1. Persamaan Garis dan Gradien

 1. Persamaan Garis a. Defenisi Antara dua titik berbeda hanya dapat dibuat satu buah garis lurus Pada sebuah titik dapat dibuat lebih dari satu buah garis lurus Garis lurus adalah jarak terpendek antara dua buah titik Garis Lurus adalah kumpulan titik titik yang memenuhi persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 Bentuk lain persamaan garis lurus adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 dimana 𝑚 adalah gradien atau kemiringan Hubungan garis𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 dan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑏𝑦
= −𝑎𝑥 + 𝑐
𝑦
𝑦
=
!!"!!
!
!
!
!
!
!
!
=− 𝑥+
𝑚𝑥 + 𝑛 = − ! 𝑥 + !
!
!
Persamaan di atas benar jika 𝑚 = − ! dan 𝑛 = ! Gradien garis dengan persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 adalah 𝑎
𝑚 = − 𝑏
Garis mempunyai ukuran panjang saja dan panjangnya tidak terhingga Segmen garis adalah bagian dari suatu garis yang mempunyai panjang tertentu Garis dilambangkan dengan huruf kecil sedang segmen garis dilambangkan dengan huruf kapital yang menandakan kedua ujungnya Contoh Garis 𝑘 melalui titik 𝐴 dan titik 𝐵 maka 𝐴𝐵 adalah segmen garis 𝑘 Gambar 1 b. Garis Pada Sistem Koordinat Cartesius Pada sistem koordinat Cartesius, titik 𝑥! , 𝑦! dikatakan terletak pada atau dilalui garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 atau 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 jika memenuhi 𝑎𝑥! + 𝑏𝑦! = 𝑐 atau 𝑦! = 𝑚𝑥! + 𝑛 Sebaliknya titik 𝑥! , 𝑦! dikatakan terletak diluar atau tidak dilalui garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 atau 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 jika memenuhi 𝑎𝑥! + 𝑏𝑦! ≠ 𝑐 atau 𝑦! ≠ 𝑚𝑥! + 𝑛 Garis mempunyai arah (kemiringan) sedang segmen garis mempunyai arah dan panjang tertentu yang akan dibahas pada pokok bahasan tentang vektor Kemiringan disebut juga dengan gradien diukur dengan sudut antara garis dengan sumbu 𝑋 atau garis horisontal Gambar 2 Gradien 𝒎 adalah laju perubahan ordinat terhadap perubahan absis ∆𝑦 𝑦! − 𝑦!
𝑚=
=
= tan 𝛼 ∆𝑥 𝑥! − 𝑥!
Garis horisontal 𝛼 = 0! gradiennya 𝑚 = tan 0! = 0 Garis vertikal 𝛼 = 90! gradiennya 𝑚 = tan 90! = ∞ c. Gradien Garis Antara Dua Titik Garis melalui titik 𝑥! , 𝑦! 𝑦!
= 𝑚𝑥! + 𝑛
𝑦! − 𝑚𝑥! = 𝑛
Substitusi 𝑛
=𝑛
𝑦! − 𝑚𝑥! = 𝑦! − 𝑚𝑥!
𝑦! − 𝑦!
= 𝑚𝑥! − 𝑚𝑥!
𝑦! − 𝑦!
= 𝑚 𝑥! − 𝑥!
!! !!!
=𝑚
! !!
!
Garis melalui titik 𝑥! , 𝑦! 𝑦!
𝑦! − 𝑚𝑥!
Substitusi 𝑛
𝑦! − 𝑚𝑥!
𝑚𝑥! − 𝑚𝑥!
𝑚 𝑥! − 𝑥!
𝑚
!
= 𝑚𝑥! + 𝑛
=𝑛
=𝑛
= 𝑦! − 𝑚𝑥!
= 𝑦! − 𝑦!
= 𝑦! − 𝑦!
! !!
= !! !!!
!
!
Gradien garis yang melalui dua titik 𝑥! , 𝑦! dan 𝑥! , 𝑦! adalah 𝑦! − 𝑦! 𝑦! − 𝑦!
𝑚=
=
𝑥! − 𝑥! 𝑥! − 𝑥!
d. Titik Potong Garis dan Sumbu 𝑌 𝑦!
= 𝑚𝑥! + 𝑛
𝑦! − 𝑚𝑥!
=𝑛
𝑦! −
!! !!!
𝑥!
!! !!!
!! !!!
𝑦!
!! !!!
!! !! !!! !!
−
−
=𝑛
!! !!!
𝑥!
!! !!!
!! !! !!! !!
!! !!!
!! !!!
!! !! !!! !! !!! !! !!! !!
=𝑛
=𝑛
!! !!!
!! !! !!! !!
=𝑛
=𝑛
!! !!!
Garis yang menghubungkan titik 𝑥! , 𝑦! dan titik 𝑥! , 𝑦! memotong sumbu 𝑌 dengan ordinat 𝑥! 𝑦! − 𝑥! 𝑦! 𝑥! 𝑦! − 𝑥! 𝑦!
𝑛=
=
𝑥! − 𝑥!
𝑥! − 𝑥!
e. Persamaan Garis Gradien dan Satu Titik Jika garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 melalui titik 𝑥! , 𝑦! maka 𝑦!
= 𝑚𝑥! + 𝑛
𝑦! − 𝑚𝑥! = 𝑛
Substitusi 𝑦
= 𝑚𝑥 + 𝑛
𝑦
= 𝑚𝑥 + 𝑦! − 𝑚𝑥!
𝑦 − 𝑦! = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥!
𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!
Persamaan garis dengan gradien 𝑚 melalui titik 𝑥! , 𝑦! adalah 𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥! f. Persamaan Garis Antara Dua Titik 𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥!
! !!
𝑦 − 𝑦! = ! ! 𝑥 − 𝑥! !!!!
!! !!!
!! !!!
!!!!
=!
! !!!
Persamaan garis yang melalui titik 𝑥! , 𝑦! dan titik 𝑥! , 𝑦! adalah 𝑦 − 𝑦!
𝑥 − 𝑥!
=
𝑦! − 𝑦! 𝑥! − 𝑥!