Nilai Mutlak Pada Bilangan Kompleks

PENYAJIAN BILANGAN KOMPLEKS DALAM
BENTUK GRAFIK (DIAGRAM ARGAND) DAN
BENTUK KUTUB BILANGAN KOMPLEKS
Sutoyo,ST.,MT
Teknik Elektro
FST UIN SUSKA RIAU
Penyajian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Grafik
(Diagram Argand) dan Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
• Bentuk umum bilangan kompleks adalah Z = x +
jy dapat dinyatakan dalam garfik sebagai berikut,
penyelesaian dapat dilakukan secara analitik dan
grafik.
y
0
x
-x
- y
Penyajian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Grafik
(Diagram Argand) dan Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
•
•
•
•
Bilangan kompleks yang disajikan dalam bentuk grafik
ini disebut diagram argand.
Sumbu x sumbu bilangan riil
Sumbu y  Sumbu khayalan atau imajinner
Z sebagai bidang kompleks.
Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
• Jika P adalah sebuah titik dibidang Z memiliki koordianat
(x,y) atau (x + jy) maka dapat digambarkan sebagai
berikut
P (X,Y)
y
r
θ
x
Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
x = r cos θ
y = r sin θ
r  x y
2
2
x
1 x
cos      cos
r
r
y
1 y
sin      sin
r
r
Z = x + jy
Z = r cos θ + j y sin θ
Koordinat kutub = (r, θ)
Latihan Soal :
1. Kerjakan Soal berikut secara
analitik dan grafik :
a. (3+j4)+(5+2j)
b. (6-2i)-(2-5i)
c. (-3+5i)+(4+2i)+(5-3i)+(-4-6i)
Latihan soal :
1. Nyatakan Setiap bilangan kompleks berikut
dalam bentuk kutub :
a. 2  2 3 j
b. -5 + 5j
2. Z = 3 + j4 , tentukan nilai mutlak
dan koordinat kutub!
Teorema De’Moivre
• Jika
Z1  x1  jy1  Z1  r1 cos1  j sin 1 
Z2  x2  jy2  Z 2  r2 cos2  j sin 2 
• Maka Berlaku :
Z1Z 2  r1r2 cos1   2   j sin 1   2 
Z1 r1
 cos1   2   j sin 1   2 
Z 2 r2
Akar Bilangan Kompleks
•
•
Suatu bilangan W dinamakan akar ke- n dari bilangan
kompleks Z jika:
Wn = Z
W = Z1/n
Ex :
1
2
Z  Z
1
3
Z 3 Z
Akar Bilangan Kompleks
• Berdasarkan teorema De’Moivre yang telah kita pelajari
maka :
1
n
Z  r cos   j sin  
k=
1
n
 1n 
  2k
  2k
1,2,3,…..n
Z  
r Z0
cos
 j sin
n
n
 
1
n



Rumus Euler
• Bentuk umum rumus euler didefinisikan sbb:
e  cos  j sin 
jx
• Dengan nilai e = 2,71828
• Secara umum :
e e
z
 x  jy 
e e e
z
x
jy
e z  e x cos y  j sin y 
Rumus Euler
• Jika y = 0 maka :
e e
z
x
dan
• Karena cos 0 = 1 dan sin 0 = 0
• Bentuk umum rumus euler = rejθ
e
 j  n
e
jn
Contoh soal :
• Nyatakan
bilangan
kompleks
berikut dalam bentuk kutub - kutub
eulernya :
a. 2  2 3 j
b.
-5 + 5j
BONUS NILAI
Hasil Kali Titik dan Silang
• Misalkan z1 = x1 + jy1 dan z2 = x2 + jy2 hasil kali titik
(hasil kali skalar) didefinisikan sebagai berikut :
z1  z2  z1 z 2 cos  x1 x2  y1 y2  Rez1 z 2   1 2z1 z2  z1 z 2 
Hasil Kali Titik dan Silang
• Hasil kali silang disebut juga (cross) didefinisikan sebagai
berikut :
z1  z 2  z1 z 2 sin   x1 x2  y1 y2  Imz1 z 2   1 2 z1 z 2  z1 z 2 
• Sehingga :
z1 z 2  z1  z 2   jz1  z 2   z1 z 2 e j
Koordinat Kompleks Sekawan (Complex
Conjugate Coordinate)
• Tanda
minus berubah menjadi
sebaliknya .
positif
begitu
pula
Latihan soal :
•
a.
b.
Jika z1 = 3-4j dan z2 = -4 + 3j tentukan :
z1 . Z2
Z1 x z2
End of slide
wassalam