Nilai Eigen dan Vektor Eigen, Rank Suatu Matriks

Judul
Nilai Eigen dan Vektor
Eigen, Rank Suatu
Matriks
Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
Nilai Eigen dan Vektor
Eigen, Rank Suatu
Matriks
Kembali
Judul
Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
Judul
1.4. Nilai Eigen Dan Vektor
Eigen
1.5. Rank Suatu Matriks
Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
1.4. Nilai Eigen Dan Vektor
Eigen
1.5. Rank Suatu Matriks
Kembali
Judul
Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
Judul
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Rank Matrik dan Nullity
Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
Pendahuluan
jika suatu matriks A berukuran nxn dan
x suatu vektor pada Rn, seringkali kita
menemukan suatu vektor tak nol x
tertentu sedemikian hingga x dan Ax
merupakan pergandaan satu sama lain
dan berlaku Ax=ƛx dengan A matrik
berukuran n x n dan ƛ suatu skalar.
Kejadian inilah yang dinamakan nilai
eigen dan vektor eigen (eigenvalue dan
eigenvektor) dan merupakan kejadian
yang sering dijumpai dalam matriks.
Judul
Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks A nxn, maka vektor
tak nol xRn disebut vektor karakteristik
(eigen vector) dari matriks A.
Jika berlaku Ax = x untuk suatu skalar
, maka  disebut nilai karakteristik
(eigen value) dari matriks A.
Ax = x
Vektor karakteristik merupakan solusi
non trivial (solusi yang tidak semuanya
nol) dari (A - I)x = 0
Agar diperoleh solusi non trivial maka
|A - I| = 0
dimana |A - I| = 0 disebut polinomial
karakteristik
Judul
Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
Judul
Contoh:
Tentukan nilai eigen dan vektor
eigen dari matriks A=
 1 0 0


 0 1 0
 0 0 0


Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
1 0 0   0 0  1   0 0 

 
 

 0 1 0   0  0    0 1   0 
 0 0 0  0 0    0

0



 
 

1 
0
0
1 
0
0
0
0 0

(1-) (1-) (-) = 0
Jadi polinomial karakteristik: (1-) (1-)
(-) = 0
Akar-akar polinomial karakteristik: 1=0,
2=3=1
Jadi nilai eigen matriks A adalah 0 dan 1.
Vektor eigen untuk =0
Judul
Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
1   0 0  1 0 0

 

A-I =  0 1   0   0 1 0
 0
0    0 0 0

(A-I)x = 0
 1 0 0 x1   0 

   
 0 1 0 x2    0 
 0 0 0 x   0 

 3   
Judul
Pengalaman
Belajar
Jadi x1=0, x2=0, x3=t, t0, tR
Jadi x=
0
 
0
t 
 
merupakan vektor eigen
Materi
Yang berkorespondensi dengan =0
Selesai
Vektor eigen untuk =1
1   0 0   0 0 0 

 

A-I =  0 1   0    0 0 0 
 0
0     0 0 1

Judul
Pengalaman
Belajar
(A-I)x = 0
 0 0 0  x1   0 


  
 0 0 0  x2    0 
 0 0  1 x   0 

 3   
Materi
Jadi x1=a, x2=b, x3=0, a,b0, a,bR
Jadi x=
 a
 
 b
0
 
merupakan vektor eigen
yang berkorespondensi dengan =1
Selesai
Judul
Teorema :
Jika A adalah suatu matriks
segitiga (segitiga atas atau segitiga
bawah atau matriks diagonal)
berukuran m x m, maka eigenvalue
dari A adalah elemen-elemen
diagonal utama dari A.
Contoh
Pengalaman
Belajar
Materi
Selesai
Judul
Rank Matriks dan Nullity
Rank merupakan dimensi ruang kolom
(banyaknya vektor yang bebas linear,
yaitu kolom yang memuat 1 utama
melalui OBE).
Nullity merupakan dimensi ruang nol.
Contoh 1:
Pengalaman
Belajar
Materi
2 0 1 


Tentukan rank matriks A  1 2  1
3 1 0 


Selesai