karena
maka didapat,
Yang berarti suatu silinder dengan radius 2.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 46