Peubah Acak Kontinu - Universitas Brawijaya

PTP: Peubah Acak Kontinu
Pertemuan ke-6/7
Dr. Adji Achmad RF, S.Si, M.Sc
Statistika, FMIPA, Universitas
Brawijaya Malang
1
• Peubah Acak X dikatakan peubah acak kontinu
bila terdapat fungsi nonnegatif f, yang
terdefinisi pada semua bilangan nyata x  (,), mempunyai sifat bahwa untuk setiap
himpunan bilangan nyata B,
P(XB) =  f ( x)dx
B
• Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang
peubah acak X danf harus memenuhi
P{X  ( -,  )} =  f ( x)dx =1

• Semua statemen peluang tentang X dapat
dinyatakan dalam term f. Misalkan B =
[a,b]maka
P{a X  b}= ab f ( x)dx
• Jika a = b maka
a
P{X=a} =  f ( x)dx =0
a
• Untuk peubah acak kontinu
a
P{X < a} = P {X  a} =  f ( x)dx

Contoh
1. Misalkan bahwa X adalah peubah acak yang
kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
C (4 x  2 x 2
f ( x)  
0

a. berapa nilai C ?
b. Hitung P{X > 1}
0 x2
selainnya
2. Banyaknya waktu, dalam jam, fungsi komputer
sebelum rusak adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang
e  x / 100
f ( x)  
 0
x0
x0
a. Berapa peluang bahwa komputer akan berfungsi
antara 50 sampai 150 jam sebelum rusak?
b. berapa peluang bahwa komputer akan berfungsi
kurang dari 100 jam
Peubah Acak Kontinu Khusus
1. Peubah Acak Seragam (Uniform)
Peubah acak X dikatakan menyebar secara
seragam pada interval (0,1) jika fungsi
kepekatan peluangnya adalah
1 0  x  1
f ( x)  
0 selainnya
Sehingga, misalkan untuk 0<a<b<1
b
P{a  X  b}   f ( x)d ( x)  b  a
a
Secara umum, kita katakan bahwa X peubah
acak seragam pada interval (,) jika fungsi
kepekatan peluangnya adalah
 1

f ( x)     
 0
 x
selainnya
Fungsi sebaran peubah acak seragam pada
interval (,) adalah
 0
 a  
F (a)  
  
 1
a 
 a
a
• Contoh
• 1. Jika X menyebar secara seragam pada
(0,10), hitung peluang
• a. X < 3
• b. X > 6
• c. 3 < X < 8
2. Bus - bus datang di pemberhentian bus
tertentu pada interval 15 menit dimulai dari
pukul 7.00 pagi. Jadi bus – bus tersebut
berhenti pada pukul 7, 7:15, 7:30, 7:45 dan
seterusnya. Jika penumpang datang pada
pemberhentian pada suatu waktu yang
menyebar seragam antara 7:00 dan 7:30,
hitung peluang bahwa dia menunggu
a. kurang dari 5 menit untuk sebuah bus
b. lebih dari 10 menit untuk sebuah bus
2. Peubah Acak Normal
Peubah acak X dikatakan peubah acak Normal
dengan parameter  dan 2 jika fungsi
kepekatan peluang X adalah
f ( x) 
1
2 
e
 ( x   ) 2 / 2 2
- < x < 
Fungsi kepekatan peluang adalah kurva
berbentuk genta yang simetrik pada .
Nilai  dan 2 merepresentasikan nilai rata –
rata dan variasi atau keragaman yang
mungkin dari X.
Beberapa contoh yang mengikuti sebaran
normal antara lain tinggi manusia, kecapatan
molekul pada gas, dan kesalahan yang dibuat
dalam pengukuran kuantitas fisik
• Fakta penting dari pebah acak normal adalah
jika X menyebar normal dengan parameter 
dan 2 maka Y = X +  menyebar normal
dengan parameter  +  dan 22.
• Implikasinya bila X menyebar normal dengan
parameter  dan 2 maka Z = (X - )/
menyebar normal dengan parameter 0 dan 1.
• Peubah acak Z dinamakan peubah acak
normal baku
=
Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak
normal baku dilambangkan dengan (x)
dimana
1 x  y2 / 2
dy
(x) =
e
2 
Nilai dari (x) telah ditabelkan
Contoh :
1. Jika X adalah peubah acak normal dengan
parameter  = 3 dan 2 = 9. Hitung
a. P{2<X<5}
b. P{X>0}
2. Suatu ujian dikatakan baik apabila nilai dari hasil
ujian dapat didekati dengan fungsi kepekatan
peluang normal. Instruktur seringkali
menggunakan nilai hasil ujian untuk menduga
parameter normal  dan 2 kemudian memberi
nilai A untuk nilai yang lebih dari +, B untuk
nilai antara  dan +, C untuk nilai antara  - 
dan , D untuk nilai antara  - 2 dan  - , dan
E untuk nilai di bawah  - 2. Berapa persen
yang akan mendapat nilai A, B, C, D dan E.
3. Peubah Acak Eksponensial
Peubah acak kontinu yang memiliki fungsi
kepekatan peluang
e x
f ( x)  
 0
x0
x0
dikatakan peubah acak eksponensial dengan
parameter .
Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak
a
eksponensial adalah :
x
F (a)  PX  a   e
0
dx
Contoh :
• Misalkan bahwa lama panggilan telepon
dalam menit adalah peubah acak
eksponensial dengan parameter =1/10. Jika
seseorang datang secara tiba – tiba pada
wartel, hitung peluang bahwa dia akan
menunggu
a. lebih dari 10 menit
b. antara 10 sampai 20 menit
Soal -soal
1. X adalah peubah acak dengan fungsi
kepekatan peluang
c(1  x 2 )  1  x  1
f ( x)  
selainnya
 0
a. berapa nilai c
b. bagaimana fungsi sebaran kumulatif dari X?
2. Suatu sistem dengan satu unit yang original
dan satu spare partnya dapat berfungsi
selama X yang acak. Jika fungsi kepekatan X
diberikan (dalam bulan) oleh
cxe x / 2
f ( x)  
 0
x0
x0
berapa peluang bahwa sistem akan berfungsi
paling tidak 5 bulan
3. Fungsi kepekatan peluang dari X, waktu hidup
dari alat elektronik tertentu (dalam jam)
diberikan persamaan berikut
 10
 2
f ( x)   x
 0
x  10
x  10
a. Hitung P{X>20}
b. Cari fungsi sebaran kumulatif dari X
4. Misalkan tinggi laki – laki dalam kelas tertentu
adalah peubah acak normal dengan
parameter  = 71 inchi dan 2=6,25. Berapa
persen dari laki – laki dalam kelas tersebut
yang mempunyai tinggi lebih dari 6,2 inchi?
Berapa persen yang lebih dari 6,5 inchi?
5. Waktu (dalam jam ) yang diperlukan untuk
memperbaiki mesin adalah peubah acak
eksponensial dengan parameter =1/2.
a. Berapa peluang bahwa waktu perbaikan
lebih dari 2 jam?
b. Berapa peluang bersyarat bahwa perbaikan
membutuhkan waktu minimal 10 jam bila
diketahui bahwa durasi perbaikan melebihi 9
jam?
6. Misalkan X mempunyai fungsi kepekatan
peluang sebagai berikut
0.2
1  x  0

f ( x)  0.2  cx 0  x  1
0
selainnya

a. Carilah c
b. Carilah F(x)
c. Gambarkan f(x) dan F(x)
d. Gunakan F(x) dari (b) untuk mencari F(-1),
F(0) dan F(1)
e. Hitung P(0 ≤ X ≤ 0.5
7. Bila Z adalah peubah acak normal baku,
hitunglah
a.
b.
c.
d.
P(0 ≤ Z ≤ 1.2)
P(-0.9 ≤ Z ≤ 0.1)
P(0.35 ≤ Z ≤ 1.66)
P(-0.3 ≤ Z ≤ 0.3)
8. Carilah nilai z, bila
a. P(Z > z) = 0.5
b. P(Z > z) = 0.8643
c. P(Z > z) = 0.90
d. P(Z > z) = 0.99