Pemodelan Regresi Tiga Level pada Data
advertisement
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Pada kehidupan sehari-hari sering kali dijumpai data yang memiliki struktur berjenjang (hierarchical) atau berkelompok (clustered). Pada struktur berjenjang, individu-individu dalam kelompok yang sama memiliki karakteristik yang cenderung mirip, dengan kata lain antar amatan pada level yang lebih rendah tidak saling bebas, sehingga melanggar asumsi kebebasan dalam pendekatan statistika konvensional, misalnya regresi linear sederhana satu level. Jika pelanggaran asumsi ini diabaikan maka akan mengakibatkan nilai dugaan galat baku koefisien regresi berbias ke bawah sehingga akan banyak ditemukan hubungan yang signifikan secara statistik dalam pengujian hipotesis. Hal inilah yang menjadi salah satu alasan mengapa diperlukan analisis multilevel pada data berjenjang (www.tramss.dataarchive.ac.uk). Salah satu jenis data berjenjang adalah data pengamatan berulang. Dikatakan data pengamatan berulang jika peubah responnya diukur secara berulang pada unit analisis yang sama berdasarkan faktor pengamatan yang berbeda. Salah satu contoh dari faktor pengamatan yang berbeda adalah waktu. Setiap unit amatan yang sama akan diamati secara berulang berdasarkan waktu yang berbeda-beda. Secara alamiah, pengamatan yang diukur secara berulang pada individu yang sama memiliki keterkaitan (tidak saling bebas). Metode Statistika (STK211) merupakan mata kuliah interdep yang berada di bawah naungan Departemen Statistika sejak berlakunya sistem Mayor-Minor di IPB tahun 2005. Pada tahun 2008/2009, kelas paralel mata kuliah Metode Statistika mencapai lebih dari 30 kelas paralel. Pada umumnya setiap kelas paralel terdiri dari satu departemen dan kelas-kelas tersebut di bawah tanggung jawab dosen Departemen Statistika ataupun dosen departemen lain yang sudah terbiasa mengajar mata kuliah ini. Setiap kelas paralel terdiri dari sejumlah mahasiswa dan setiap mahasiswa memiliki nilai ujian yang dilakukan pada beberapa titik waktu. Pada umumnya setiap mata kuliah diuji pada dua titik waktu yaitu pada saat ujian tengah semester (UTS) dan ujian akhir semester (UAS). Namun ada pula dosen yang memberikan ujian sampai tiga ataupun empat waktu. Oleh Karena itu data nilai capaian mahasiswa pada mata kuliah Metode Statistika memiliki struktur data berjenjang pengamatan berulang dengan faktor pengamatan berulang yang digunakan adalah waktu ujian. Selain struktur datanya berjenjang, banyaknya kelas paralel yang terdiri dari mahasiswa dengan IPK TPB yang berbedabeda diduga menimbulkan keragaman dalam capaian nilai mahasiswa dalam mata kuliah ini. Demikian pula faktor jenis kelamin, asal daerah, serta jumlah mahasiswa per kelas. Berdasarkan permasalahan di atas, akan dilakukan pemodelan regresi tiga level pada data pengamatan berulang. Nilai amatan berulang sebagai level kesatu yang tersarang pada level kedua (mahasiswa) tersarang pada level ketiga (kelas paralel). Tujuan Penelitian ini bertujuan untuk: 1. Mengkaji penerapan model regresi tiga level data pengamatan berulang untuk menganalisis hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan faktor-faktor yang mempengaruhinya. 2. Mencari faktor-faktor yang berpengaruh dalam keragaman capaian mahasiswa untuk mata kuliah Metode Statistika, baik pada level kesatu, kedua (mahasiswa) maupun pada level ketiga (kelas paralel). 3. Menduga komponen-komponen ragam capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika. TINJAUAN PUSTAKA Data Kelompok dan Data Pengamatan Berulang Data kelompok merupakan data dimana peubah responnya diukur hanya satu kali pada setiap satuan analisis pada level terendah. Setiap satuan analisis pada data ini tersarang dalam unit kelompok sebagai level yang lebih tinggi. Sebuah data dikatakan data pengamatan berulang jika peubah respon diukur lebih dari satu kali pengamatan pada satuan analisis yang sama dengan memberikan faktor pengamatan yang berbeda. Faktor pengamatan berulang dapat berupa waktu, perlakuan percobaan atau berupa kondisi observasi. (West et al., 2007). Pemodelan Multilevel Struktur multilevel mengindikasikan bahwa data yang akan dianalisis berasal dari beberapa level, dimana level yang lebih 2 rendah tersarang dalam level yang lebih tinggi. Pemodelan multilevel merupakan suatu pemodelan statistik untuk menduga hubungan antar peubah yang diamati pada level-level yang berbeda dalam struktur data berjenjang. 1. Model Regresi Tiga Level dengan Pengamatan Berulang Analisis regresi mengkaji pola hubungan antara satu peubah respon dengan satu atau lebih peubah penjelas. Jika datanya memiliki struktur berjenjang atau mengandung data pengamatan berulang yang berjenjang, regresi multilevel lebih tepat digunakan dalam masalah ini. Pada regresi multilevel, satu peubah respon hanya diukur pada level terendah dan peubah penjelas dapat berada pada semua level. Secara konseptual, model dipandang sebagai suatu sistem berjenjang dari persamaan-persamaan regresi. Jika Ytij merupakan peubah respon dalam waktu ke-t pada mahasiswa ke-i dan pada kelas paralel ke-j, dan diasumsikan setiap level memiliki satu peubah penjelas dengan intersep dan kemiringan acak, maka model regresi tiga level pada data pengamatan berulang dapat diformulasikan sebagai berikut: Model Level 1 (Pengamatan Berulang) Ytij = β0ij + β1ij Ttij + tij Model Level 2 (Mahasiswa) β0ij = β00j + β01j Vti + u0ij β1ij = β10j + β11j Vti + u1ij Model Level 3 (Kelas Paralel) β00j = β000 + β001 Zt + w00j β01j = β010 + β011 Zt + w01j β10j = β100 + β101 Zt + w10j β11j = β110 + β111 Zt + w11j Ketiga model di atas dapat digabung menjadi model regresi tiga level sebagai berikut: Ytij = β000 + β001 Zt + β010 Vti + β100 Ttij + β011 Zt Vti + β101 Zt Ttij + β110 Vti Ttij + β111 Zt Vti Ttij + w01j Vti + w10j Ttij + w11j Vti Ttij + u1ij Ttij + w00j+ u0ij + tij dimana t=1,2,...,nij. i=1,2,..,nj, dan merupakan j=1,2,..,n. Indeks nij banyaknya pengamatan berulang pada mahasiswa ke–i dalam kelas ke–j. Dalam model tersebut T adalah peubah penjelas pada level satu, V merupakan peubah penjelas pada level dua, dan Z merupakan peubah penjelas pada level tiga. Meskipun demikian, pada pemodelan multilevel tidak diharuskan kehadiran peubah penjelas pada setiap levelnya. Tantular (2009) misalnya, hanya menggunakan satu peubah penjelas pada level terendah dalam analisis regresi tiga level tanpa pengamatan berulang, dan tidak ada peubah penjelas pada level kedua dan ketiga. Secara umum model regresi multilevel dapat diformulasikan melalui catatan matriks dan vektor dalam bentuk model linear campuran (Linear Mixed Model/LMM) sebagai berikut: (West et al., 2007) y = X β + Z u+ ε Tetap Acak u ~ N (0, G) dan ε ~ N (0, R) dimana y merupakan peubah respon berukuran nx1, dimana n merupakan jumlah dari nij. X adalah matriks rancangan untuk efek tetap dan Z adalah matriks rancangan untuk afek acak. β adalah parameter efek tetap, sedangkan u dan ε masing-masing merupakan vektor G parameter efek acak dan sisaan.. merupakan matriks blok diagonal yang merepresentasikan ragam koragam untuk semua efek acak dalam u, dan R adalah matriks blok diagonal yang merepresentasikan matriks ragam koragam untuk semua sisaan dalam ε. Matriks G dan R keduanya merupakan matriks simetrik dan definit positif. Dalam model dengan pengamatan berulang, sisaan dalam individu yang sama dapat ε berkorelasi, namun antara u dan diasumsikan saling bebas. 2. Pendugaan Parameter Pendugaan parameter (koefisien regresi dan komponen ragam) yang umum digunakan pada pemodelan multilevel adalah metode kemungkinan maximum likelihood (ML) atau Restricted Maximum Likelihood (REML). 3 3. Pendugaan Koefisien Korelasi Intraklas Jika kita mempunyai data dengan struktur berjenjang yang sederhana, maka regresi multilevel dapat digunakan untuk memberikan nilai dugaan bagi korelasi intraklas. Korelasi intraklas menunjukkan proporsi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelompok dalam populasi, yang dapat juga diinterpretasikan sebagai korelasi harapan antara dua unit yang dipilih secara acak yang berada dalam kelompok yang sama (Hox, 2002). Korelasi intraklas dapat diperoleh pada setiap level kelompok. Pada model regresi tiga level terdapat dua korelasi intraklas yaitu korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa (Goldstein, 1999). Jika efek acak keragaman yang berhubungan dengan level ketiga dilambangkan dengan σ23 dan efek acak keragaman yang berhubungan dengan level kedua yang tersarang pada level ketiga dilambangkan dengan σ22, maka korelasi intra kelas (ρ3) dan korelasi intra mahasiswa (ρ2) dengan asumsi intersep acak dan tanpa peubah penjelas adalah sebagai berikut: Pada regresi tiga level, korelasi intra kelas dan proporsi keragaman yang dapat dijelaskan oleh struktur kelas memiliki formula yang sama, sedangkan proporsi keragaman yang dapat dijelaskan oleh struktur mahasiswa adalah sebagai berikut: Pengujian Hipotesis Hipotesis dalam LMM terdiri dari hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (HA). Hipotesis dapat menjadi formula dalam dua model yang memiliki hubungan tersarang. Model yang lebih umum yang mengandung kedua hipotesis H0 dan HA disebut model referensi sedangkan model yang hanya mencakup H0 disebut sebagai model tersarang. Model referensi mengandung semua parameter yang diuji sedangkan model tersarang tidak. Model tersarang merupakan bagian dari model referensi. Uji hipotesis ini biasanya digunakan untuk menentukan model mana yang akan dipilih antara tersarang dengan model referensi. model Likelihood Ratio Test (LRT) LRT digunakan untuk membandingkan nilai fungsi likelihood antara model tersarang dengan model referensi dalam pengujian hipotesis. Fungsi dari LRT dituliskan sebagai: -2 log Ltersarang = -2 log Ltersarang Lreferensi - -2 log Lreferensi -2 log Ltersarang ~χ2df Lreferensi Statistik di atas menyebar mengikuti sebaran khi kuadrat dengan derajat bebas selisih dari banyaknya parameter antara kedua model. Pada LRT untuk pengujian efek tetap, pendugaan parameternya menggunakan metode ML. Penghitungan uji statistik dalam pendugaan efek tetap adalah selisih dari -2 ML log-likelihood antara dua model yang menyebar khi kuadrat dengan nilai derajat bebas selisih dari banyaknya parameter efek tetap antara kedua model. Uji hipotesis untuk parameter kovarian dalam LMM menggunakan pendugaan REML baik untuk model tersarang ataupun untuk model referensi. Penghitungan uji statistik untuk pendugaan ini adalah selisih dari -2 REML log-likelihood antara dua model yang menyebar khi kuadrat dengan nilai derajat bebas selisih dari banyaknya parameter acak antara dua model (West et al., 2007). Centering Covariates Centering Covariates berfungsi untuk mengubah interpretasi intersep. Biasanya intersep dimaknai sebagai nilai tengah dari peubah respon saat peubah penjelasnya bernilai nol. Pada kenyataannya nilai nol sering berada di luar wilayah hasil. Untuk menghindari hal tersebut maka dilakukanlah centering. Centering dilakukan supaya makna intersep menjadi nilai tengah peubah respon saat peubah penjelas bernilai tertentu yang pasti terkandung di dalam data (misalnya rataan atau median). Selain itu centering juga dapat mengurangi kolinearitas antar peubah penjelas (West et al, 2007). 4 Kelas 2 Kelas 1 Mahasiswa Mahasiswa Mahasiswa N1 N1 Mahasiswa N2 N1 N2 N1 N2 N2 N3 N4 N3 N4 Gambar 1 Struktur data kelompok dalam pengukuran berulang pada data Metode Statistika BAHAN DAN METODE Bahan Data yang digunakan adalah data nilai capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika tahun 2008/2009 pada beberapa titik waktu yang menjadi peubah respon pada level satu. Peubah penjelas pada level satu adalah waktu ujian. Peubah penjelas level dua adalah IPK TPB, jenis kelamin, dan asal daerah. Jumlah mahasiswa per kelas dan persentase nilai Pengantar Matematika minimal berhuruf mutu B merupakan peubah-peubah penjelas pada level ketiga. Struktur data dapat dilihat pada Gambar 1. Metode Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah: 1. Melakukan konversi nilai capaian Metode Statistika untuk kelas paralel yang nilai maksimumnya melebihi 100. 2. Melakukan analisis deskriptif per kelas paralel untuk mendapatkan gambaran umum data. 3. Mengeksplorasi hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan peubah-peubah penjelasnya secara grafis. 4. Melakukan centering terhadap beberapa peubah penjelas, yaitu mengurangkan data dengan rataannya. 5. Mencari model terbaik yang dapat memodelkan hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan peubah-peubah penjelasnya, dengan tahapan: 1. Memilih struktur intersep acak 2. Memilih struktur efek tetap 3. Memilih struktur kemiringan acak 6. 4. Memasukkan interaksi peubah penjelas antar level ke dalam model 5. Memilih struktur kovarian untuk sisaan pada level satu Menduga komponen ragam capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika berdasarkan model yang telah diperoleh. PEMBAHASAN Deskripsi Data Perkuliahan Metode Statistika tahun 2008/ 2009 terbagi menjadi dua waktu yaitu semester ganjil dan semester genap. Jika waktu yang berdasarkan semester itu diabaikan dan data diamati hanya pada satu angkatan (2007), maka diperoleh jumlah kelas paralel seluruhnya sebanyak 30 kelas. Urutan kelas paralel dapat dilihat pada Lampiran 1. Data yang diamati merupakan data nilai mahasiswa yang terdaftar mengambil mata kuliah Metode Statistika tahun 2008/2009. Secara umum pengambilan nilai dilakukan sebanyak dua kali, yaitu pada saat ujian tengah semester (UTS) dan ujian akhir semester (UAS). Namun ada pula dosen yang memberikan ujian lebih dari dua waktu. Dosen kelas TIN memberikan ujian Metode Statistika sebanyak tiga waktu yaitu ujian 1 saat UTS, ujian 2 (antara UTS dan UAS), dan ujian 3 saat UAS. Selain kelas TIN, kelas paralel AGH memiliki empat waktu pengambilan nilai ujian, yaitu ujian1 (sebelum UTS), ujian 2 (saat UTS), ujian 3 (antara UTS dengan UAS), dan ujian 4 (UAS). Meskipun demikian, perbedaan frekuensi ujian antar kelas paralel tidak menjadi masalah dalam analisis ini.
