Handout Perkuliahan ke-7 Penerapan matriks Senin, 8 Maret 2021 Pengampu: Dr. Iis Nurhasanah Penerapan perkalian matriks Matriks momen inersia Benda tegar: - sistem banyak partikel - jarak antara pasang partikel konstan Momentum sudut ๐ = เท ๐๐ผ ๐ซ๐ผ × ๐ฏ๐ผ = เท๐๐ผ ๐ซ๐ผ × (๐ × ๐ซ๐ผ ) ๐ผ ๐ผ ๏ก menyatakan massa m๏ก yang terletak di ๐ซ๐ผ = (๐ฅ๐ผ1 , ๐ฅ๐ผ2 , ๐ฅ๐ผ3 ) ๏ทadalah kecepatan sudut benda tegar Perkalian tiga vektor: ๐ × ๐ × ๐ = ๐ ๐ . ๐ − ๐ ๐ . ๐ ๐ = เท๐๐ผ [๐๐ผ 2 ๐ − ๐ซ๐ผ ๐ซ๐ผ . ๐ แฟ ๐ผ 3 3 2 2 − ๐ฅ๐ผ,๐ ๐ฅ๐ผ,๐ = เท ๐ผ๐๐ ๐๐ ๐ฟ๐ = เท ๐๐ผ ๐๐ เท ๐ฅ๐ผ,๐ − ๐ฅ๐ผ,๐ เท ๐ฅ๐ผ,๐ ๐๐ = เท ๐๐ เท ๐๐ผ ๐ฟ๐,๐ เท ๐ฅ๐ผ,๐ ๐ผ atau ๐ฟ = ๐ผ๐ ๐=1 ๐=1 ๐ ๐ผ ๐ L dan ๏ท merupakan matriks kolom 3-dimensi, sedangkan I merupakan matriks 3 ๏ด 3 merupakan matriks momen inersi ๐ Persamaan nilai eigen Berbagai permasalahan fisis dapat dituliskan dalam persamaan nilai eigen. Transformasi linier yang dinyatakan ๐ = M๐ซ secara umum mengubah vektor r menjadi R, dimana Mr hanya merupakan perkalian suatu konstanta ๏ฌ dengan vektor r. M๐ซ = ๏ฌ๐ซ dengan r disebut vektor eigen dan ๏ฌ adalah nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks M. Dalam permasalah nilai eigen terdapat dua bagian yang diselesaikan, yaitu: a. menghitung nilai eigen ๏ฌ dari matriks M dan b. Menentukan vector eigen r untuk setiap nilai eigen. M๐ซ = ๏ฌ๐ซ (M − ๏ฌI)๐ซ = 0 Untuk setiap matriks bujur sangkar orde-n, terdapat n persamaan linier homogeny dengan n elemen r yang tidak diketahui. ๐11 − ๏ฌ ๐ฅ1 + ๐12 ๐ฅ2 + โฏ + ๐1๐ ๐ฅ๐ = 0 ๐21 ๐ฅ1 + ๐22 − ๏ฌ ๐ฅ2 + โฏ + ๐2๐ ๐ฅ๐ = 0 โฎ ๐๐1 ๐ฅ1 + ๐๐2 ๐ฅ2 + โฏ + ๐๐๐ − ๏ฌ ๐ฅ๐ = 0 Penyelesaian dapat diperoleh jika determinan dari koefisien-koefisien persamaan sama dengan nol. ๐11 − ๏ฌ ๐12 … ๐12 ๐22 − ๏ฌ … det M − I = โฎ โฎ โฎ ๐๐1 ๐๐2 … ๐1๐ … =0 โฎ ๐๐๐ − ๏ฌ ๐0 ๏ฌ๐ + ๐1 ๏ฌ๐−1 + ๐2 ๏ฌ๐−2 + โฏ + ๐๐−1 ๏ฌ + ๐๐ = 0 Persamaan karateristik Contoh: Carilah nilai eigen dan vector eigen dari matriks A= 5 1 4 2 Jawaban: Persamaan karakteristik untuk mmencari nilai eigen ๐ฅ 5 4 ๏ฌ ๐ฆ = 1 2 det M − ๏ฌI = 5 − ๏ฌ ๐ฅ + 4๐ฆ = 0 ๐ฅ+ 2−๏ฌ ๐ฆ =0 ๐ฅ ๐ฆ 5−๏ฌ 4 = ๏ฌ2 − 7๏ฌ + 6 = ๏ฌ − 6 ๏ฌ − 1 = 0 1 2−๏ฌ ๏ฌ = 6 dan ๏ฌ = 1 Penentuan vektor eigen ๏ฌ=6 −๐ฅ + 4๐ฆ = 0 ๐ฅ = 4๐ฆ R= 4 1 ๐ฅ = −๐ฆ R= 1 −1 ๐ฅ − 4๐ฆ = 0 ๏ฌ=1 4๐ฅ + 4๐ฆ = 0 ๐ฅ+๐ฆ=0 Latihan Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut: M= M= 2 −1 3 2 1 8 0 8 1 8 0 8 1 Penerapan persamaan eigen Andaikan (x, y) merupakan bidang membran yang dapat ditegangkan atau dirotasikan, maka berdasarkan persamaan transformasi setiap (x, y) pada membran menjadi (X, Y) setelah deformasi. Matriks M (matriks transformasi) menggambarkan deformasi membran. akan terdapat beberapa vektor sedemikian rupa, sehingga: R = ๏ฌr dengan ๏ฌ = konstanta yang disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks transformasi M. Vektor R disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari transformasi. Mode vibrasi sistem massa-pegas x dan y : koordinat masing-masing massa m setiap saat t relatif terhadap posisi setimbang • Energi potensial pegas: V = ½ ky2 (y = kompresi atau ekstensi) • Gaya yang bekerja pada massa: Fx = - dV/dx Fy = - dV/dy • Energi potensial masing-masing pegas: ½ kx2 ; ½ k(x-y)2 ; ½ ky2 • Energi potensial total: V = ½ kx2 + ½ k(x-y)2 + ½ ky2 = k (x2 –xy + y2) • Persamaan gerak (*): • Pada mode vibrasi normal (karakteristik) Persamaan gerak (*) menjadi: dalam bentuk matriks: yang merupakan permasalahan nilai eigen. 2−๏ฌ ๐ฅ−๐ฆ = 0 −๐ฅ + 2 − ๐ฆ = 0 (๏ฌ − 3)(๏ฌ − 1) = 0 diperoleh nilai eigen ๏ฌ = 1 dan ๏ฌ= 3 Frekuensi karakteristik: Vektor eigen:
