Fungsi Linier, Sistem Persamaan Linier (SPL)

Fungsi Linier, Sistem Persamaan
Linier (SPL), Fungsi Kuadrat dan
Fungsi Eksponen
Pengantar
 Variabel dapat dibedakan menjadi 2, yaitu : Variabel

kualitatif (sifatnya tidak tetap, berubah-ubah, yang tidak
dapa diukur seperti cita rasa, kepuasan) dan kuantitatif
(sifatnya tidak tetap, berubah-ubah, yang dapat diukur
seperti kilogram, unit, jam, rupiah).
Variabel kuantitatif dibedakan menjadi 2, yaitu : variabel
kontinyu/continuous (variabel kuantitatif yang dapat
diukur sampai dengan bilangan yang sekecil-kecilnya atau
pecahan; seperti : ukuran satuan volume, berat, panjang,
waktu, uang, dsb) dan diskrit/discrete (variabel
kuantitatif yang hanya dapat diukur dengan bilanganbilangan bulat tidak mungkin dengan pecahan; seperti :
orang, ternak dan sepatu, dsb).
 Yang dimaksud dengan fungsi adalah hubungan antara


dua buah variabel atau lebih dan saling mempengaruhi.
Contoh : y = f (x) atau z = f (x,y). x, y dan z disebut
variabel. Dalam suatu fungsi, variabel dibedakan sebagai
variabel bebas (independent variables) yang besarannya
dapat ditentukan sembarang, dan variabel tidak
bebas/dipengaruhi
(dependent
variables)
yang
besarannya dapat ditentukan setelah nilai variabel
bebasnya ditentukan terlebih dahulu.
Contoh : y = 3x + 4, bila x = 0 maka y = 4.
Fungsi aljabar mencakup fungsi-fungsi linear, fungsi
kuadrat, fungsi pangkat banyak dan pecah; serta fungsi
eksponensial dan fungsi logaritma.
Nilai fungsi adalah besaran atau nilai dari y fungsi
tersebut (nilai dari variabel dependent)
Contoh : y = f (x) adalah y = 3x + 4; jika x=3 maka y=13
 (p1,q1),(p2,q2),…,(pn,qn) ada n pasangan bilangan
Suatu himpunan pasangan bilangan teratur (HPBT)
yang disebut diatas merupakan “binary relation”, yaitu
hubungan dua hal, untuk selanjutnya disebut hubungan
basis dua (HBD). Himpunan elemen pertama suatu
hubungan binari disebut domain, himpunan elemen
kedua disebut range.
 Fungsi adalah suatu hubungan dimana untuk setiap
elemen dalam domain bersesuaian hanya dengan satu
elemen dalam range.
 Fungsi merupakan subset dari hubungan, artinya
semua fungsi merupakan hubungan, akan tetapi tidak
semua hubungan merupakan fungsi.
 Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang hubungan antara
variabel independent dan dependent_nya dapat dibedakan
dengan jelas.
contoh : z = f (x,y) adalah z = 2x + y2 + 3 ; maka : x dan y
adalah variabel independent dan z adalah variabel
dependent_nya.
 Fungsi implisit adalah fungsi yang antara variabel
independent dan dependent_nya tidak dapat dibedakan
dengan jelas.
contoh : f (x,y) = 0 adalah 2x + 3y – 5 = 0
f (x,y,z) = 0 adalah 2x + y – 3z + 4 = 0
 Koordinat diperlukan untuk menggambarkan grafik atau
fungsi dalam bidang datar melalui titik asal (origin point)
sebagai titik tolak pengukuran yang disebut koordinat
dengan absis pada sumbu horizontal (x) dan ordinat pada
sumbu vertikal (y). Contoh : fungsi y = 2x + 1, koordinat !?
1. Fungsi Linier
 Bentuk Umum dari fungsi linier : ax + by + c = 0
 dimana a, b dan c adalah konstan dengan ketentuan
bahwa a dan b bersama-sama tidak bernilai nol (a≠0,
b≠0).
 Fungsi linier atau fungsi garis lurus adalah suatu fungsi
yang variabel bebasnya berpangkat/berordo/berderajat
satu.
 Menggambar grafik fungsinya dengan menggunakan
tabel x dan y (curve tracing process)
contoh : y = 3x + 2
x
-2
-1
0
1
2
y
-4
-1
2
5
8
coba gambar grafiknya ...!?
 Grafik
fungsi linier dapat digambarkan dengan
mengunakan ciri-ciri penting, yaitu :
a. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka
y = 2, dengan titik koordinat A (0.2)
b. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka
x = -2/3, dengan titik koordinat B (-2/3,0).
c. Koefisien arah dari fungsi yaitu angka perbandingan
dari perubahan y dengan perubahan x atau = 3, atau
sama dengan a (dari ax).
Contoh : coba gambarkan grafik dari y = -2x + 3 ...!?
 Gradien (m), setiap garis lurus mempunyai arah. Arah
suatu garis lurus ditunjukkan oleh gradien garis sebagai
tangens dari sudut (tg) yang dibentuk oleh garis
tersebut dengan sumbu x.
 Gradien garis : y = ax + c  gradien : m = a
Ax + By + C = 0  gradien : m = - A
B
 Gradien melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)  m = y2-y1
x2-x1
Jenis-jenis Fungsi :
 Fungsi Aljabar adalah fungsi yang menggunakan operasi



penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,
perpangkatan, dan penarikan akar.
Fungsi Transenden adalah fungsi yang bukan fungsi
aljabar.
Fungsi Irrasional adalah fungsi bukan rasional, contoh :
y = √x + 2
Fungsi Kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah dua (fungsi berderajat dua).
y = a0 + a1x + a2x2; a2 ≠ 0
 Fungsi Kubik adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah tiga (fungsi berderajat tiga).
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3; a3 ≠ 0
 Fungsi Pangkat adalah fungsi yang fungsi yang variabel
bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol.
y = xn; n = bilangan nyata bukan nol.
 Fungsi Pecah adalah fungsi yang berbentuk pecahan.
contoh : y = x – 1
3x – 1
 Fungsi Eksponensial adalah fungsi yang variabel
bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan
nol. Contoh  y = nx; n > 0
 Fungsi Trigonometrik adalah fungsi yang variabel
bebasnya merupakan bilangan-bilangan goniometrik .
contoh  y = sin x
 Fungsi Hiperbolik adalah fungsi yang variabel bebasnya
merupakan bilangan-bilangan trigonometrik.
contoh  y = arc cos x
Cara Penulisan Fungsi
1. Fungsi explisit : y = f(x)
2. Fungsi implisit : f(x, y) = 0
3. Fungsi parameter :
x = f(t)
y = g(t); t = parameter
Persamaan Garis
1. Bentuk dua titik, melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) ; adalah:
x – x1 = y – y1
atau
x – x1 = y – y 1
x1 – x2 y1 – y2
x2 – x1 y2 – y1
2. Bentuk penggal garis, melalui titik (a,0) dan (0,b) adalah
bx + ay = ab
3. Bentuk gradien – titik, melalui gradien m dan titik (a,b);
adalah : y – b = m (x – a)
Grafik Fungsi Linier
Hubungan Dua Garis
 Dua buah garis lurus yang terletak di satu bidang
kemungkinannya dapat saling berimpit, sejajar, tegak lurus
dan berpotongan satu sama lainnya.
1. Misal garis g mempunyai gradien mg dan garis h
mempunyai gradien mh , maka :
a. Jika mg = mh maka garis g sejajar garis h
b. Jika mg x mh = -1,maka g berpotongan tegak lurus h.
c. Jika mg ≠ mh maka g berpotongan dengan h.
2. Jika  adalah sudut yang dibenyuk garis g dan h, maka
tg  =
mg - mh
g
1 + (mg x mh)

h
3. Dua garis lurus akan berimpit jika persamaan garis yang
satu merupakan kelipatan persamaan garis yang lain.
4. Misal persamaan garis g : Ax + By + C = 0
garis h : Px + Qy + R = 0
a. Jika A = B ≠ C ; maka g sejajar h
P
Q
R
b. Jika A = B = C ; maka g berimpit h
P
Q
R
c. Jika A = B ; maka g berpotongan dengan h
P
Q
2. Sistem Persamaan Linier (SPL)
 Metode substitusi
Dalam metode substitusi variabelnya dari salah satu
persamaan dinyatakan dalam variabel lain. Kemudian
variabel yang dinyatakan itu disubstitusikan ke dalam
persamaan lain.
Contoh : 3x + 2y = 8 dan 2x - 4y = 0 ; berapakah nilai
x dan y yang memenuhi sistem persamaan ?
Pers (2) : 2x = 4y  x = 2y , substitusikan ke pers (1).
3 (2y) + 2y = 8  8y = 8  y = 1, maka x = 2
 Metode eleminasi
dalam metode eleminasi salah satu variabelnya di
eleminasi atau dihilangkan dengan cara mengurangkan
persamaan yang ada.
Contoh :
dua buah buku dan tiga pensil harganya Rp.525,- lima
buah buku dan dua batang pensil harganya Rp.900,-.
Berapa harga sebuah buku dan sebatang pensil ...?
Misal : harga sebatang pensil = x dan sebuah buku = y
3x + 2y = 525 x 2 6x + 4y = 1.050
2x + 5y = 900 x 3 6x + 15y = 2.700 –
11y = 1650  y = 150
3x = 525 – (2 x 150) = 225  x = 225/3 = 75.
Jadi harga sebuah buku dan sebatang pensil :
150 + 75 = Rp.225,Coba kerjakan :
Jika x dan y memenuhi persamaan 2 + 1 = 1 & 1 – 2 = 8
x y
x y
maka
1
= ... ?
(x + y)
Jawab :
misal 1 = p dan 1 = q
x
y
Pers (1) : 2p + q = 1 x2
Pers (2) : p - 2q = 8 x1
p=2  x = ½
q = -3  y = -1/3
Jadi
1
=
(x + y)
4p + 2q = 2
p - 2q = 8 +
5p
= 10  p = 2
2q = 2-8  q = -3
1
= 1 =6
½ - 1/3
1/6
Metode distribusi (determinan)
Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)