fismat kelompok 4-1

TUGAS FISIKA MATEMATIKA
“BILANGAN KOMPLEKS”
Dosen Pengajar : Dra.Imas Ratna Ermawati M.pd
DI SUSUN OLEH :
1. Fadhilatul Ulya 110113505(****)
2. Hexa Husna Khumairohaz 110113507(****)
3. Nila Kurniati 1101135013(****)
4. Tanti Salmah 1101135021(****)
PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA
2013
Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan
kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian
dari himpunan bilangan kompleks ini.
Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian real dan bagian
imajiner (khayal). Bagian khayal bercirikan hadirnya bilangan khayal i yang didefinisikan
sebagai
Timbulnya bilangan kompleks dapat diikuti dari proses matematika yang sederhana, yaitu
dari persamaan kuadrat :
dimana cara penyelesaiannya sudah teramat populer, yaitu rumus abc, yang menghasilkan
dua akar sekaligus :
dimana diskriminan :
Untuk nilai diskriminan D 0, tidak ada masalah, karena akar-akar persamaannya bersifat
real menurut persamaan (1.3). Nah, untuk kasus D < 0, di dalam matematika dasar dikatakan
bahwa persamaan kuadrat (1.2) tidak memiliki akar real. Implikasi selanjutnya adalah
bahwa akar persamaannya termasuk bilangan kompleks. Bila diskriminan negatif itu
dituliskan
D = d2, maka akar kompleksnya adalah :
Dalam himpunan bilangan kompleks, x1 dan x2 dikatakan sebagai konjugat (sekawan)
satu terhadap yang lain, karena perkalian antar mereka akan menghasilkan bilangan real.
Sifat - Sifat
yang dimiliki bilangan kompleks akan dibahas lebih lanjut di bagian-bagian berikutnya.
Penyajian bilangan kompleks :
1. Bentuk rectangular
x = Re(z) - bagian real
y = Im(z) - bagian imajiner
bilangan kompleks dapat digambarkan
pada bidang Argand seperti tampak
pada gambar di atas.
Semua titik yang berada pada sumbu
Re(z) mewakili garis bilangan real.
2. Bentuk Polar
r = |z| - modulus bilangan kompleks
= arg(z) - argumen bilangan kompleks
Range utama argumen : 0 Arg(z) < 2
sehingga : arg(z) = Arg(z) + k.2
Hubungannya dengan bentuk rectangular tampak dari gambar di bidang Argand :
3. bentuk eksponen
bentuk ini dapat diperoleh dari bentuk polar (1.7) dengan mengingat hubungan fungsi
trigonometri dengan eksponensial kompleks :
Bentuk yang sering dipakai adalah bentuk rectangular (1.6) dan eksponensial (1.9). Bentuk
eksponensial banyak dipakai dalam operasi pemangkatan dan perkalian, juga pada kasuskasus yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti peristiwa perambatan gelombang,
getaran, dan lain-lain.
Perlu ditambahkan bahwa di antara dua bilangan kompleks z1 dan z2 hanya dikenal hubungan
dengan pengertian :
Pengertian lebih besar (>) atau lebih kecil (<) tidak ada dalam perbendaharaan kata himpunan
bilangan kompleks.
Operasi Bilangan Kompleks
Operasi aljabar
1. Penjumlahan :
operasi penjumlahan dilakukan pada masing-masing bagian. Bagian real dijumlahkan
dengan bagian real, bagian imajiner dengan bagian imajiner. Pengurangan adalah
penjumlahan dengan nilai negatifnya.
2. Perkalian :
Tampak bahwa perkalian antara 2 bilangan kompleks lebih sederhana apabila
dilakukan dalam bentuk polar eksponensial (1.13b). Modulus hasilnya adalah perkalian
antara modulus kedua bilangan itu, sedangkan argumen hasil tersebut merupakan
jumlahan dari argumen-argumennya.Pembagian adalah proses perkalian dengan
kebalikan bilangan. Dalam bentuk eksponensial kebalikan bilangan kompleks memiliki
argumen yang negatif.
3. Pemangkatan :
Operasi pemangkatan juga memanfaatkan kemudahan yang dimiliki oleh bentuk
eksponensial
dimana n adalah sembarang bilangan real
Persamaan (1.15) biasa dikenal dengan dalil de Moivre. Contoh pemanfaatan dalil ini
adalah perhitungan akar persamaan :
Tampak bahwa penyelesaian realnya adalah1, bagaimana dengan penyelesaian
kompleksnya?
Ternyata mudah sekali untuk dikerjakan :
Penyelesaian ini sudah lengkap, yaitu 5 buah akar persamaan untuk nilai k = 0 sampai
dengan 4. Penyelesaian z = +1 adalah untuk k = 0.
4. logaritma :
Sekali lagi bentuk eksponensial menampakkan keunggulannya di dalam operasi logaritma
ini. Sebuah hal penting yang perlu dicatat adalah fungsi logaritma di dalam himpunan
bilangan kompleks sebenarnya adalah fungsi bernilai jamak (multi-valued), artinya
untuk sebuah bilangan z, nilai logaritmanya lebih dari sebuah (dalam hal ini tak
hingga banyaknya). Hal ini tampak pada persamaan (1.16) yang seharusnya memakai
arg(z) di ruas kanan, bukan nilai utama Arg(z). Tetapi untuk membatasi agar fungsi ini
bernilai tunggal (single-valued), range argumen dibatasi pada range utamanya saja (0 
< 2).
Operasi konjugasi
Istilah konjugat sudah disinggung di bagian depan. Jika dua bilangan kompleks dikalikan
menghasilkan bilangan real, kedua bilangan itu lantas disebut konjugat satu terhadap
yang lain. Suatu bilangan kompleks z memiliki sekawan (konjugat) z* yang didefinisikan
dan ditulis sebagai :
sehingga perkaliannya dengan z menghasilkan bilangan real :
Sifat ini dimanfaatkan untuk me-real-kan penyebut dalam pecahan bilangan kompleks,
karena menurut persamaan (1.18) :
Sifat lain bilangan konjugat ini adalah distributif terhadap penjumlahan maupun perkalian :
Hal lain yang menyangkut konjugat adalah bagian real dan imajiner suatu bilangan kompleks
z:
Dalam matematik, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk
dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai
sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan
real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka
bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun
bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap
persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan
riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol
untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.
Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau
. Bilangan real, R,
dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real
sebagai bilangan kompleks:
.
Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar
seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i 2 = −1:
(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i
(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i
Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan
bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real,
berupa aljabar tertutup.
Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar
teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks,
polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.
Definisi
NOTASI DAN OPERASI
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi
sebagai berikut:


Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan
bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.
Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang
bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan
titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.
Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini,
himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.
Dalam C, berlaku sebagai berikut:

identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)

identitas perkalian ("satu"): (1, 0)

invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)

invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b):
Notasi
Bentuk Penjumlahan
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku
pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
Bentuk Polar
Dengan menganggap bahwa:
dan
maka
Untuk mempersingkat penulisan, bentuk
.
Bentuk Eksponen
Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:
Bidang kompleks
juga sering ditulis sebagai
Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem
koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.
Koordinat Cartesian bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan
koordinat sirkularnya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga
argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan
Rumus Euler, dapat diperoleh:
Kadang-kadang, notasi r cis φ dapat juga ditemui.
Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua
nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua
argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:
dan
Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan
perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan
secara bersamaan.
Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (
radian).
Secara geometris, persamaan i2 = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan
rotasi 180 derajat (
radian).
Contoh Soal:
1. Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y ).
Jika z =
kompleks!
, tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang
Jawab:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.
z=
z=
z=
z=
z=
Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y =
Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:
.
Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud.
2. Jika z1 = z2 = z3.
z1 = c + a .
z2 = b + 2c .
z3 = a+2 - d .
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!
Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+s dikatakan sama jika
dan hanya jika p = r DAN q = s.
Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.. ^^
z1 = z2 = z3
c + a = b + 2c = a+2 - d .
c = b = a+2 ... (i)
a = 2c = -d ... (ii)
c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)
Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4 .
3.
= ....
Jawab:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan
konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah).
=
====-=
====-=
====-=
====-=
Bilangan kompleks
Dari persamaan kuadrat
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Bisa dibentuk rumus ABC jika A lebih dari Satu
𝑥1.2 =

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Jika 𝐵2 − 4𝑎𝑐 lebih besar tidak sama dengan 0 maka; √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 >≠ 0 berarti harga x yang
didapat riel

Jika 𝐵2 − 4𝑎𝑐 < 0 maka √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 menjadi suatu bilangan (-), harganya bukan jelas suatu
real.

Bilangan kompleks adalah besaran yang bentuknya
𝑧 = 𝑥 + 𝑖. 𝑦
Dimana :
𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑖 = 𝑖𝑚𝑎𝑗𝑖𝑛𝑒𝑟
𝑖 = √−1 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑖 2 = −1
Hukum bilangan kompleks
1. 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 0, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑥 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 0
2. 𝑧1 ± 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) ± (𝑥2 + 𝑖𝑦2 ) = (𝑥1 ± 𝑥2 ) ± (𝑦1 ± 𝑦2 )𝑖
3. 𝑧1 . 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1 ). (𝑥2 + 𝑖𝑦2 ) = (𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ) + 𝑖(𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 )
4.
𝑧1
𝑧2
=
𝑥1 +𝑖𝑦1
𝑥2 +𝑖𝑦2
=
𝑥1 +𝑖𝑦1 𝑥2 −𝑖𝑦2
.
𝑥2 +𝑖𝑦2 𝑥2 −𝑖𝑦2
=
𝑥1 𝑥2 +𝑦1 𝑦2
𝑥12 +𝑦12
+𝑖
𝑥2 𝑦1 −𝑥1 𝑦2
𝑥22 +𝑦22
Asal 𝑥1 + 𝑖𝑦2 ≠ 0
5. 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 → 𝑚𝑒𝑚𝑝𝑢𝑛𝑦𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑗𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑥 − 𝑖𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖 𝑛𝑜𝑡𝑠𝑖 𝑧̅
Contoh Soal :
1. 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 = 0
Penyelesaian
𝑥12 =
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥12 =
−2 ± √22 − 4.1.2
2.1
𝑥12 =
−2 ± √4 − 8
2
𝑥12 =
−2 ± √−4
2
𝑥12 =
−2 ± √4√−1
2
𝑥12 =
−2 ± 2𝑖
2
𝑥1 =
−2 + 2𝑖
2
−2 2
+ 𝑖 = −1 + 𝑖
2
2
=
𝑥2 =
−2 − 2𝑖
2
=
−2 2
− 𝑖 = −1 − 𝑖
2
2
Untuk gambar diagram agrand
y
p
r
θ
x
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
𝑧 = 𝑥 + 𝑖 𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑟 sin 𝜃
Bilangan komplek dalam kutub magnet
𝑧 = 𝑟 (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃)
Contoh soal
Buktikan
1. Z = 3 + 4z
Penyelesaian
𝑦
4
Tan θ = 𝑥 = 3
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan 1,33 = 53,1
Z = r ( cosθ+ ί sinθ)
= 5 ( cos 53,1 + ί sin 53,1)
= 5 ( 0,60 +ί 0,79)
= 3 + ί 3,95 → terbukti
Z = r = √𝑥 2 + 𝑦 2
= √32 + 42
= √9 + 16
= √25 = 5
2. ( 3 + 2 ί ) (5 - 2ί ) bentuk dalam bilangn polar !
Penyelesaian :
( 3 + 2 ί ) (5 - 2ί )= 15 - 9ί + 10ί – 6 𝑖 2
= 15 + ί +6
= 21 + ί
3.
1−𝑖
1+𝑖
bentuk kedalam billangan kompleks !
Penyelesain :
1 − 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 − 𝑖 + 𝑖 2 −2𝑖
=
𝑥
=
=
= −𝑖
1 + 𝑖 1 + 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 + 𝑖 − 𝑖2
2
4. Cos x dan sin x, bentuk kedalam max laurentz !
Penyelesaian :
a. Cos x , n = 5 , b = 0
𝑦 = cos x
f (b) = cos 0 = 1
𝑦 ′ = -sin x
f’(b) = -sin 0 = 0
𝑦 ′′ = - cos x
f’’(b) = -cos 0 = -1
𝑦 ′′′= sin x
f’’’(b)= sin 0 = 0
𝑦 ′𝑣 = cos x
𝑓 ′𝑣 (b)= cos 0 = 1
𝑦 𝑣 = - sin x
𝑓 𝑣 (b) = - sin 0 = 0
Deret max laurentz
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) +
𝑓4 (𝑏)
4!
𝑓 ′ (𝑏) 1
𝑓 2 (𝑏) 2
𝑓 3 (𝑏) 3
(𝑥 − 𝑏) +
(𝑥 − 𝑏) +
(𝑥 − 𝑏) +
1!
2!
3!
(𝑥 4 − 𝑏) +
𝑓5 (𝑏)
5!
(𝑥 5 − 𝑏)
=1+
0 1 −1 2 0 3 1 4 0 5
𝑥 +
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥
1!
2!
3!
4!
5!
=1−
1 2
𝑥
2!
+
1 4
𝑥
4!
−
1 6
𝑥 ……………….
6!
b. Sin x , n = 5 , b = 0
𝑦 = sin x
f (b) = sin 0 = 0
𝑦 ′ = cos x
f’(b) = cos 0 = 1
𝑦 ′′ = - sin x
f’’(b) = -sin 0 = 0
𝑦 ′′′= -cosx
f’’’(b)= -cos0 = -1
𝑦 ′𝑣 = sinx
𝑓 ′𝑣 (b)= sin 0 = 0
𝑦 𝑣 = cos x
𝑓 𝑣 (b) = cos 0 = -1
Deret max laurentz
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) +
=0+
𝑓 ′ (𝑏) 1 𝑓 2 (𝑏) 2 𝑓 3 (𝑏) 3 𝑓 4 (𝑏) 4 𝑓 5 (𝑏) 5
𝑥 +
𝑥 +
𝑥 +
𝑥 +
𝑥
1!
2!
3!
4!
5!
1 1 0 2 −1 3 0 4 1 5
𝑥 + 𝑥 +
𝑥 + 𝑥 + 𝑥
1!
2!
3!
4!
5!
1
1 5
= 0 + 𝑥 + − 𝑥3 + 0 +
𝑥
6
120
=𝑥−
1 3
1 5
𝑥 +
𝑥
6
120
𝑧 =𝑥+𝑖𝑦
= cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑦
= [1 −
=1−
𝑥2 𝑥4 𝑥6
𝑥1 𝑥 3 𝑥 5
+ − + ⋯.] + 𝑖[ − + + ⋯..]
2! 4!
6
1! 3! 5!
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
−
𝑥6
6!
+𝑖
𝑥1
𝑥!
−𝑖
𝑥3
3!
+𝑖
𝑥5
5
+ ⋯ ..
X ln
𝑧 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑦 = 𝑒 𝑖𝜃 → 𝑒𝑢𝑙𝑒𝑟
𝑒 𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑒 𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑧 =𝑥+𝑖𝑦
𝑧 = 𝑟 ( 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃)
𝑧 = 𝑟 . 𝑒 𝑖𝜃
𝑧 = 𝑟 ( 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖 sin 𝜃)
𝑧 = 𝑟 . 𝑒 −𝑖𝜃
Dari rumus diatas
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃
2
sin 𝜃 =
𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃
2𝑖
Contoh soal :
4
1. Hitung sin (𝜋 − 𝑖 ln 3) → 3 𝑖
Penyelesaian ;
𝑠𝑖𝑛𝜃 =
=
𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃
2𝑖
𝑒 𝑖(𝜋−𝑖 𝑙𝑛3) − 𝑒 −𝑖(𝜋−𝑖 𝑙𝑛3)
2𝑖
1 𝑖(𝜋−𝑖 𝑙𝑛3)
− 𝑒 −𝑖(𝜋−𝑖 𝑙𝑛3) ]
[𝑒
2𝑖
1
2
2
= [𝑒 𝑖𝜋−𝑖 ln 3 − 𝑒 −𝑖𝜋+𝑖 ln 3 ]
2𝑖
1
2
2
= [𝑒 𝑖𝜋−𝑖 ln 3 − 𝑒 −𝑖𝜋+𝑖 ln 3 ]
2𝑖
1
= [𝑒 𝑖𝜋 . 𝑒 𝑙𝑛3 − 𝑒 −𝑖𝜋 . 𝑒 −1 𝑙𝑛3 ]
2𝑖
1
= [(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃) − (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃)]
2𝑖
1
1
= [3(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃) − (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃)]
2𝑖
3
1
1
= [3(1 + 𝑖. 0) − (1 − 𝑖. 0)]
2𝑖
3
1
1
= (3 − )
2𝑖
3
1 9 1
= ( − )
2𝑖 3 3
1 8
= 𝑥
2𝑖 3
8
=
6𝑖
4
=
3𝑖
=
Teorema 2
A.
Jika Z bilangan kompleks, maka berlaku :
1. |𝑍|2 = (𝑅𝑒 (𝑍))2 + (Lm (Z))2
2. |𝑍| = |𝑍̅|
3. |𝑍 2 | = Z . 𝑍̅
4. |𝑍| ≥ |𝑅𝑒(2)| ≥ 𝑅𝑒(𝑍)
5. |𝑍| ≥ |𝐿𝑚(𝑍)| ≥ 𝐿𝑚 (𝑍)
B.
Jika Z1 . Z2 Bilangan Kompleks maka berlaku :
1. |𝑍1 . 𝑍2 | = |𝑍1 | . |𝑍2 |
𝑍
2. |𝑍1 | =
2
|𝑍1 |
|𝑍2 |
3. |𝑍1+ 𝑍2 | ≤ |𝑍1. | + |𝑍2 |
4. |𝑍1− 𝑍2 | ≥ |𝑍1. | - |𝑍2 |
5. |𝑍1− 𝑍2 | ≥ ‖𝑍1 ‖ - ‖𝑍2 ‖
Tugas : Buatkanlah teorema A diatas dengan memisalkan Z = X+iy, kemudian Berdasarkan
Hasil A Berikan juga teorema B !
1. Bukti : |𝑍1 . 𝑍2 | = |𝑍1 | . |𝑍2 |
|𝑍1 . 𝑍2 | = |(𝑋1+ 𝑖 𝑌2) . (𝑋2 + 𝑖 𝑦2 )|
= |(𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ) + 𝑖(𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 )|
= √(𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ) 2 + (𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 )2
= √𝑥1 2 𝑥2 2 + 𝑦1 2 𝑦2 2 − 2𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 + 𝑥1 2 𝑦2 2 + 𝑥2 2 𝑦1 2 + 2𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2
= √(𝑥1 2 + 𝑦1 2 )(𝑥2 2 + 𝑦2 2 )
= √(𝑥1 2 + 𝑦2 2 . √(𝑥2 2 𝑦1 2 )
= |𝑧1 |. |𝑧2 |
∴ |𝑧1 . 𝑧2 | = |𝑧1 |. |𝑧2 |
2. Buktikan
𝑍
𝑥1 + 𝑖𝑦1
𝑍2
𝑥2 + 𝑖𝑦2
| 1| = |
=|
=
=
𝑥2 − 𝑖𝑦2
𝑥2 − 𝑖𝑦2
|
𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
𝑥2 𝑦1 − 𝑥1 𝑦2
+
𝑖
|
𝑥2 2 + 𝑦2 2
𝑥2 2 + 𝑦2 2
𝑥1 𝑥2 +𝑦1 𝑦2
√(
=√
=
.
𝑥2 2 +𝑦2 2
)
2
+ (
𝑥2 𝑦1 −𝑥1 𝑦2 2
)
𝑥2 2 𝑦2 2
𝑥1 2 +𝑥2 2 +𝑦1 2 𝑦2 2 +2𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 +𝑥2 2 𝑦1 2 +𝑥1 2 𝑦2 2 −2𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2
√
(𝑥2 2 +𝑦2 2 ) 2
(𝑥1 2 +𝑦1 2 ).(𝑥2 2 +𝑦2 2)
(𝑥2 2 +𝑦2 2 )(𝑥2 2 +𝑦2 2 )
√𝑥1 2 𝑦1 2
√𝑥2 2 𝑦2 2
=
|𝑧1 |
|𝑧2 |
Terbukti
3. |𝑧1 − 𝑧2 | ≥ |𝑧1 | − |𝑧2 |
0≤ (𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 )2
0≤ 𝑥1 2 𝑦2 2 + 𝑥2 2 𝑦1 2 − 2𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2
2𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 ≤ 𝑥1 2 𝑦2 2 + 𝑥1 2 𝑦2 2
x 1 2 𝑥2 2 + 𝑦1 2 𝑦2 2 + 2𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 ≤ 𝑥1 2 𝑥2 2 + 𝑦1 2 𝑦2 2 + 𝑥1 2 𝑦2 2 + 𝑥2 2 𝑦1 2
(𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 )2 ≤ (𝑥1 2 𝑦1 2 )(𝑥21 𝑦2 2 )
2(𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 ) ≤ 2√(𝑥1 2 𝑦1 2 )(𝑥2 2 𝑦2 2 )
x 1 2 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 2 𝑦1 2 + 2𝑦1 𝑦2 + 𝑦2 2 ≤ 𝑥1 2 +𝑦1 2 + 2√(𝑥1 2 + 𝑦1 2 )(𝑥2 2 + 𝑦2 2 )
+ 𝑥2 2 + 𝑦2 2
(𝑥1 + 𝑥2 )2 + (𝑦1 + 𝑦2 )2 ≤ (√𝑥1 2 + 𝑦1 2 + √𝑥2 2 + 𝑦2 2 )
√(𝑥1 + 𝑥2 )2 + (𝑦1 + 𝑦2 )2 ≤ √𝑥1 2 + 𝑦1 2 +√𝑥2 2 + 𝑦2 2
|𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 |
Terbukti
4. Bukti |𝑧1 − 𝑧2 | ≥ |𝑧1 | − |𝑧2 |
|𝑧1 | = |𝑧1 − 𝑧2 + 𝑧2 |
≤ |𝑧1 − 𝑧2 | + |𝑧1 − 𝑧2 |
∴ |𝑧1 − 𝑧1 | ≥ |𝑧1 | − |𝑧2 |