Tentukan nilai eigen dan vektor eigen

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Definisi :
Misalkan Anxn matriks matriks bujur sangkar
n dan λ adalah skalar Rill
adalah
vektor
tak
nol
di
R
v
sehingga memenuhi :
Av   v,
v0
maka λ dinamakan nilai eigen dari A,
sedangkan v dinamakan vektor eigen dari A
20/07/2017 6:55
1
Contoh :
Nilai eigen
 1 2  1  5 
1

    
  5  
 4 3   2   10 
 2
Vektor eigen
20/07/2017 6:55
2
Perhatikan !!!
Av   v
Av   v  0
A v  I v  0
 A  I  v  0
Ingat….
v merupakan vektor tak nol
Ini Berarti
20/07/2017 6:55
Persamaan Karakteristik
det  A  I   0
3
Contoh :
Tentukan nilai eigen dari matriks
 1

A 0
 -1

-2 

1
2 
0
0 
0
Persamaan Karakteristik det (A – λI) = 0
 1
 0

- 1
-2 
2   
0 
0
1
0
1- 
0
0
1- 
-1
0
20/07/2017 6:55
 1
 0

 0
0
1
0
0 
0   0
1 
-2
2 0
-
4
• Dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-2
(1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0
(1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0
(1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0
Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu :
λ = −1, λ = 1, dan λ = 2.
Contoh :
Tentukan Nilai eigen dari :
 2

A 1
 1

20/07/2017 6:55
1
2
1
1 

1 
2 
5
Jawab :
Nilai eigen dari A diperoleh saat det  A  I   0
 -2
-1
-1
 -2
-1
-1
 -2

  2
 -2
-1
-1
 -2






(λ
(λ
(λ
(λ
(λ
(λ
–
–
–
–
–
–
-1
-1  0

-1
-1
-1
 -2

-1
 -2
-1
-1
0
2){( λ – 2)2 –1} + (–λ +1) – (1+( λ–2)) = 0
2){ λ2 – 4 λ + 3} – (λ – 1) – (λ – 1) = 0
2){( λ – 3)( λ – 1 )} – 2 (λ – 1) = 0
1)(( λ – 2)( λ – 3) – 2) = 0
1)( λ2 – 5 λ + 4) = 0
1)2( λ – 4) = 0
20/07/2017 6:55
6
Contoh :
2 1

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen A  
1 2
Persamaan Karakteristiknya adalah
det  .I  A  0 
0
  2
1
1
  2

0    2  2  1

0  2  4  4  1

0  2  4  3

0    1  3


diperoleh   1 ;   3
20/07/2017 6:55
7
Untuk   1
  1  1  1 1 
 ~ 

.I  A ~ 
  1  1  0 0 
x1  x 2  0
x1   x 2
x2  t
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   1
adalah vektor tak nol yang berbentuk
 x1    1
     t , dimana t merupakan parameter.
 x2   1 
20/07/2017 6:55
8
Untuk   3
 1  1  1  1
 ~ 

.I  A ~ 
 1 1  0 0 
x1  x 2  0
x1  x 2
x2  t
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   3
adalah vektor tak nol yang berbentuk
 x1   1 
     t ,
 x2   1 
20/07/2017 6:55
dimana t merupakan parameter
9
Contoh :
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks
 1 0 0


A  0 1 1
0 1 1


Jawab :
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :
.I  A  0
atau


det 


20/07/2017 6:55
 0 0  1 0 0 

 

 0  0   0 1 1   0
 0 0   0 1 1 

 

10
   1

det  0
 0

0
  1
1


1   0
  1
0
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor :
Pilih Baris I
det .I  A  a11c11  a12 c12  a13c13
   1     2  0  0
  1     2
Sehingga diperoleh nilai eigen
  0 ;  1 ;   2
20/07/2017 6:55
11
Untuk   0
Dengan OBE maka
1
1 0 0 
 1 0 0 
.I  A ~  0  1  1 ~  0 1 1  ~  0
 0  1  1
 0  1  1
0





 x1   0 
   
 x2    1  t
 x    1
 3  
0 0

1 1
0 0 
, dimana t adalah parameter tak nol
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   0
adalah
0
 
P1   1 
  1
 
20/07/2017 6:55
12
Untuk   1
Dengan OBE maka
.I  A ~
0 0 0  0 0 0  0 1 0

 

 
 0 0  1 ~  0 0 1  ~  0 0 1 
0 1 0  0 1 0  0 0 0


 
 
 x1   1 
   
 x2    0  t , dimana
 x  0
 3  
t adalah parameter tak nol
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   1
adalah
1
 
P2   0 
0
 
20/07/2017 6:55
13
Untuk
2
Dengan OBE maka
1 0 0 
1 0 0 




.I  A ~  0 1  1 ~  0 1  1
0 1 1 
0 0 0 




 x1   0 
   
 x2    1  t
 x  1
 3  
, dimana t adalah parameter tak nol
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan   2
adalah
0
 
P3   1 
1
 
20/07/2017 6:55
14