Modul Aljabar Linear dan Matriks

NILAI DAN VEKTOR EIGEN
Pertemuan : 12&13
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :
1. Mengetahui definisi nilai dan vektor eigen
2. Menghitung nilai eigen
3. Menentukan basis, rank dan nullitas dari ruang eigen
4. Mengetahui syarat agar suatu matriks dapat didiagonalisasi
5. Menentukan matriks P yang dapat mendiagonalisasi suatu matriks A
Materi
:
6.1 Nilai dan Vektor Eigen
Definisi 6.1
Jika A matriks 𝑛 × 𝑛 maka vektor tak nol 𝑥̅ ∈ 𝑅 𝑛 disebut vektor eigen dari A jika 𝐴𝑥̅ = 𝜆𝑥̅ untuk
suatu skalar 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen dari A dan 𝑥̅ sering disebut sebagai vektor eigen
yang berpadanan dengan nilai eigen 𝜆.
Untuk mencari nilai eigen, pandang persamaan 𝐴𝑥̅ = 𝜆𝑥̅ dapat dituliskan kembali menjadi
𝐴𝑥̅ = 𝜆𝐼𝑥̅ dan ekivalen dengan (𝜆𝐼 − 𝐴)𝑥̅ = 0̅ .
Agar suatu nilai eigen 𝜆 dapat ditentukan maka SPL homogen harus punya solusi trivial, hal ini
hanya terjadi jika det(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0.
Persamaan det(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0 disebut persamaan
karakteristik dan p(λ) = det(𝜆𝐼 − 𝐴) disebut polinom karakteristik. Kadang-kadang nilai dan
vektor eigen sering disebut nilai dan vektor karakteristik. Ruang eigen adalah ruang solusi dari
SPL (𝜆𝐼 − 𝐴)𝑥̅ = 0̅
Definisi 6.2
Ruang eigen adalah ruang solusi dari persamaan ( I  A) x  0 didefinisikan dengan
x ( I  A) x  0
Contoh 6.1
0
Diketahui 𝐴 = (1
1
0 −2
2
1 ). Tentukan :
0
3
a. Nilai dan vektor eigen
b. Ruang eigen
Penyelesaian:
a. det(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0̅ maka
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
  1 0 0   0 0 2  
0
2 

  2 1
1   2
 
 



det    0 1 0    1 2 1    det  1   2 1   
2
0
 3
1
0
 1
 0 0 1 1 0 3 
0
  3 
 


 
  (  2)(  3)  2(0    2)   3  5 2  8  4  0
dengan memfaktorkan diperoleh    2   2  1 =0 maka nilai eigen adalah 2 dan 1.
Untuk mendapatkan vektor eigen maka disubstitusikan nilai-nilai eigen ke persamaan
( A   I ) x  0 yaitu:
0
2  x1   0 


   
 1   2 1  x2    0 
 1
  
0
  3 

 x3   0 
Untuk   2 diperoleh
 2 0 2  x1   0 

   
 1 0 1 x2    0 
 1 0 1 x   0 

 3   
Dengan OBE diperoleh
 2 0 2  1 0 1

 

 1 0 1 ~  0 0 0 
 1 0 1  0 0 0 

 

𝑥1
0
−1
0
−1
Sehingga solusi 𝑥̅ = (𝑥2 ) = 𝑠 (1) + 𝑡 ( 0 ), maka vektor eigen adalah (1) , ( 0 ).
𝑥3
0
1
0
1
Untuk   1
 1 0 2  x1   0 

   
 1 1 1  x2    0 
 1 0 2  x   0 

 3   
Dengan OBE diperoleh
 1 0 2  1 0 2 

 

 1 1 1  ~  0 1 1
 1 0 2   0 0 0 

 

𝑥1
−2
−2
𝑥
Sehingga solusi 𝑥̅ = ( 2 ) = 𝑡 ( 1 ) dan vektor eigen adalah ( 1 ).
𝑥3
1
1
IF/2011
38
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
𝑥1
0
−1
b. Ruang eigen yang berkaitan dengan nilai   2 adalah 𝑥̅ = (𝑥2 ) = 𝑠 (1) + 𝑡 ( 0 )
𝑥3
0
1
0
−1
dengan basis = {(1) , ( 0 )} dan ruang eigen yang berkaitan dengan nilai   1 adalah 𝑥̅ =
0
1
𝑥1
−2
−2
𝑥
( 2 ) = 𝑡 ( 1 ) dengan basis ={( 1 )}.
𝑥3
1
1
 Latihan 6.1
Tentukan nilai eigen dan ruang eigen dari matriks-matriks berikut ini
6 −4
a. (
)
3 −1
1
b. (0
0
1 1
2 1)
0 1
 1 0 1 
c.  1 3 0 
 4 13 1


6.2 Diagonalisasi
Definisi 6.3
Suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks yang dapat
dibalik sehingga 𝑃 −1 𝐴𝑃 adalah suatu matriks diagonal, P dikatakan mendiagonalkan A.
Teorema 6.1
Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen
a. A dapat didiagonalkan
b. A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear
Langkah-langkah untuk mendiagonalkan matriks A:
1. Cari n vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A misalkan 𝑝̅1 , 𝑝̅2 , … , 𝑝̅𝑛 .
2. Bentuk matriks P yang mempunyai 𝑝̅1 , 𝑝̅2 , … , 𝑝̅𝑛 sebagai vektor-vektor kolomnya.
3. Matriks 𝑃 −1 𝐴𝑃 akan menjadi matriks diagonal dengan 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 berturut-turut adalah
anggota diagonalnya dimana 𝜆𝑖 adalah nilai eigen yang berpadanan dengan 𝑝̅𝑖 untuk i =
1,2,...,n.
Contoh 6.2
Carilah suatu matriks P yang mendiagonalkan
IF/2011
39
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
 0 0 2 


A  1 2 1 
1 0 3 


Telah diperoleh untuk
−1
0
𝑝̅1 = ( 0 ) dan 𝑝̅2 = (1)
1
0
−2
𝑝̅3 = ( 1 )
1
𝜆=2
𝜆=1
Sehingga dari tiga vektor basis diperoleh matriks P sebagai berikut
 1 0 2 
 2 0 0

 dan 1


P 0 1 1 
P AP   0 2 0 
1 0 1
0 0 1




Dapat ditunjukkan bahwa
 1 0 2  0 0 2  1 0 2   2 0 0 



 

D  P AP   1 1 1  1 2 1  0 1 1    0 2 0 
 1 0 1 1 0 3  1 0 1   0 0 1 



 

1
D adalah matriks diagonalisasi dan jika kedua ruas dikalikan dengan P dan P1 persamaan ini
dapat dituliskan kembali menjadi
PDP1  PP1 APP1  IAI  A
Jika dipangkatkan n maka diperoleh
An   PDP1   PDn P1
n
Dengan ini kita dapat menghitung pangkat dari suatu matriks A dengan mengubah A menjadi
matriks PDP1
 Latihan 6.2
Carilah suatu matriks P yang mendiagonalkan
 1 0 0


A   1 2 0
 3 5 2 


Apakah matriks A dapat didiagonalkan?
Hitunglah A10
IF/2011
40
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
IF/2011
41