BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi A

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
BAB 3.Penerapan Diferensial
Fungsi Sederhana dalam Ekonomi
A. Elastisitas
Elastisitas merupakan persentase
perubahan y terhadap persentase
perubahan x.
1.1 Elastisitas Permintaan
Elastisitas Permintaan adalah
besarnya
perubahan
jumlah
permintaan
barang,
akibat
adanya perubahan harga.
 Rumus elastisitas permintaan
ηd=
→
P
dQd
dP . Qd ,
Ket : Qd  fungsi permintaan ,
P Harga
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Permintaan suatu barang dikatakan bersifat:
Elastis → jika
ηd
> 0  jika harga barang
tersebut berubah sebesar presentase
maka permintaan terhadapnya akan
dengan persentase yang lebih besar
perubahan harganya
Inelastis → jika
ηd
< 0  jika harga barang
tersebut berubah sebesar presentase
maka permintaan terhadapnya akan
dengan persentase yang lebih kecil
perubahan harganya
Uniter
→
tertentu,
berubah
daripada
tertentu,
berubah
daripada
jika η d = 0  jika harga barang
tersebut berubah sebesar presentase tertentu,
maka permintaan terhadapnya akan berubah
dengan persentase yang sama dengan perubahan
harganya
Contoh : Fungsi permintaan akan suatu
barang
→
Q = 25 – 3 P 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Tentukan elastisitas permintaannya pada
tingkat harga P = 5.
Jawab :
= - 6 (5)
→
→η d =
(5)
25 − 3(5) 2
dQd
dP
.
P
Qd
=(-6P)
P
25 − 3P 2
=3
η d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan
harga P = 5, jika harga barang naik
sebesar 1 %, maka permintaannya akan
turun sebanyak 3 % .
1.2 Elastisitas Penawaran
adalah adalah besarnya perubahan
jumlah barang yang ditawarkan, jika
ada perubahan harga
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
 Rumus Elastisitas Penawaran
η s = dQ
dP
s
.
P
Qs
Ket : Qs  fungsi penawaran ,
P Harga
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat:
Contoh : Fungsi penawaran suatu barang
diperlihatkan → Q = - 200 + 7 P 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Tentukan
elastisitas
penawarannya,
pada tingkat harga P = 10
Jawab : η s =
dQs
dP
.
P
Qs
= ( 14 P )
P
− 200 + 7 P 2
(10)
η
Pada P = 10 → s = (14)(10) − 200 + (7)(10) =
2
2,8 ( elastis )
η s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P
= 10, jika harga barang naik 1 % , maka
jumlah barang yang ditawarkan juga akan
naik sebanyak 2,8 %.
1.3 Elastisitas Produksi
Elastisitas Produksi adalah besarnya
perubahan jumlah output yang
dihasilkan, karena adanya perubahan
jumlah input.
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
 Rumus Elastisitas Produksi
dP
x
η p = dx . P
Ket : Pjumlah produk yang dihasilkan
(output)
xjumlah faktor produksi yang
digunakan (input)
Contoh : Fungsi produksi suatu barang
ditunjukkan P = 6 X 2 – X3 Hitung elastisitas
produksinya, pada tingkat penggunaan
faktor produksi (input) sebesar X = 3
dP
x
 Jawab : η p = dx . P =
X
( 12 X – 3 X ) 6 X 2 − X 3
2
 Pada X = 3 →
η
p
=
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
3
 ( 12 . 3 – 3 . 3 ) 6(3) 2 − (3) 3 = 1
2
 η
p
= 1 (uniter) artinya pada tingkat
penggunaan input X = 3 , jika input
ditambah 1 %, maka jumlah produksi
(output) juga akan bertambah 1 %.
B. Biaya Marjinal dan Penerimaan
Marjinal
1. Biaya Marjinal
Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya
biaya yang harus ditambahkan , jika
jumlah produksi ditambah 1 unit.
dC
Rumus biaya marjinal MC = TC = dQ dan
MC minimum jika MCI = 0
I
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Contoh :
Biaya total (TC) = f (Q) = Q 3 – 3 Q 2 + 4 Q + 4
Biaya Marjinal (MC) = TC ‘ = 3 Q 2 – 6 Q + 4
Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah
biaya marjinal minimum ? Berapa besarnya
biaya marjinal minimum tersebut ?
 Jawab = MC minimum pada MC ‘ = 0
MC ‘ = 6 Q – 6 = 0 → 6 Q = 6 → Q = 1 → MC
minimum
MC minimum = 3 Q 2 – 6 Q + 4 = 3 ( 1 ) 2 –
6(1)+4=6
 Jadi besarnya biaya marjinal minimum
sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit.
2. Penerimaan Marjinal
Penerimaan Marjinal adalah besarnya
tambahan penerimaan, jika jumlah
produksi atau barang yang terjual
bertambah 1 unit
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
 Rumus penerimaan marjinal MR = TR
I
=
dR
dQ dan TR maks. Jika MR = 0
Contoh : fungsi permintaan suatu barang
→
P = 16 – 2 Q
Berapakah besarnya penerimaan maksimum ?
Jawab :
Fungsi Penerimaan Total (TR) = P.Q =
(16 – 2 Q) (Q) = 16 Q – 2 Q 2
Penerimaan Marjinal (MR) = TR ‘ = 16 – 4 Q
TR akan maksimum jika MR = 0 → 16 – 4 Q = 0
→
4 Q = 16 → Q = 4
TR Maks. = 16 Q – 2 Q 2 = 16 (4) – 2 (4) 2 = 32
Jadi besarnya penerimaan total maksimum
sebesar Rp. 32,00
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
C. Utilitas Marjinal
Utilitas marginal (MU)utilitas tambahan
yang diperoleh dari setiap unit barang yang
dikonsumsi.
Fungsi utilitas total dinyatakan dengan U=
f(Q) dimana U melambangkan utilitas total
dan Q jumlah barang yang dikonsumsi,
maka utilitas marginal :
MU = U’ = dU / dQ
Kurva utilitas marginal (MU) selalu
mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas
total (U) berada pada posisi puncaknya.
Contoh :
U = f(Q) = 90Q – 5Q2
MU = U’ = 90 – 10Q
U maksimum pada MU = 0
MU = 0
Sehingga nilai Q = 9
Maka, Umaksimum = 90(9) – 5(9)2
= 810 – 405 = 405
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
D. Produk Marjinal
Produk marginal (MP) ialah produk
tambahan yang dihasilkan dari suatu unit
tambahan faktor produksi yang digunakan.
Secara matematik fungsi produk marjinal
merupakan derivative pertama dari fungsi
produk total. Jika fungsi produk total
dinyatakan
P = f(x) dimana P
melambangkan jumlah produk total dan x
adalah jumlah masukan,
Maka produk marginal :
MP = P’ = dp/ dx
Contoh:
Produksi total P = f(x) = 9x2 – x3
produk marjinalnya adalah
MP = P’ = 18x – 3x2
Sehingga Pmaksimum pada P’ = 0 yaitu
pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108
P berada dititik belok dan MP maksimum
pada P’’ = (MP)’ = 0 yaitu pada x = 3
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
E. Analisis Keuntungan
Maksimum
Tingkat produksi yang memberikan
keuntungan maksimum atau memberikan
kerugian maksimum dapat diselidiki
dengan pendekatan diferensial.
Fungsi keuntungan ( π ) → π = TR – TC
π akan optimum jika π I = 0
π ’’ < 0 → π maksimum
= keuntungan
maksimum
π ’’
>0
→
π minimum = kerugian maksimum
Contoh :
jika fungsi penerimaan
Dan fungsi biaya total
→
TR = - 2 Q 2 + 1000 Q
3
2
→ TC = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Berapakah
tingkat
keuntungan
maksimum ?
Jawab :
π = TR – TC =(- 2 Q 2 + 1000 Q) – (Q 3 – 59 Q 2
+ 1315 Q + 2.000)
π = - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000
Agar keuntungan maks. → π ’ = 0
→
π ’ = - 3 Q 2 + 114 Q – 315 = 0
- Q 2 + 38 Q – 105 = 0
( - Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0 → Q 1 = 3 dan Q 2 = 35
→
π ’’ = - 6 Q + 114
pada Q = 3
→
π ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 3 ) + 114
= 96 > 0
berarti pada Q = 3
, maka kerugian akan
maksimum.
pada Q = 35
→
114 = - 96 < 0
π ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 35 ) +
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
berarti pada Q = 35 , maka keuntungan
akan maksimum
→ π
= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000 = (- 35) 3 +
57 (35) 2 – 315 (35) – 2.000
→ π
→
= 13.925
jadi keuntungan maksimum sebesar Rp.
13.925,00 pada jumlah penjualan sebanyak
35 unit.
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk
Diferensiasi fungsi majemuk 
diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang
mengandung lebih dari satu macam
variabel bebas.
A. Diferensial Parsial
Diferensial Parsial  diferensiasi
secara bagian demi bagian
• Fungsi yang mengandung lebih
dari satu variabel bebas, maka
turunannya akan lebih dari satu
macam
pula.
Misal,
fungsi
memiliki n macam variabel bebas,
maka ia akan memiliki n macam
turunan.
Contoh :
y = f ( x, z )
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2

a ) f x ( x , z ) =
y '...?
b) f x ( x, z ) =

∂y
∂x
∂y
∂z
Diferensiasi Total:
∂y
∂y
dy = dx + dz
∂z
∂x
Contoh:
B. Derivatif dari Derivatif Parsial
Masing-masing turunan parsialnya
masih mungkin diturunkan lagi
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
C. Nilai Ekstrim
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
D. Optimasi Bersyarat
Apabila fungsi ingin dioptimumkan
tetapi terhambat oleh fungsi lain
yang harus dipenuhi, maka dapat
diselsaikan dengan metode :
4.1 Pengganda Lagrange
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Contoh:
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
4.2 Kondisi Kuhn-Tucker
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 2
Referensi :
http://rosihan.web.id