Analisis kestabilan model sir, sir vaksinasi, seir dan

2
1.2 Tujuan
Tujuan utama penulisan karya ilmiah ini
adalah:
1. Memeriksa kestabilan model SIR, SIR
vaksinasi, SEIR dan MSEIR pada
masing-masing titik tetapnya dan
menentukan perbedaan dari keempat
model tersebut,
2. Dengan dinamika perubahan populasi
pada model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan
MSEIR didapat orbit kestabilannya,
3. Mendapatkan dan menginterpretasikan
bilangan reproduksi dasar dari model
SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR,
II
1.3 Metode
Metode tersebut dianalisis melalui dua
cara yaitu secara matematis dan secara
numerik.
Secara
matematis,
dengan
menganalisis kestabilan melalui penentuan
titik tetap, orbit kestabilan, dinamika populasi
dan kondisi yang memenuhi kestabilannya.
Secara numerik menggunakan Software Maple
12 dengan diberikan parameter-parameter
berbeda.
LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 1 Sistem Persamaan Diferensial
Linear (SPDL)
Misalkan suatu persamaan differensial
linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut:
( ) = g(t) dengan ( ) dan g(t) adalah
̇
fungsi dari waktu t. Bila ( ) adalah suatu
matriks berukuran n x n dengan koefisien
konstan dan g(t) dinyatakan sebagai vektor
konstan b maka diperoleh sebagai berikut;
= ̇ = Ax + b, x(0) = x0
(Farlow 1994)
Definisi 2 Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan
differensial (SPD) sebagai berikut:
= ̇ = f(x), x ϵ
Suatu titik
yang memenuhi f( ) = 0
disebut titik keseimbangan atau titik tetap dari
sistem.
(Tu 1994)
Definisi 3 Titik Tetap Stabil
Titik
adalah titik tetap sebuah SPD dan
x(t) adalah solusi yang memenuhi kondisi
awal x(0)=x0 dan x0
. Titik
dikatakan
titik tetap stabil jika terdapat ɛ0 > 0, yang
memenuhi sifat berikut; untuk setiap ɛ1, 0 <
ɛ1< ɛ0, terdapat ɛ0 > 0 sedemikian sehingga
jika || - x0 || < ɛ maka || - x(t)|| < ɛ1, untuk
setiap t > t0.
(Szidarovszky & Bahill 1998)
Definisi 4 Titik Tetap Takstabil
Misalkan adalah titik tetap sebuah SPD
mandiri dan x(t) adalah sebuah solusi SPD
mandiri dengan nilai awal x(0)= x0 dengan
x0
Titik
dikatakan titik tetap tak stabil
jika terdapat radius ρ > 0 dengan ciri sebagai
berikut: untuk sembarang r > 0 terdapat posisi
awal x0 memenuhi ||
- x0 || < r, berakibat
solusi x(t) memenuhi ||
- x(t)|| ρ, untuk
paling sedikit satu t > 0.
(Anton 1995)
Definisi 5 Titik Tetap Stabil Asimtotik
Lokal
Titik
dikatakan titik tetap asimtotik
lokal jika titik dan terdapat ɛ > 0 sedemikian
sehingga jika ||
- x0 || < 0 maka
( )
(Szidarovszky & Bahill 1998)
Definisi 6 Titik Tetap Stabil Asimtotik
Global
Titik
dikatakan titik tetap asismtot
global jika titik stabil dan x0 ϵ
(Szidarovszky & Bahill 1998)
Definisi titik tetap stabil menyatakan bahwa
titik stabil jika seluruh orbit (lintasan kurva
dan yang menggambarkan solusi x(t) berada
pada radius ε1, jika nilai awal (x0) yang
terpilih cukup dekat dengan
Titik tetap
stabil asimtotik global, dipilih nilai awal (x0)
di luar radius ε0 sehingga solusi x(t) adalah
untuk t → .
(Szidarovszky & Bahill 1998)
Definisi 7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah matriks n x n ,maka
suatu matrik taknol x di dalam
disebut
vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar λ,
yang disebut nilai eigen dari A diperoleh;
Ax = λx
Vektor x disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk
mencari nilai eigen maka persamaan diatas
3
dapat dituliskan sebagai berikut: (c)x = 0,
dengan I matriks identitas persamaan Ax = λx
mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
det (A - λI) = 0, persamaan ini dinamakan
persamaan karakteristik.
(Anton 1995)
Definisi 8 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan matriks A yang
berukuran 2 x 2 sebagai berikut:
A =(
) Dengan persamaan karakteristik
det(A – λI) = 0, dan I adalah matriks identitas,
maka persamaan karakteristiknya menjadi:
det (
) = 0, sedemikian sehingga
diperoleh persamaan
, dengan
τ = trace(A) = a+d dan = det(A) = ad-bc.
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A
A = Df( ) = Df(x) x =x* =
[
Sadel jika
Perkalian dua buah nilai eigen real
sembarang adalah negatif (λj,λk< 0 untuk j
dan k sembarang).
(Tu, 1994)
Definisi 9 Pelinearan
Untuk suatu SPD taklinear, analisis
kestabilan dilakukan melalui pelinearan.
Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai
berikut:
̇ = f(x)
Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk
suatu titik tetap , maka persamaan diatas
dapat ditulis sebagai berikut:
̇ = Ax + Ҩ(x)
Persamaan tersebut SPD taklinear dengan A
adalah matriks Jakobi,
]
=[
Dan Ҩ(x) suku berorde tinggi yang bersifat
( ) = 0. Selanjutnya Ax pada
persamaan diatas disebut pelinearan dari
sistem tak linear persamaan (1.8) yang
didapatkan dalam bentuk ̇ = Ax. Untuk
sistem yang berada dalam bidang
(n=2)
akan diperoleh;
̇ = f(x) = Ax + Ҩ(x) dengan
̇ = f1(x) =
+ Ҩ1(x1,x2)
̇ = f2(x) =
+ Ҩ2(x1,x2) dengan
=
,
=
√
adalah λj,k =
.
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan untuk
setiap nilai eigen yang diperoleh. Secara
umum kestabilan suatu titik tetap didasarkan
pada kriteria berikut:
Stabil jika
a. Setiap nilai eigen real adalah
negatif (λj < 0) untuk setiap j)
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks lebih kecil atau sama
dengan nol, (Re(λj
0) untuk
setiap j).
Tak Stabil jika
a. Setiap nilai eigen real adalah
positif (λj > 0) untuk setiap j)
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks lebih besar dari nol,
(Re(λj 0) untuk setiap j).
]
=
dan
,
(
=
)
=
(
)
=0
dengan r = √
Nilai Ҩ1 dan Ҩ2 kecil
sekali, sehingga dapat diabaikan.
(Tu 1994)
Definisi 10 Kriteria Kestabilan
Teorema 1: (Rout-Hurwitz Criterion)
Misalkan
,
…,
bilangan real.
Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik
( )
Mempunyai bagian real yang negatif jika dan
hanya jika determinan dari matriks
untuk
setiap j = 1, 2, 3,…, n
[
]
adalah positif dengan
jika k > n
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz,
untuk suatu nilai n = 2 maka titik
stabil jika
dan hanya jika
dan disajikan
pada teorema berikut.
(Fisher 1990)
Teorema 2
Misalkan A, B bilangan-bilangan real.
Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan
karakteristik
( )
adalah negatif jika dan hanya jika A dan B
positif.
4
individu rentan yang dapat
menderita
penyakit yang disebabkan oleh satu individu
infeksi.
Kondisi yang akan timbul adalah satu diantara
tiga kemungkinan ini;
a. Jika
, maka penyakit akan
menghilang,
b. Jika
, maka penyakit
akan menetap (endemis),
c. Jika
, maka penyakit akan
meningkat menjadi wabah.
2.2 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar
adalah
potensi penularan penyakit pada populasi
rentan, merupakan rata-rata jumlah individu
yang terinfeksi secara langsung oleh seorang
penderita selama masa penularannya bila
termasuk dalam populasi yang seluruhnya
masih rentan.
Untuk mengetahui tingkat penyebaran
suatu penyakit diperlukan suatu parameter
tertentu. Parameter yang biasa digunakan
dalam masalah penyebaran penyakit adalah
bilangan reproduksi dasar. Hethcote (2000)
menyatakan bahwa bilangan reproduksi dasar
merupakan rasio yang menunjukkan jumlah
(Giesecke 1994)
III PEMODELAN
(infeksi) dan kelompok individu yang telah
sembuh dan kebal dari penyakit (pulih).
Dalam kasus yang paling dasar kita membuat
asumsi bahwa sekali seorang individu telah
terinfeksi dan kemudian telah pulih, maka
individu tersebut tidak akan terjangkit kembali
dikarenakan adanya kekebalan tubuh yang
kuat. Dengan menganggap bahwa tingkat
penularan penyakit sebanding dengan jumlah
pertemuan antara individu rentan dan individu
yang terinfeksi.
3.1 Model SIR
Model SIR pada awalnya dikembangkan
untuk mengetahui laju penyebaran dan
kepunahan suatu wabah penyakit dalam
poulasi tertutup dan bersifat epidemik.
Hethcote (2000) menyatakan bahwa pada
model epidemi SIR klasik, populasi dibagi
menjadi tiga kelompok yaitu, kelompok
individu yang sehat tetapi dapat terinfeksi
penyakit (rentan), kelompok individu yang
terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit
β
μ
Rentan (S)
ξ
Infeksi (I)
μ
μ
Pulih (R)
µ
Gambar 1. Dinamika populasi dalam model SIR
Dari gambar 1 model SIR dapat dituliskan
sebagai berikut:
= -β S
= β S –ξI
= ξI – μR
Keterangan:
: populasi individu
: kelompok individu yang rentan
terinfeksi penyakit,
I : kelompok individu yang terinfeksi
(1)
penyakit dan dapat sembuh dari
penyakit,
R : kelompok individu yang telah
sembuh dan kebal dari penyakit,
β : laju penularan penyakit,
ξ : laju kesembuhan,
µ : laju kelahiran dan laju kematian
Dengan β, µ dan ξ adalah parameter
positif yang merupakan tingkat transmisi.
Sebagaimana ditetapkan, bahwa nilai dari (S
+ I + R) = N, sehingga S + I + R adalah
konstan. Dalam populasi individu bahwa laju
kelahiran sama dengan
laju kematian.
Populasi S akan meningkat seiring dengan
bertambahnya individu kedalam suatu