Sistem Bilangan Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks
Sebelum mengenal bilangan kompleks, terlebih dahulu kita harus mengenal bilangan real.
Bilangan real terdiri dari bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan irasional.
1. Bilangan Asli
Bilangan asli juga dinamakan bilangan bilangan bulat positif yang dinyatakan dengan 1,
2, 3, 4, …. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana
dan pertama kali digunakan untuk menghitung.
2. Bilangan bulat negatif dan nol
Bilangan bulat dituliskan tanpa komponen desimal dan negatif dan berturut-turut dapat
dinyatakan dengan -1,-2, -3, …, dan 0.
3. Bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
𝑎
𝑏
di mana a dan b
adalah bilangan bulat dan 𝑏 ≠ 0.
4. Bilangan irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan rasional, yaitu tidak dapat dinyatakan
𝑎
sebagai 𝑏, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan 𝑏 ≠ 0. Contoh bilangan irasional
adalah √2 = 1,41423 … dan 𝜋 = 3,14159 …
Konsep bilangan kompleks muncul pada abad ke 16 ketika para matematikawan hendak
mengekspresikan seluruh akar dari suku banyak. Pada suku banyak 𝑥 2 + 1 = 0, tidak ada satu
pun bilangan real yang memenuhi nilai 𝑥. Maka diperkenalkanlah himpunan bilangan konsep
yang pada akhirnya mampu mengekspresikan seluruh akar dari setiap suku banyak.
Definisi
Bilangan kompleks 𝑧 adalah pasangan terurut (𝑥, 𝑦) dari bilangan real 𝑥 dan y, yang
dituliskan sebagai:
𝑧 = (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦
di mana 𝑖 = √−1 , disebut sebagai satuan imajiner. 𝑥 disebut sebagai bagian real dari 𝑧 dan 𝑦
disebut sebagai bagian imajiner dari 𝑧 dan berturut-turut dinyatakan dengan 𝑅𝑒 {𝑧} dan 𝐼𝑚 {𝑧}.
Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama jika dan hanya kedua bagian real sama dan
kedua bilangan imajinernya juga sama. Jika bagian real, 𝑥 = 0, maka bilangan kompleks 0 + 𝑖𝑦
atau 𝑖𝑦 disebut bilangan imajiner murni.
Operasi-Operasi Dasar Bilangan Kompleks
Misalkan diketahui dua bilangan kompleks 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 . Bentuk
operasi dengan bilangan kompleks dapat dikerjakan seperti pada aljabar bilangan real dengan
mengganti 𝑖 = √−1 atau 𝑖 2 = 1.
1. Operasi penjumlahan
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 + 𝑥2 + 𝑖𝑦2
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖𝑦1 + 𝑖𝑦2
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2 )
2. Operasi pengurangan
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 − 𝑥2 − 𝑖𝑦2
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑖𝑦1 − 𝑖𝑦2
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑥1 − 𝑥2 ) + 𝑖(𝑦1 − 𝑦2 )
3. Operasi perkalian
𝑧1 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1 )(𝑥2 + 𝑖𝑦2 )
𝑧1 𝑧2 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑖𝑥1 𝑦2 + 𝑖𝑥2 𝑦1 + 𝑖 2 𝑦1 𝑦2
𝑧1 𝑧2 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑖(𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 ) + (−1)𝑦1𝑦2
𝑧1 𝑧2 = (𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ) + 𝑖(𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 )
4. Operasi pembagian
𝑧1 𝑥1 + 𝑖𝑦1
=
𝑧2 𝑥2 + 𝑖𝑦2
𝑧1 𝑥1 + 𝑖𝑦1 𝑥2 − 𝑖𝑦2
=
∙
𝑧2 𝑥2 + 𝑖𝑦2 𝑥2 − 𝑖𝑦2
𝑧1 𝑥1 𝑥2 − 𝑖𝑥1 𝑦2 + 𝑖𝑥2 𝑦1 − 𝑖 2 𝑦1 𝑦2
=
𝑧2
𝑥2 2 − 𝑖𝑥2 𝑦2 + 𝑖𝑥2 𝑦2 − 𝑖 2 𝑦2 2
𝑧1 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 − 𝑖𝑥1 𝑦2 + 𝑖𝑥2 𝑦1
=
𝑧2
𝑥2 2 + 𝑦2 2
𝑧1 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
𝑥2 𝑦1 − 𝑥1 𝑦2
=
+
𝑖
𝑧2
𝑥2 2 + 𝑦2 2
𝑥2 2 + 𝑦2 2
Sifat-Sifat Operasi Aljabar pada Bilangan Kompleks
1. Hukum Komutatif Penjumlahan
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1
2. Hukum Komutatif Perkalian
𝑧1 𝑧2 = 𝑧2 𝑧1
3. Hukum Asosiatif Penjumlahan
(𝑧1 + 𝑧2 ) + 𝑧3 = 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3 )
4. Hukum Asosiatif Perkalian
(𝑧1 𝑧2 )𝑧3 = 𝑧1 (𝑧2 𝑧3 )
5. Hukum Distributif
𝑧1 (𝑧2 + 𝑧3 ) = 𝑧1 𝑧2 + 𝑧1 𝑧3
6. Identitas Penjumlahan
0+𝑧=𝑧+0=𝑧
7. Identitas Perkalian
𝑧. 1 = 𝑧
8. Invers Penjumlahan
𝑧 + (−𝑧) = (−𝑧) + 𝑧 = 0
Bidang Kompleks
Sumbu Imajiner
Y
P (4,5)
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
X
Sumbu Real
Bidang XY yang merupakan representasi dari bilangan kompleks disebut bidang
kompleks. Jika pada skala real, dua sumbu yang saling tegak lurus dinamakan sumbu X dan
sumbu Y, maka pada bidang kompleks atau diagram Argand, sumbu X dan sumbu Y tersebut
dinamakan sumbu real dan sumbu imajiner. Pada gambar di atas, terlihat bahwa titik P
merupakan representasi dari suatu bilangan kompleks 𝑧 = (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦. Sebagai contoh,
bilangan kompleks P dibaca (4,5) atau 4 + 5𝑖. Bilangan kompleks 𝑧 seringkali ditunjukkan
sebagai titik 𝑧.
Misalkan 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 , maka 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2 )
berkorespondensi dengan titik (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ) dan juga berkorespondensi dengan sebuah
vector dengan koordinat-koordinat tersebut sebagai komponennya. Oleh karena itu, 𝑧1 + 𝑧2
dapat diperoleh dengan cara seperti berikut.
Y
𝑧2
𝑧1+ 𝑧2
𝑧1
X
***Sudah belajar vector atau belum???
Bilangan Konjugat Kompleks
Bilangan konjugat kompleks (kompleks sekawan) dari sebuah bilangan kompleks 𝑧 =
𝑥 + 𝑖𝑦 didefinisikan sebagai bilangan kompleks 𝑥 − 𝑖𝑦 dan dinotasikan dengan 𝑧̅. Dapat ditulis
𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦. Bilangan 𝑧̅ merupakan representasi dari (𝑥, −𝑦). Catat bahwa 𝑧̅̅ = z dan |𝑧̅| = z
untuk semua 𝑧.
Sumbu Imajiner
(𝑥, 𝑦)
Sumbu real
(𝑥, −𝑦)
Pada gambar di atas terlihat bahwa secara geometri, bilangan konjugat kompleks
diperoleh dari pencerminan suatu titik 𝑧 terhadap sumbu real. Dengan demikian, diperoleh:
a. Penjumlahan antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleks
𝑧 + 𝑧̅ = (𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑥 − 𝑖𝑦)
= 2𝑥
b. Pengurangan antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleks
𝑧 − 𝑧̅ = (𝑥 + 𝑖𝑦) − (𝑥 − 𝑖𝑦)
= 2𝑖𝑦
c. Perkalian bilangan kompleks dengan konjugat kompleks
𝑧𝑧̅ = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦)
= 𝑥 2 − 𝑖𝑥𝑦 + 𝑖𝑥𝑦 − (𝑖𝑦)2
= 𝑥 2 − 𝑖𝑥𝑦 + 𝑖𝑥𝑦 − (−1)𝑦 2
= 𝑥2 + 𝑦2
Dari (a) dan (b) diperoleh rumusan: 𝑅𝑒 𝑧 =
𝑧+𝑧̅
2
dan 𝐼𝑚 𝑧 =
Selanjutnya, jika 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 , maka:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧̅1 + 𝑧̅2
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧̅1 − 𝑧̅2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 𝑧2 = 𝑧̅1 𝑧̅2
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅
𝑧
𝑧
d. ( 1 ) = ̅̅̅1, 𝑧2 ≠ 0
a.
b.
c.
𝑧2
𝑧2
Latihan Soal
1.
2.
Jika 𝑧1 = 8 + 7𝑖 dan 𝑧2 = 9 − 2𝑖, maka:
a. 𝑧1 + 𝑧2
b. (𝑧1 − 𝑧2 )2
c. 𝑧1 /𝑧2
Jika 𝑧1 = 4 + 3𝑖 dan 𝑧2 = 2 − 5𝑖, maka:
𝑧−𝑧̅
2
. Dari (c) diperoleh 𝑧𝑧̅ = |𝑧|2 .
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
Fungsi Kompleks
Misalkan S adalah himpunan bilangan kompleks, dan fungsi f pada S adalah aturan yang
menetapkan setiap z di dalam S suatu bilangan kompleks w, disebut sebagai nilai fungsi f di z,
dituliskan sebagai:
𝑤 = 𝑓(𝑧)
di mana z merupakan peubah kompleks. Jadi, S merupakan domain dari definisi fungsi f. oleh
karena itu, himpunan yang merupakan seluruh nilai fungsi f disebut sebagai jangkauan (range)
dari f.
Misalkan 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣 adalah nilai dari sebuah fungsi f pada 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka 𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑓(𝑥 +
𝑖𝑦). Setiap bilangan real 𝑢 dan 𝑣 bergantung pada variabel real 𝑥 dan 𝑦, sehingga 𝑓(𝑧) dituliskan
sebagai:
𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
Pada koordinat polar 𝑟 dan 𝜃, 𝑓(𝑧) dapat dituliskan sebagai:
𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑟, 𝜃) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜃)
Contoh 1:
Jika 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 , nyatakanlah 𝑓(𝑧) ke dalam bentuk 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) dan
𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑟, 𝜃) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜃)
Jawab:
𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 = 𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑖𝑥𝑦
dan
𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑟𝑐𝑖𝑠 𝜃) = (𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃))
2
= 𝑟 2 (cos 2 𝜃 + 2𝑖 sin 𝜃 cos 𝜃 + 𝑖 2 sin2 𝜃)
= 𝑟 2 (cos 2 𝜃 − sin2 𝜃) + 2𝑖𝑟 2 sin 𝜃 cos 𝜃
= 𝑟 2 cos 2𝜃 + 𝑖𝑟 2 sin 2𝜃
Contoh 2:
Diketahui 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 + 𝑧 − 3. Nyatakanlah fungsi f ke dalam bentuk 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
dan 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑟, 𝜃) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜃)
Limit Fungsi Kompleks