SDOF2 Respons Getaran Bebas [Compatibility Mode]

2/17/2016
Respons Getaran Bebas
SDOF System
Sebuah sistem dinamis tidaklah seperti sistem statis,
sistem dinamis dapat bergetar walaupun tidak ada gaya
luar yang bekerja pada sistem tersebut.
Contohnya sebuah portal akan bergetar setiap saat
dikerjakan perpindahan awal dan dilepaskan lagi atau
dikerjakan percepatan awal
Mempelajari respon getaran bebas
adalah penting untuk mengerti
respon struktur terhadap
pembebanan gempa.
Persamaan getaran bebas suatu
struktur linier didapat dari persamaan
dinamis yang telah diturunkan
sebelumnya dengan F(t) = 0
u1
1
Persamaan Dinamis
m.u  c.u  k .u  F (t )
m.u  c.u  k .u  0
Persamaan diatas: linier, 2nd degree equation, homogeneous
equation
Getaran Bebas SDOF System Tak Teredam
(Undamped Free Vibration)
Struktur tanpa redaman (c=0)
m.u  k .u  0
Penyelesaian persamaan diatas:
(1)
(2)
(3)
u  A cos t
u  B sin t
u  A cos t  B sin t
(Penyelesaian umum)
2
1
2/17/2016
Coba Penyelesaian (1)
u  A cos t
u   A sin t
u   A 2 cos t
m.u  k .u  0
Substitusikan pada persamaan dinamis
m.( A 2 cos t )  k ( A cos t )  0
( m 2  k ) A cos t  0
Agar persamaan benar untuk setiap t waktu, maka:
A cos  t  0 , sehingga
 m .


2
 
2
( m 
2
 k)  0
 k  0
k
m
k
m
(Natural frekuensi dari sistem)
3
Coba Penyelesaian Umum (3)
u  A cos t  B sin t
u   A sin t  B cos t
Kondisi batas yang diperlukan untuk mendapatkan A dan B adalah
t  0  u  u0
t  0  u  u0
Maka
uo , uo
= perpindahan dan percepatan awal
u0  A cos  (0)  B sin  (0)
u0  A  A u 0
u0   A sin  (0)  B cos  (0)
u
u0  B  B  0

Jadi :
Penyelesaian umum persamaan
u  u0 cos t 
u0

sin t
mu  ku  0
adalah
4
2
2/17/2016
Dalam bentuk lain:
u   sin(t   )
dimana
 uo 

 
2
  uo 2  
k
m
u
tan   0
u0

5
Frekuensi dan Periode
Penyelesaian untuk u =  sin (t+) merupakan getaran harmonis
 = frekuensi putaran (rad/dt)
f 

2
1 2
T 
f

= frekensi bolak balik (1/dt atau Hertz)
= Periode (dt/putaran atau detik)

u0
V0
=amplitudo
t

u0
T (Periode)
6
3
2/17/2016
Contoh
Hitung periode dasar dari rangka beton bertulang seperti pada
gambar, anggap balok mempunyai kekakuan tak terhingga. Ec =
30000 MPa
M = 500 ton
Ib= ~
4m 400/400
500/500
400/400
k
12 EI
l3
7
Penyelesaian
8
4