Teorema Pemetaan Kontraksi dan Penerapannya

Herry Prihawanto Suryawan
M — 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.
T e o r e m a Pemetaan K o n t r a k s i dan P e n e r a p a n n y a P a d a P e r s a m a a n Integral
Fredholm
^
H e r r y Pribawanto S u r y a w a n
.lurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
IJniversitas Sanata Dharma Yogyakarta
E-mail: [email protected]
Abstrak
Di dalam makalah ini akan dibicarakan Teorema Pemetaan Kontraksi yang menjamin eksistensi dan ketunggalan
penyelesaian suatu persamaan operator di ruang Banach, Selanjutnya teorema ini akan digunakan untuk mempelajari
persamaan integral fredholm jenis kedua baik yang linear maupun tak linear. Khususnya akan diturunkan suatu
metode iteratif untuk menentukan penyelesaian dari persamaan integral tersebut.
K a t a kunci: titik tetap. teorema pemetaan kontraksi, persamaan integral Fredliolm
Pendahuluan
Persamaan di dalam matematika seringkali dapat dituliskan dalam suatu
persamaan operator berbentuk
Tx = x
(1)
dengan T suatu operator di ruang Banach dan x adalah suatu anggota ruang Banach
yang tak diketahui. Penyelesaian dari (1) disebut titik tetap operator T. Jadi dapat
dikatakan bahwa titik tetap merupakan anggota dari ruang tersebut yang tidak berubah
terhadap aksi dari
T.
Banyak permasalahan di dalam matematika terkait dengan
eksistensi dan penentuan titik tetap. Sebagai contoh diberikan C[0,1] yaitu ruang fungsi
kontinu bemilai kompleks yang terdefinisi pada interval [0,1] dan didefinisikan operator
T : C[0,1]
C[0,1] dengan
{Tf)(x)^f{0)+\f{t)dL
o
Maka untuk setiap bilangan kompleks c, fungsi f{x) = ce' merupakan titik tetap dari
T.
Pada makalah ini akan dibicarakan salah satu teorema yang menjamin eksistensi
titik tetap dari operator di ruang Banach, yang dikenal sebagai Teorema Pemetaan
Kontraksi atau Teorema Titik Tetap Banach. Teorema ini mempunyai banyak sekali
penerapan, khususnya dalam hal menjamin eksistensi penyelesaian suatu persamaan
dalam matematika. Dalam makalah ini dibahas penerapan pemetaan kontraksi untuk
mempelajari penyelesaian persamaan integral Fredholm, yaitu persamaan berbentuk
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
273
M- 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.
(t>{x)=
Herry Prihawanto Suryawan
K{x,t)f{t)dt
dan
j\x)=
K{x,t)f{t)dt
+ Pix)
dengan fungsi p dan fungsi kernel K diberikan, sementara /
adalah fungsi yang tidak
diketahui. Persamaan integral Fredholm seringkali muncul dalam masalah
fisis dan
analisis Fourier.
Teorema Pemetaan Kontraksi dan Persamaan Integral Fredholm
Pada bagian ini pertama dibicarakan pengertian pemetaan kontraksi. Pemetaan
/ : E -> E
kontraksi
dimana
E
jika
suatu subhimpunan dari ruang bernorma disebut pemetaan
terdapat
/ ( x ) - / ( p ) <a x-y
bilangan
positif
untuk setiap x,yeE.
a <1
sehingga
berlaku
Cukup jelas bahwa setiap pemetaan
kontraksi bersifat kontinu. Contoh pemetaan kontraksi adalah pemetaan f :X ^
X
X
1
dengan /"(x) = — + — dan JT = | x e i? : x > l } .
2 X
Sekarang diberikan teorema pemetaan kontraksi dan buktinya.
Teorema 1. Jika
pemetaan
F subhimpunan
kontraksi, maka f
satu pe F sehingga
f{p)
XQ e F
dari ruang Banach
E dan f: F
mempunyai titik tetap yang tunggal, yaitu terdapat
F
tepat
=p •
Bukti: Misalkan 0 < « : < 1 sehingga
A m b i l sebarang
tertutup
/ ( x ) - / ( p ) <a x-y
dan definisikan
x,, = / ( x , , _ | ) untuk
untuk setiap x, p e F .
n = \,2,....
Pertama,
perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku
T,+i -F,
^cc x„ - x „ _ | < a- x„_, - x „ _ 2 <...<a"
Jadi untuk setiap m,n e N sehingga m<n
X.,
- x„
x, - x , .
berlaku
T,-T,-i +
-X^2
+ ...+ T)i + I
(a"-'+a"-'+...
+ a"
X|-Xo
-^n
Fi-^o
a'" ^ 0
l-a
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
274
M- 3 : Teorema Pemelaun Konlruksi.
Herry Prihawanto Suryawan
untuk m ^ CO .
Hal ini menunjukkan bahwa ( x , ) merupakan barisan Cauchy. Karena F subhimpunan
tertutup dari ruang yang lengkap. maka ada pe F sehingga .Y, ^ /; untuk n
^ao.
Selanjutnya karena
||/(p)-p||<||/(p)-x„|| + ||x„-p|
fip)-fix„J\
+ F.-P
-0
untuk n^co,
maka diperoleh bahwa f{p)
= p. Terakhir diandaikan bahwa f{q) = q
untuk suatu qe F , maka
P-q\
^\fiP)-.f\j)\^oc\p-q
Jadi haruslah p = q . m
Teorema
pemetaan
kontraksi tidak hanya
memberikan jaminan eksistensi
dan
ketunggalan, tetapi juga memberikan algoritma untuk mencari penyelesaian dari suatu
persamaan dengan prosedur iteratif.
Sifat selanjutnya merupakan perumuman dari Teorema 1, dan menjadi bagian esensial
dalam bukti eksistensi dan ketunggalan penyelesaian persamaan integral Fredholm.
Teorema 2. Diberikan
E niang Banach. Jika
T: E ^ E operator kontinu
T'" merupakan pemetaan kontraksi untuk suatu meN,
sehingga
maka T mempunyai titik tetap
tunggal.
Bukti : Menurut Teorema
1, T'"
mempunyai titik tetap tunggal
x„ e E.
yaitu
persamaan T"'x = x mempunyai penyelesaian tunggal. Jika x sebarang titik di E maka
l i m ( r " ' ) " X = Xo atau Umil'" ] " 7x = x^. Jadi
x = r ^im(r"'
X
Misalkan Txg = x^ dan Ty,, = p „ , maka T"'xg = x^, dan C Y o = To • Karena T'" pemetaan
kontraksi maka XQ = q^. Jadi E mempunyai titik tetap yang tunggal. •
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
275
Herry Prihawanto Suryawan
M - 3 : Teorema Pemelaun Kontraksi.
Teorema 3. Jika
anggota
E.
A operator linear terbatas pada ruang Banach
maka
tunggal
untuk
a
sehingga
\Af
<k\f
operator
yang
dengan
cukup
Tf = aA f + g
kecil. Lebih jaiih,
untuk setiap
mempunyai penyelesaian
definisi
feE
dan
jika
E dan g
mempunyai
k adalah
ak<\,
sebarang
titik
konstanta
maka persamaan
tetap
positif
Tf = f
tunggal.
Bukti : Karena A terbatas maka ada konstanta k sehingga||4/j-4/2||</:||/j-y^l untuk
setiap / | , /, e E . Jadi
Tf-Tf
a
Af-Af_
<ak
f - f
yang berarti T merupakan pemetaan kontraksi apabila
ct <j.
maka menurut Teorema 1, T mempunyai titik tetap tunggal.
Dalam hal demikian
•
Apabila proses iteratif diterapkan pada teorema di atas, diperoleh barisan hampiran
untuk penyelesaian persamaan operator tersebut yaitu
f sebarang anggota E
f = T_f = aAf
= g,
f_ = T{aAf,
+ g) = a'A-fQ + aAg + g,
,/;, - a"A"f
+ a"-U"'f
+ ... + a'A'g
Oleh karena itu, penyelesaian /
JXg
+ aAg + g,
dapat dituliskan sebagai
+ aAg + a'A'g
+ ... + a"A"g + ...
(2)
Secara formal, ekspansi (2) dapat diperoleh langsung dari persamaan f-aAf
dengan menjabarkan {I-aA)
{l-aA)''
=g
' menjadi deret geometri
=J + aA + a'-A-+...
(3)
Deret (3) dikenal sebagai deret Neumann.
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
276
Herry Prihawanio Suryawan
M- 3 : Teorema Pemetaan Koniraksi.
Teorema 4. ,Mc/ A operator linear terhulas pada suatu ruang Banach E dan
maka A^ ^[A-Al)
merupakan operator terbatas, A^ = ~ /
A < A
,fXi
,1=0
dan \\A- <
A-\\A
Bukti : Karena
< 1, maka
^
„=0
^
A"
<
^
<co. Oleh karena itu. dengan
/)=0
mengingat bahwa ruang semua operator linear terbatas dari £ ke £ merupakan ruang
A
„=o
Lebih jauh.
xY = i ^ Y ^ = A i :
--n
(A-u)npA-xi)
,„A\
/;=0
n=0
Dengan cara yang sama diperoleh B [ A - Al) = -AI.
A,pA-X,r^-f-tf-A
=
y A"''
-AI.
A" J
Dengan demikian diperoleh
^A"
11=0
Selanjutnya.
A,
<
A
Akibat 5. Jika
maka persamaan
11=0
A
A - A
A operator linear terbatas pada suatu ruang Banach dan
x = XQ + a Ax mempunyai penyelesaian
a A < \,
tunggal yang diberikan
oleh
'JO
x = ^a"ri"xo.
n=0
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
211
M - 5 : Teorema Pemetaan Koniraksi.
Herry Prihawanto Suryawan
Teorema selanjutnya dikenal sebagai Alternatif Fredholm untuk operator kompak selfadjoint. Teorema ini memberikan kriteria untuk eksistensi penyelesaian persamaan
operator linear.
Teorema 6. Diketahui
persamaan
A operator kompak self-adjoint pada ruang Hilbert H.
Maka
operator tak homogen
.f = Af + g
mempunyai penyelesaian
(4)
tunggal untuk setiap ge H jika dan hanya jika
persamaan
homogen
h = Ah
hanya mempunyai penyelesaian
Lebih jauh, jika persamaan
penyelesaian
(5)
trivial h = 0.
(4) mempunyai penyelesaian
maka (^g,h) = 0 untuk
setiap
h dari (5).
Bukti : Menurut teorema spektral untuk operator kompak self-adjoint (misalnya pada
Debnath [2] Th. 4.10.2), H memiliki basis ortonormal ( p j yang terdiri dari vektorvektor karakteristik dari A yang berkorespondensi dengan nilai-nilai karakteristik
{f,).
Tuliskan
T' = X ^ ' " ^ "
(6)
CO
Akan dicari penyelesaian dari (4) dalam bentuk / = ^ f , A / , • Dari sini diperoleh
X
X
X
X " " ^ " = X ^ " ^ " ^ " + X ^ " " ^ " ' y ^ " ^ ^^^^^^^
n=\
ii-\
n=]
untuk setiap ne N, asalkan A„ ^ 1. Apabila (5) tidak mempunyai penyelesaian tak nol,
maka 1 bukanlah nilai karakteristik dari A sehingga (7) benar. Oleh karena itu j i k a (4)
mempunyai penyelesaian, maka penyelesaian tersebut haruslah berbentuk
,„, i - T
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
278
Herry Prihawanto Suryawan
A/ ~ 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi..
Ini menunjukkan bahwa j i k a (4) mempunyai penyelesaian, maka penyelesaian tersebut
tunggal. Untuk memperlihatkan eksistensi penyelesaian (4), cukup ditunjukkan bahwa
deret di atas selalu konvergen. Menurut sifat nilai karakteristik operator kompak selfadjoint, berlaku Y ^ 0 dan karenanya
setiap neN.
~^
untuk suatu konstanta M dan untuk
Akibatnya,
00
~
CO
< oo .
H=l
Jadi deret di atas konvergen dan jumlahannya adalah penyelesaian dari (4). Sekarang
j i k a (5) mempunyai penyelesaian tak nol h, dan /
adalah penyelesaian dari (4), maka
f + ch merupakan penyelesaian dari (4) untuk setiap c e C . Hal ini berakibat (4)
mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Misalkan /
penyelesaian dari (4) dan h
penyelesaian dari (5), maka
{/, h) = {Af, h) + ( g , h) = (/, Ah) + ( g , h) = (/, h) +
{g,h).
Hal i n i berarti (g,/2) = 0 . Jadi j i k a (4) mempunyai penyelesaian,maka gortogonal
terhadap setiap penyelesaian dari (5). •
Selanjutnya
hasil-hasil di atas akan digunakan untuk mempelajari penyelesaian
persamaan integral Fredholm yang berbentuk
fix)
= a \K(x,yJ\y))dy
+
m
a
dengan fungsi p e L-[a,b]
dan fungsi kernel K.
Pertama dipelajari persamaan integral Fredholm jenis kedua tak homogen.
Teorema 7. Persamaan
integral
h
f{x)
mempunyai penyelesaian
[a,Z)]x[a,Z7], (j) & l}{a,b],
= ajKix,y)fiy)dy
tunggal fef[a,b],
+ ,Pix)
apabila fungsi kernel
Ih h
dan a k <\, dengan k =
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
K{x,y)'
K kontinu pada
dxdy.
279
Herry Prihawanio Suryawan
M - 3 : Teorema Temetaan Konlruksi.
B u k t i : Diperhatikan operator
h
{Tf ){x) = a j £ ( x , y)f{y)
dy + (j){x).
a
Karena ip e L-[a,b],
Tf e L'[a,b]
jika
h
.(8)
'Kix,y)fiy)dyef[a,b]
a
Menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh
Kix,y)fiy)dy
<
K{x,y)f{y)
dy
a
\Ub
<
K{x,yydy
\
RyYdy
a
Oleh karena itu,
( h
K{x,y)f{y)dy
y-
<
K{x,yydy
fiyydy
dan
h
f h
h
^^K{x,y)f(y)dy
dx<
K{x,y)-dy
JXyydy dx
a V <;
h h
<
K{x,yy
dydx
f{y)'dy.
Karena
h h
K{x, y)'
dydx < co dan
f{y)
~ dy <co
a
maka (8) dipenuhi dan ini berarti T
diperoleh hasil lain yaitu operator
A
memetakan
Z,"[<;/,/)] ke l:\cKb].
dengan definisi
{Afj{x)=
Selain itu
K{x,y)f(y)dy
a
terbatas. Dengan demikian menurut Teorema 3, persamaan operator 77 = / mempunyai
penyelesaian tunggal apabila a k <\. m
Sebagai contoh perhatikan persamaan integral
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
280
M~ 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.
f{x)
Herry Prihawanto Suryawan
=a
e \f\y)dy
.(D)
+ (l){x)
1
h h
dengan
p suatu fungsi yang diberikan.
Karena
f - e f
e -
persamaan (9) mempunyai penyelesaian tunggal j i k a a <
dxdy -
h
e
a+h
, maka
a •
-e
Teorema selanjutnya menjamin eksistensi dan ketunggalan penyelesaian persamaan
integral Fredholm tak linear.
Teorema 8. Diketahui
(a)
(b)
< M /|| untuk setiap f e L' [a, b]
K{x,y,f(y))dy
K(x. V, z,) - K{x.y,
z,)| < N{x,y)\z^-
z,j untuk .setiap x,y,z,,z,
e [a,b]
h h
(c)
\N{x,y)\~
dxdy = k' <co.
a (I
Maka persamaan integral Fredholm tak linear
h
f{x)
= a^K{x,y,f{y))dy
+ P{x)
a
mempunyai penyelesaian
a sehingga
Bukti
{Af){x)
:
=
tunggal f e L~[a,b]
untuk setiap p e L'[a,b]
dan untuk setiap
a k <\.
Perhatikan
Kix, y, fiy))
persamaan
operator
Tf = aAf + p
dengan
dy. Maka berlaku
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
281
M-3:
Teorema Pemetaan Kontraksi
.
Herry Prihawanio Suryawan
K{x.y.f{y))-K{x,y,f{y))
\Tf-Tf
h(
dy
h
K{x,y,f{y))-K{x,y,f{y))
< a
dy
dx
a V a
hfh
< a
dx
N{x,y)My)-Uy)dy
a V o
< a
Cukup jelas apabila a k <\, maka T suatu pemetaan kontraksi dan T mempunyai titik
tetap tunggal yang merupakan penyelesaian dari persamaan integral tersebut. •
Terakhir akan diturunkan suatu prosedur iteratif untuk menentukan penyelesaian
persamaan integral Fredholm berdasarkan hasil-hasil di atas.
Perhatikan persamaan operator
f = P + aTf
(10)
Jika T merupakan operator integral dengan kernel K,
h
{Tf)ix)^
\Kix,t)f{t)dt,
maka (10) merupakan persamaan persamaan integral Fredholm jenis kedua
f{x)
= P(x) +
ajKix,t)f{t)dt
.(11)
a
Dalam hal tersebut berlaku
//.
iT\n(x)
=T
A
K{x,t)f(t)dt
J
jh
h
'K{X,Z)
'Kiz,t)f{t)dt
a
dz.
J
( h
= j
\^K{x,z)K{zd)dz f{t)dt.
a \ a
Oleh
karena
K(x,z)K(z,t)dz.
itu
T'
merupakan
suatu
operator
integral
dengan
kernel
Secara induktif diperoleh secara umum
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
282
M - 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.
T"f{x)=
Herry Pribawanto Suryawan
K,XxJ)f{t)cll
untuk
n>2
a
dengan kernel £ , dari T" diberikan dengan
h
Kyxj)=
untuk n > 2 .
\K{xy)K„_Xyi)dc
a
Kernel ini juga dapat dituliskan
K„(X,/)
=
f... {Kix,
a
Selanjutnya
fyKif_,,
)...K{yOdf_yf_,
...dy
a
dengan menerapkan Akibat 5, akan diperoleh hasil di bawah terkait
keterselesaian (10) dan juga persamaan integral (11). Apabila
a T <\,
maka
persamaan (10) mempunyai penyelesaian tunggal yang diberikan oleh deret Neumann
.(12)
Jadi persamaan integral (11) mempunyai penyelesaian tunggal /
fix)
=
Y,a"-'K,Xx,l)
pix)Fa
yang diberikan oleh
Pit)dt
.(13)
a V n=\
Tuliskan r(x,/,C!') = ^ o r " ^Kyx,i),
maka penyelesaian di atas dapat ditulis dalam
n=\
bentuk
h
fix)
= pix) + a Jr(xT, a)pit) dt
(14)
a
Fungsi T sering disebut kernel resolven.
Terakhir
diberikan
penyelesaian
contoh
deret
sederhana terkait
Neumann
untuk
pembicaraan
persamaan
di atas. Akan dicari
integral
Fredholm
/ ( x ) = x + — ( / - x ) / ( / ) ri/. Pertama pilih / g ( x ) = x , m a k a
2 J
-1
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
283
Herry Prihawanio Suryawan
M- 3 : Teorema Pemetaan Kontraksi.
/ , ( x ) = X + — (t-x)tdt
2
= x + - , dan dengan menyubstitusikah f
ke persamaan semula
3
-1
I
1
diperoleh / 2 ( x ) = x + — (l-x)
2 _•
/
1X
t+V
1
X
J
3
dt = x + -
3y
. Dengan melanjutkan proses ini
diperoleh
7 (x) =
X + — -
3
^, ,
f,(x)
3
,
3-
1 x 1
= X+
= x+
X
T +
3
./4V
/2„ix)
— -
3
3-
^
,
3-
Y,(-1)"'"'3"'" - - ^ X 3 " " ' •
ni=\
ni = \
3
1
Dengan mengambil n —> co, diperoleh / (x) = — x + —. Dapat diperiksa bahwa fungsi ini
4
4
benar merupakan penyelesaian persamaan integral di atas.
Penutup
Teorema pemetaan kontraksi menjamin eksistensi dan ketunggalan penyelesaian
dari persamaan operator di ruang Banach. Penyelesaian yang diperoleh merupakan titik
tetap dari operator yang terkait. Teorema ini juga memberikan suatu prosedur iteratif
untuk
mencari
penyelesaian
persamaan
operator
tersebut.
Selanjutnya,
teorema
pemetaan kontraksi juga telah digunakan untuk mempelajari keterselesaian persamaan
integral Fredholm jenis kedua khususnya dalam penjaminan eksistensi dan ketunggalan
penyelesaian persamaan integral Fredholm jenis kedua baik yang
linear maupun tak
linear.
Daftar Pustaka
[1] Davis, B. (2002). Integral Transforms and Their Applications,
New York : SpringerVerlag.
mger-Ve
'
3" ed.
Mikusinski, P. ^{\999). Introduction to Hilbert Spaces with
[2] Debnath, L . & j^ikusinsld,
Applications, 2" ed. San Diego : Academic Press.
[3] Jerry, A . J. (1999). Introduction to Integral Equations with Applications,
ed. New York : John Wiley and Sons.
2"''
[4] Kress, R. (1989). Linear Integral Equations. New York : Springer-Verlag.
[5] Reddy, B. D. (1998). Introductory Functional Analysis with Applications to
Boundary Value Problem and Finite Elements. New York : Springer-Verlag.
[6] Zeidler, E. {\995). Applied Functional Analysis: Applications
Mathematical Physics. New York : Springer-Verlag.
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Yogyakarta, 30 Mei 2008
to
284