U4 2002 with solution

DEPARTEMEN FISIKA
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
UJIAN KEEMPAT
FI 211 MEKANIKA
Hari/Tanggal : Selasa, 7 Januari 2003
Waktu
: 14.30 - 17.30
Dosen
: Alexander A. Iskandar, Ph.D.
A. Rusli, Ph.D.
Rahmat Hidayat, Ph.D.
Catatan :
Tidak diijinkan menggunakan catatan/buku text. Dapat mempergunakan kalkulator.
Semua bilangan dinyatakan dalam satuan dasar SI.
1. Seseorang bermassa m bermain lompat bungee (bungee jumping). Anggap orang tersebut
menjatuhkan dirinya dari atas menara. Tali elastik yang dipergunakan memiliki panjang L dan
konstanta pegas k.
a. Tentukan berapa jarak yang ditempuh orang tersebut dari saat awal bergerak sampai pertama
kali dia berhenti. (8 point)
b. Berapa kecepatan maksimum yang dapat dimiliki orang tersebut pada gerak dalam soal a di
atas. (8 point)
2. Tinjau sebuah partikel yang berada di bawah pengaruh gaya pusat (sentral) F = – k r ur, dengan
ur adalah vektor satuan arah radial, r adalah jarak partikel dari titik asal sumbu koordinat dan k
adalah konstanta.
a. Carilah potensial energi efektif dan buatlah kurvanya! (8 point)
b. Dari kurva yang telah dibuat, uraikanlah kondisi (yang berkaitan dengan energi dan posisi
partikel) yang harus dipenuhi agar partikel bergerak berputar membentuk sebuah lingkaran!
Berapakah kecepatan partikel tersebut (v0) dan kemanakah arah kecepatan tersebut ? (8
point)
3. Tiga buah partikel bermassa m terhubung dengan batang-batang yang tak bermassa seperti
dalam gambar:
z
y
L
x
L
a. Carilah tensor momen inersia dari sistem partikel tersebut! (8 point)
b. Carilah tensor momen inersia prinsipal (utama) dan tunjukkanlah dengan gambar sumbusumbu prinsipal (utama) yang mungkin! (8 point)
4. Tinjaulah aliran suatu fluida mantap di atas suatu bidang mendatar (anggap bidang XY) dengan
medan vektor kecepatannya diberikan sebagai berikut :

v  y iˆ .
a. Apakah aliran ini merupakan aliran yang kompresibel dan apakah aliran ini rotasional ? (8
point)
b. Tentukan fungsi aliran dan fungsi potensial kecepatannya (jika ada). (8 point)
5. Sebuah benda bermassa m terikat pada pegas dengan tetapan pegas k di atas sebuah meja
berputar. Permukaan antara benda dan meja dianggap licin.
a. Carilah perioda osilasi ketika meja tidak berputar! (6 point)
b. Tuliskanlah gaya Coriolis yang dialami oleh massa m bila meja berputar dengan kecepatan
sudut konstan,  (seperti pada gambar)! Skets grafik besarnya gaya Coriolis ini sebagai
fungsi jarak dari sumbu putar meja. (6 point)
c. Anggap gaya Coriolis sangat kecil, carilah perioda osilasi massa m ketika meja berputar.
Apakah dalam hal ini perioda menjadi lebih besar atau lebih kecil dibanding dengan
jawaban pada soal a. di atas ? Jelaskan peristiwa fisis! (6 point)

6. a. Tentukan pernyataan energi kinetik sistem
osilator harmonik seperti pada gambar
disamping. Tentukan pula pernyataan energi
potensialnya. (6 point)
b. Tuliskan fungsi Lagrange dari sistem
osilator ini dan tentukan persamaan
geraknya. (6 point)
c. Carilah solusi dari persamaan gerak tersebut
(bila perlu nyatakan dalam koordinat
normal). (6 point)
k
x1
m
posisi
setimbang
k
x2
k
m
posisi
setimbang
SOLUSI U4
FI 211 Mekanika
7 Januari 2003
1. a. Si pemain menjatuhkan dirinya, berarti kecepatan awalnya adalah V = 0
nol. Saat pemain berhenti pertama kali adalah saat kecepatannya
kembali nol dengan kondisi tali elastik teregang sejauh xs, lihat
gambar. Pergunakan hukum kekekalan energi total didapat :
Tawal  Vawal  Tberhenti  Vberhenti
L
0  mg( L  x s )  12 kxs2
sehingga,
x s 
mg mg
2 Lk

1
.
k
k
mg
 xs

v 0
Tentu saja harus di ambil tanda positif sehingga jarak yang
ditempuh pemain sampai pertama kali berhenti adalah :
Lakhir  L 
mg mg
2 Lk

1
.
k
k
mg
b. Kecepatan maksimum yang terjadi adalah saat jumlah gaya-gaya yang bekerja sama dengan
nol, jadi

mg
 F  0   mg  kxm  0  xm 
k
Kecepatan maksimum dapat ditentukan dari hukum kekekalan energi total sebagai berikut :
Tawal  Vawal  Tmaks  Vmaks
0  12 mvm2  mg ( L  xm )  12 kxm2
yang memberikan,
vm 
2 gL 
mg 2
.
k
 
2. a. V   F  dr  kr dr  12 kr 2 , sehingga potensial
efektifnya adalah
Veff  12 kr 2 
L2
2mr 2
b. Kondisi 1: E0  Veff  12 kr02 
Kondisi 2:
 dVeff

 dr

Veff
L2
r
2mr02
r0


L2 
2
 kr 



 0 didapat r0 
3 


mr  r r
 r r 
0
L2
4
dan L  r0 km ,
km
0
L
L2
4
2
1
 2 (k  k )
sehingga E0  kr0 
. Karena L  r0 km  mr0  maka
2
m
2mr0
1
2
2
2
v0  r0  
r02 k
.
m
3. a. Ixx = m (y12+z12) + m (y22+z22) + m (y32+z32) = m L2 (0 + 1 + 1) = 2 m L2
Iyy = m (x12+z12) + m (x22+z22) + m (x32+z32) = m L2 (1 + 1 + 0) = 2 m L2
Izz = m (x12+y12) + m (x22+y22) + m (x32+y32) = m L2 (1 + 1 + 2) = 4 m L2
Ixy = Iyx = – (m x1 y1 + m x2 y2 + m x3 y3) = – m L2 (0 + 0 + 1) = – m L2
Ixz = Izx = 0
Iyz = Izy = 0
Sehingga,
 2  1 0

2
I  mL  1 2 0
 0 0 4
b. Menentukan sumbu utama sama dengan menyelesaikan persoalan nilai eigen dari operator
matriks tensor momen inersia. Jadi,
0 
2    1

det   1 2  
0   0
 0
0
4   
yang memberikan persamaan karakteristik


(4  ) (2  ) 2  1  0  1  1,  2  3,  3  4 .
Sehingga tensor momen inersia utamanya adalah :
1 0 0

2
I   mL 0 3 0 .
0 0 4
Untuk nilai eigen 1 = 1, substitusi kepersamaan eigen akan memberikan persyaratan bagi
komponen-komponen nilai eigen ybs. :
0  u x 
 2 1 1

 
ux  u y
  1 2  1 0  u y   0 
uz  0
 0
0
4  1 u z 

1
1  
 uˆ 
1
2 
 0
Vektor eigen ini dan vektor-vektor eigen lainnya sengaja dipilih berpanjang satu sehingga
dapat dipakai sebagai unit vector.
Untuk nilai eigen 2 = 3, substitusi kepersamaan eigen akan memberikan persyaratan bagi
komponen-komponen nilai eigen ybs. :
0  v x 
 2  3 1

 
v  vy
0  v y   0  x
 1 2  3
vz  0
 0
0
4  3  v z 

  1
1  
 vˆ 
1
2 
0
Vektor eigen kedua ini, sengaja dipilih yang tegak lurus terhadap vektor eigen pertama di
atas.
Untuk nilai eigen 3 = 4, substitusi kepersamaan eigen akan memberikan persyaratan bagi
komponen-komponen nilai eigen ybs. :
0  w x 
w y  2wx
 2  4 1

 
0  w y   0  wx  2w y
 1 2  4
 0
0
4  4  w z 
wz bebas

z
ŵ
v̂
y
û
x
L
L
 0
 
 wˆ   0 
1
 