Metode Numerik - Module 12 (Aplikasi Eigen dalam bidang Teknik Sipil)

METODE NUMERIK
PERTEMUAN 13
Oleh : Ranny Adriana
METODE NUMERIK
Mata Kuliah
: Metode Numerik
Kode Mata Kuliah
: CV3104
Pengampu
: Ranny Adriana, S.T., M.T.
Semester
:V
Bobot SKS
: 2 SKS
Hari/Jam
: Selasa/15.00-16.40 WIB
Ruang Kelas
: Online
EIGEN PROBLEMS DALAM BIDANG
TEKNIK SIPIL (DINAMIKA STRUKTUR)
Contoh Kasus:
Respon Struktur
akibat gempa
𝜙𝑛 adalah ragam
bentuk getaran
(“mode shape”)
mode ke n.
HASIL BERUPA MODE SHAPE
λ1
𝜙𝑛 adalah ragam
bentuk getaran
(mode shape) mode
ke n.
λ2
λ3
PEMODELAN STRUKTUR DINAMIK DENGAN
PENDEKATAN STATIKA
 Pada problem analisis struktur dengan pendekatan statika, matriks
hubungan antara kekakuan K, simpangan U, dan gaya F, dapat ditulis
sebagai berikut:
KU=F
𝑘1 + 𝑘2
K = −𝑘2
…
𝑈1
𝑈2
U= ⋮ ;
⋮
𝑈𝑛
𝑘2
⋱
…
…
⋮ nxn
𝑘𝑛
𝐹1
𝐹2
F= ⋮
⋮
𝐹𝑛
 Bila matriks F dan K diketahui, maka matriks simpangan U dapat dicari.
Fn
Kn
F2
K2
F1
K1
F0
mn
Un
m2
U2
m1 U
1
PEMODELAN STRUKTUR DINAMIK DENGAN
PENDEKATAN STATIKA
 Dengan pendekatan dinamik, maka persamaan menjadi :
𝑀𝑈+ 𝐶 𝑈 + 𝐾 𝑈 = 0
dimana :
M = matriks massa
C = matriks redaman (damping)
𝑈 = vektor (matriks kolom) percepatan
𝑈 = vektor (matriks kolom) kecepatan
𝑈 = vektor (matriks kolom) simpangan
PEMODELAN STRUKTUR DINAMIK DENGAN
PENDEKATAN STATIKA
 Proses yang sangat penting dalam analisis dinamika suatu struktur adalah pada saat
keadaan struktur bergetar bebas secara alami (natural/free vibration) setelah mengalami
kondisi awal (initial condition) yang berupa kecepatan dan/atau simpangan awal.
 Untuk penyederhanaan, dalam kondisi struktur bergerak/bergetar bebas tersebut, faktor
redaman (matriks C) diabaikan, karena dalam kenyataannya, kecil pengaruhnya terhadap
hasil akhir hitungan.
 Sehingga persamaan menjadi :
𝑀𝑈+ 𝐾 𝑈 = 0
EIGEN PROBLEMS

Hasil akhir penurunan rumus dengan analisis dinamik struktur menghasilkan :
𝐾 − 𝜆𝑛 𝑀 𝜙𝑛 = 0

Karena ruas kanan dari persamaan adalah 0 , maka persamaan ini disebut homogen.

Masalah pada persamaan di atas disebut EIGEN PROBLEM.

Penyelesaian eigenproblem pada persamaan di atas diambil 𝜙𝑛 ≠ 0 , sebab bila 𝜙𝑛 = 0 berarti tidak ada
getaran/gerakan, yang berarti trivial (easy) solution.

Oleh karena itu, dicari penyelesaian yang non-trivial, yaitu :
𝑑𝑒𝑡 𝐾 − 𝜆𝑛 𝑀 = 0
 dengan : n = 1, 2, 3, …., N

ukuran M adalah N x N

ukuran K adalah N x N
EIGEN PROBLEMS
 Bila persamaan dimekarkan (expanded), maka akan didapat sebuah persamaan
polinomial order N dalam l :
… 𝜆𝑁 + ⋯ 𝜆𝑁−1 + … . = 0
 persamaan ini disebut persamaan karakteristik (characteristic equation).
 Dengan demikian, akar-akar persamaan polinomial ln dapat dicari dengan
metode-metode yang sudah dipelajari sebelumnya, misal Metode Secant, dsb.
 Bila M dan K sudah berhasil didapat, maka harga eigen ln (“eigen values”) dapat
dihitung, dan vektor eigennya 𝜙𝑛 (“eigen vectors”) dapat dihitung.
EIGEN PROBLEMS
Suatu EIGENVECTOR (vektor karakteristik dari suatu matriks bujursangkar A) adalah
suatu vektor bukan nol, u, yang mana ketika dikalikan dengan A, akan menghasilkan
perkalian skalar dari dirinya sendiri. Pengali skalar tersebut sering dinotasikan
dengan l.
Au = lu
Sedangkan l, disebut sebagai EIGENVALUE atau nilai karakteristik dari A untuk
eigenvector u .
ARTI FISIK
 𝜆𝑛 = (𝜔𝑛 )2 → 𝜔𝑛 =
𝜆𝑛 → 𝜔𝑛 adalah frekuensi sudut alami mode ke n.
 𝑓𝑛 =
𝜔𝑛
2𝜋
→ 𝑓𝑛 adalah frekuensi getar alami (natural frequency) mode ke n.
 𝑇𝑛 =
1
𝑓𝑛
→ 𝑇𝑛 adalah periode getar alami (natural period) mode ke n.
 𝜙𝑛 adalah ragam bentuk getaran (mode shape) mode ke n.
ARTI FISIK
simpangan (q)
An
qn(t) = An sin wt
waktu (t)
Tn
1,0
1,0
0,5
-1,0
𝜙1
𝜙2
“Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan,
sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan”
(QS. Alam Nasyrah: 5-6)