1 2. 1 Definisi fungsi eksponen Fungsi eksponensial dalam peubah

2. 1 Definisi fungsi eksponen
Fungsi eksponensial dalam peubah kompleks z  x  yi didefinisikan dengan
e z  e x (cos y  i sin y) .
Kita akan melihat bahwa dalam dalam pengertian tertentu, fungsi yang baru
didefinisikan tersebut merupakan “perluasan alami” fungsi
kompleks. Kita perhatikan, misalnya, jika
,maka
pada kasus peubah
merupakan bilangan nyata dengan
. Ini menunjukkan bahwa kelakuan eksponensial kompleks yang
didefinisikan diatas merupakan bentuk umum eksponensial nyata.
Jika adalah khayal murni
, kita mempunyai
, yang
dikenal sebagai rumus euler. Bentuk ini dapat diterapkan untuk menuliskan bentuk kutub
. Bagi bilangan kompleks
.
Kita telah membuktikan dalam contoh 4 pasal 7 bahwa fungsi eksponensial
adalah fungsi menyeluruh dan benar bahwa
.
Kenyataan ini menunjukkan lebih jauh bahwa definisi pilihan kita untuk
mempertahankan semua sifat sifat umum eksponensial nyata, yang telah dikenal baik
oleh pembaca dari buku kalkulus.
2. 2 Contoh dan noncontoh fungsi eksponen
Contoh :
f ( z )  e z  1, z  C .
g ( z)  e z 2 , z  C .
Misal z  x  yi , k ( z )  x  e ln x , x  0 .
Non contoh :
Pada dasarnya semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksponen asalkan nilai fungsi
tersebut lebih dari samadengan 0.
h( z )   | x | , nilainya selalu negatif sehingga tidak dapat dituliskan dalam bentuk
eksponen.
2. 3 Sifat-sifat fungsi eksponen
a. e z  0
Bukti:
1
Ambil z  x  yi sebarang, akan ditunjukkan e z  0 .
Andaikan e z  0 maka
e x cos y  ie x sin y  0
Berdasarkan persamaan bilangan kompleks diperoleh
e x cos y  0 dan ie x sin y  0 secara bersama-sama.
Tetapi karena eksponensial nyata e x tidak pernah nol, maka
cos y  0 dan sin y  0 .
Tetapi hal ini tidak mungkin terjadi untuk setiap nilai y . Jadi e z  0 untuk semua z .
b. e 0  1
Bukti :
e o  e 0 (cos 0  i sin 0)  1(1  0)  1  1  1
c. e z  w  e z e w
Bukti:
Misal z  x  yi dan w  a  bi
e z  w  e ( x  a ) i ( y b )
 e xa (cos( y  b)  i sin( y  b))
 e xa (cos y cos b  sin y sin b  i(sin y cos b  cos y sin b))
 e x e a (cos y cos b  i sin y cos b  i cos y sin b  sin y sin b)
 e x (cos y  i sin y)e a (cos b  i sin b)
 ezew
d. e z w  e z / e w
Bukti :
Misal z  x  yi dan w  a  bi
2
e. e z  e z
Bukti :
Misal z  x  yi
e z  e x  yi
 e x (cos( y)  i sin( y))
 e x (cos y  i sin y)
 ez
f.
e z  e z  2i
Bukti :
Misal
g. z  x  yi , | e z | e x , arg( e z )  y
| e z || e x (cos y  i sin y) |
 (e x cos y) 2  (e x sin y) 2
 e 2 x cos 2 y  e 2 x sin 2 y
 e 2 x (cos 2 y  sin 2 y)
3
 e2x
 ex
2. 4 Contoh Soal
1. Cari semua z yang memenuhi setiap persamaan berikut:
a.
b.
Pembahasan :
a. e z  3i
e x (cos y  i sin y)  3i
e x cos y  ie x sin y  0  3i
Diperoleh
e x cos y  0
cos y  0
y

2
 k , k  
Dan
ie x sin y  3i
e x sin y  3
 e x  3
4
Yang mungkin hanya e x  3 . Jadi x  ln 3 , z  ln 3  i(

2
 k ), k   .
b. e z  1  i
e x (cos y  i sin y)  1  i
e x cos y  ie x sin y  1  i
Diperoleh
e x cos y  1 dan e x sin y  1
e 2 x (sin 2 y  cos 2 y)  1  1
e2x  2
e 2 x  e ln 2
2 x  ln 2
x
1
ln 2
2
Masukkan x ke persamaan
e x cos y  1
e
1
ln 2
2
cos y  1
2 cos y  1
cos y 
y

4
1
2
 2k , k  
2. Buktikan bahwa
Pembahasan :
,
3.
Buktikan bahwa fungsi fungsi berikut tidak analitik dimanapun
5
c.
d.
e.
Pembahasan :
a. Ambil sebarang
Misal
, akan dibuktikan
tidak analitik di
berarti
Maka
,
,
,
,
Andaikan
b. Buktikan
tidak analitik dimanapun
Misal
berarti
Maka
,
,
,
,
berarti
Jadi
tidak analitik dimanapun
c. Ambil sebarang
Missal
adit
tidak analitik di
,
,
,
6
,
,
Andaikan
–
Tidak terpenuhi dimanapun 
Jadi
tidak analitik di
. Karena
sebarang maka
dimanapun
4. Nyatakan kebenaran bahwa
Pembahasan :
Diketahui
, misal
adit
7
tidak analitik