1.Pert 1-2 PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

DEFINISI FUNGSI
Fungsi f dari himpunan X ke himpunan Y adalah hubungan dimana setiap anggota X (input)
dipasangkan dengan satu anggota Y (ouput).
Notasi : f : X  Y
X = domain = daerah asal = {x1,x2,x3,x4}
Y = co-domain = daerah kawan = {y1,y2,y3,y4,y5}
R = range = daerah hasil = {y1,y3,y4}
MEMBEDAKAN FUNGSI DENGAN BUKAN FUNGSI
a.Bukan fungsi. Karena ada anggota X, yaitu b, yang tidak punya pasangan.
b.Bukan fungsi. Karena ada anggota X, yaitu c, yang punya lebih dari satu pasangan.
c.Fungsi.
FUNGSI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS
Ditulis : Y = f(x) → dibaca : y adalah fungsi dari variabel x
Dimana :
Y = variabel terikat/dependen variabel ; x = variabel bebas/independen variabel
𝑑𝑦
Contoh 1 : 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2 → 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎 ∶ 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑑𝑥 = 3
Contoh 2 : 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 + 5 → 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎 ∶ 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 6𝑥
Perhatikan : fungsi hanya dapat diturunkan terhadap variabel x saja.
FUNGSI DENGAN LEBIH DARI SATU VARIABEL BEBAS (MULTIVARIABEL)
FUNGSI DENGAN DUA VARIABEL BEBAS
Ditulis : Z = f(x, y) atau U = f(x, y) → dibaca : z atau u adalah fungsi dari variabel x dan variabel y.
Dimana :
Z = variabel terikat ; x dan y = variabel bebas
Contoh 1 : 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑠𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑑𝑢𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 2 − 𝑥𝑦 5
Fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap x, dan dapat pula diturunkan terhadap y, yang disebut
sebagai “TURUNAN PARSIAL”.
TURUNAN PARSIAL TERHADAP X
Menunjukkan tingkat perubahan z terhadap x, dimana y dianggap tetap (tidak berubah).
Turunan parsial pertama terhadap x : 𝑓𝑥 =
𝜕𝑧
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑓
Turunan parsial kedua terhadap x : 𝑓𝑥𝑥 = 𝜕𝑥
𝜕
Turunan parsial kedua terhadap y : 𝑓𝑥𝑦 = 𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 3𝑥 2 𝑦 2 − 𝑦 5
𝜕
= 𝜕𝑥 3𝑥 2 𝑦 2 − 𝑦 5 = 6𝑥𝑦 2
𝜕
= 𝜕𝑦 3𝑥 2 𝑦 2 − 𝑦 5 = 6𝑥 2 𝑦 − 5𝑦 4
TURUNAN PARSIAL TERHADAP Y
Menunjukkan tingkat perubahan z terhadap y, dimana x dianggap tetap (tidak berubah).
𝜕𝑧
Turunan parsial pertama terhadap y : 𝑓𝑦 = 𝜕𝑦 = 2𝑥 3 𝑦 − 5𝑥𝑦 4
𝜕
𝜕𝑓
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Turunan parsial kedua terhadap y : 𝑓𝑦𝑦 = 𝜕𝑦
Turunan parsial kedua terhadap x : 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕
= 𝜕𝑦 2𝑥 3 𝑦 − 5𝑥𝑦 4 = 2𝑥 3 − 20𝑥𝑦 3
=
𝜕
𝜕𝑥
2𝑥 3 𝑦 − 5𝑥𝑦 4 = 6𝑥 2 𝑦 − 5𝑦 4
Contoh :
𝐷𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎𝑕𝑢𝑖 ∶ 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 2𝑥 2 − 𝑦 2 . 𝐶𝑎𝑟𝑖𝑙𝑎𝑕 𝑘𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑔𝑢𝑛𝑔 𝑑𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 (1,1,1)
𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 ∶
𝑎. 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑦 = 1
𝑏. 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑥 = 1
JAWAB :
𝜕𝑓
𝜕
𝜕𝑓
𝑎. 𝑓𝑥 =
=
4 − 2𝑥 2 − 𝑦 2 = −4𝑥 →
1,1,1 = −4 1 = −4
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑏. 𝑓𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕
𝜕𝑓
=
4 − 2𝑥 2 − 𝑦 2 = −2𝑦 →
1,1,1 = −2 1 = −2
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑦
SOAL UNTUK DICOBA SENDIRI
𝐶𝑎𝑟𝑖𝑙𝑎𝑕 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑠𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑒 2 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 ∶
1. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 4 𝑦 2 + 𝑥𝑦 2 + 4𝑦
2. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 5𝑥 4 𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3
3. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 7𝑥 7 + 6𝑦 2 + 2𝑥𝑦
4. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦
5. 𝑓 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥 + sin 𝑦
PERSAMAAN DIFERENSIAL
1.PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA /ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION (ODE).
2.PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL/PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION (PDE).
(Yang kita bahas yang berwarna biru).
BENTUK UMUM PDE ORDE DUA DENGAN DUA VARIABEL
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝐴 2 +𝐵
+𝐶 2 +𝐷
+𝐸
+ 𝐹𝑢 + 𝐺 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Dimana :
A, B, C, D, E, F, G = koefisien, bisa konstan atau merupakan fungsi dari x atau y, tetapi bukan fungsi dari u
KLASIFIKASI PDE
Berdasarkan nilai Diskriminan : 𝐷 = 𝐵2 − 4𝐴𝐶
1.Disebut tipe Hiperbolik, jika : 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0
2.Disebut tipe Parabolik, jika : 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0
3.Disebut tipe Eliptik, jika : 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0
MODEL PERSOALAN PDE
1.Tipe Hiperbolik (Perambatan)
a.Persamaan Adveksi (Linier Orde Satu)
𝜕𝑢
𝜕𝑢
+𝑐
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
b.Persamaan Gelombang (Linier Orde Dua)
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢
2
−
𝑐
=0
𝜕𝑡 2
𝜕𝑥 2
2.Tipe Parabolik (Kombinasi Ruang-Waktu)
a.Persamaan Burger (Non-Linier Orde Dua)
Disebut juga Persamaan Diffusi/Dispersi
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
+𝑢
=𝑣 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
b.Persamaan Fourier (Linier Orde Dua)
𝜕𝑇
𝜕2𝑇
=𝛼 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
3.Tipe Eliptik (Masalah Difusi dan Keseimbangan)
a.Persamaan Laplace/Poisson (Linier Orde Dua)
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
∇2 𝑢 = 2 + 2 = 𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 = 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 ; 𝑓 𝑥, 𝑦 ≠ 0 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛
𝜕𝑥
𝜕𝑦
b.Persamaan Helmholtz (Linier Orde Dua)
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
+
+ 𝑐2 𝑢 = 0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
Gelombang harmonik bergantung waktu, perambatan gelombang akustik.
PENYELESAIAN PDE
I.PDE SEDERHANA : INTEGRAL LANGSUNG
II.PDE LANJUT :
a.ANALITIK : Pemisahan Variabel (Deret Fourier)
b.NUMERIK :
-Finite Difference Method
-Finite Element Method
-Finite Volume Method
PDE SEDERHANA : INTEGRAL LANGSUNG
Contoh 1 :
𝑆𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 ∶
𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏 ∶
𝜕2𝑧
= cos 2𝑥 − 3𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2𝑧
𝜕 𝜕𝑧
=
= cos 2𝑥 − 3𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕
= cos 2𝑥 − 3𝑦 𝜕𝑥 → 𝜕
= cos 2𝑥 − 3𝑦 𝜕𝑥 →
= cos 2𝑥 − 3𝑦 𝑑𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑧
1
𝜕𝑧 1
1
= cos 2𝑥 − 3𝑦 𝑑 2𝑥 − 3𝑦 →
=
cos 2𝑥 − 3𝑦 𝑑 2𝑥 − 3𝑦 = sin 2𝑥 − 3𝑦 + 𝐹(𝑦)
𝜕𝑦
2
𝜕𝑦 2
2
1
1
𝜕𝑧 = sin 2𝑥 − 3𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 → 𝜕𝑧 =
sin 2𝑥 − 3𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦
2
2
1
𝑧=
sin 2𝑥 − 3𝑦 𝜕𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐺 𝑥
2
1
1
𝑧=
sin 2𝑥 − 3𝑦 − 𝜕 2𝑥 − 3𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐺 𝑥
2
3
1
𝑧=−
sin 2𝑥 − 3𝑦 𝜕 2𝑥 − 3𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐺 𝑥
6
1
𝑧 = − − cos 2𝑥 − 3𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐺 𝑥
6
1
𝑧 = cos 2𝑥 − 3𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐺 𝑥
6
Contoh 2 :
𝐶𝑎𝑟𝑖𝑙𝑎𝑕 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∶
𝜕2𝑧
= 𝑥𝑦 2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏 ∶
𝜕2𝑧
𝜕 𝜕𝑧
=
= 𝑥𝑦 2
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
1
𝜕
= 𝑥𝑦 2 𝜕𝑥 → 𝜕
= 𝑥𝑦 2 𝜕𝑥 →
= 𝑦 2 𝑥 𝜕𝑥 = 𝑥 2 𝑦 2 + 𝐹(𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
2
1 2 2
1 2 2
𝜕𝑧 = 𝑥 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐺 𝑥 → 𝜕𝑧 =
𝑥 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐺 𝑥
2
2
1
𝑧 = 𝑥 2 𝑦 3 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 + 𝐺 𝑥
6
Contoh 3 :
𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∶
𝜕2𝑧
= 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑔 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑧 𝑥, 0 = 𝑥 2 𝑑𝑎𝑛 𝑧 1, 𝑦 = cos 𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝐽𝑎𝑤𝑎𝑏 ∶
𝜕2𝑧
𝜕 𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧 1 3
=
= 𝑥2 𝑦 → 𝜕
= 𝑥 2 𝑦 𝜕𝑥 → 𝜕
= 𝑥 2 𝑦 𝜕𝑥 →
= 𝑥 𝑦+𝐹 𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦 3
1
1 3
11 3 2
𝜕𝑧 = 𝑥 3 𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 → 𝜕𝑧 =
𝑥 𝑦 + 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 → 𝑧 𝑥, 𝑦 =
𝑥 𝑦 +𝐹 𝑦 +𝐺 𝑥
3
3
32
1
𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑚𝑛𝑦𝑎 ∶ 𝑧 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 2 + 𝐹 𝑦 + 𝐺 𝑥
6
Substitusikan syarat batas kedalam penyelesaian umum, maka didapat :
1
𝑧 𝑥, 0 = 𝑥 3 0 2 + 𝐹 0 + 𝐺 𝑥 = 𝑥 2 → 𝐺 𝑥 = 𝑥 2 − 𝐹 0
6
1
1
𝑧 1, 𝑦 = 1 3 𝑦 2 + 𝐹 𝑦 + 𝐺 1 = 𝑦 2 + 𝐹 𝑦 + 1 2 − 𝐹 0 = cos 𝑦
6
6
1 2
𝐹 𝑦 = cos 𝑦 − 𝑦 − 1 + 𝐹 0
6
Substitusikan G(x) dan F(y) kedalam penyelesaian umum, sehingga diperoleh :
1
1
𝑧 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 2 + cos 𝑦 − 𝑦 2 − 1 + 𝐹 0 + 𝑥 2 − 𝐹 0
6
6
1 3 2
1 2
𝑧 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 + cos 𝑦 − 𝑦 − 1 + 𝑥 2
6
6