persamaan diferensial tingkat satu pangkat satu (variabel terpisah)

Yulvi Zaika, Dr.Eng


Persamaan
diferensial
adalah
suatu
persamaan yang memuat satu atau lebih
turunan fungsi yang tidak diketahui.
Contoh;
y
 x2  x  2
x
2 y
 2x 1
2
x
( y ' ' ' ) 2  2 y ' y ' '( y ' ' )3  0




Tingkat/ orde : tergantung pada tingkat/orde
tertinggi dari turunan
Derajat/Pangkat: Ditentukan oleh
pangkat/derajat tertinggi dari tingkat / orde
yang tertinggi
Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah
tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Biasa(PDB).
Jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan
Persamaan Diferensial Parsial.


Hukum I: Setiap benda akan mempertahankan
keadaan diam atau bergerak lurus beraturan,
kecuali ada gaya yang bekerja untuk
mengubahnya
Hukum ini menyatakan bahwa jika resultan
gaya (jumlah vektor dari semua gaya yang
bekerja pada benda) bernilai nol, maka
kecepatan benda tersebut konstan.
Dirumuskan secara matematis menjadi:


Hukum kedua menyatakan bahwa total gaya pada
sebuah partikel sama dengan banyaknya
perubahan momentum linier p terhadap waktu
Karena hukumnya hanya berlaku untuk sistem
dengan massa konstan,variabel massa (sebuah
konstan) dapat dikeluarkan dari operator
diferensial dengan menggunakan aturan
diferensiasi. Maka

Aliran air di dalam tanah (kasus bendung)
2h
2h
2h
kx 2  ky 2  kz 2  0
x
y
z

Analisa pondasi tiang dengan beban lateral
dan balok di atas bidang elastis
4 y
EI 4   p( y ) D
z

Persamaan diferensial kolom- balok
N
 kN
t
y '2 cos 2 x  0
Suatu persamaan diferensial dimana y
sebagai peubah tak bebas yang bergantung
pada peubah bebas x atau suatu fungsi y= f (x)
disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x)
disubtitusikan ke PDB diperolehpersamaan
identitas.
Solusi umum dan solusi khusus
Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta
sembarang maka solusi disebut solusi umum,
sebaliknya disebut solusi khusus.
(1) y = cos x + c solusi umum dari
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0
Karena(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6 solusi khusus
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0
Karena
(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruas
Contoh:
1. (xln x) y’ = y dimana y’ =dy/dx
2. y’=x3e-y
y(2) = 0

y= f(x)
dy/dx
xn
Nxn-1
ex
ex
ekx
kekx
ln x
1/x
loga x
1/(x ln a)
sin x
cos x
cos x
-sin x
tan x
Sec2 x
cot x
-cosec 2x
cosec x
sec x tan x
Sinh x
cosh x
cosh x
sinh x