persamaan diferensial (pd)

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
A. PENGERTIAN
Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi
turunan terhadap variabel tersebut.
CONTOH :
dy
+ 5x − 5 = 0
dx
disebut PD orde I
d2y
+ 6x + 7 = 0
dx 2
disebut PD orde II
B. PEMBENTUKAN PERSAMAAN DEFERENSIAL
Contoh (1) : Y = A.Sin x + B cos x
Bentuklah PD nya.
A dan B konstanta sembarang.
Jawab
:
dy
= A. cos x - B sin x
dx
d2y
= - A Sin x - B cos x
dx 2
d2y
= - (A Sin x + B cos x)
dx 2
Jadi
d2y
= - y atau
dx 2
d2y
+y=0
dx 2
Persamaan Diferensial Orde 1
1
Contoh 2 :
Bentuklah persamaan Deferensial dari fungsi : y = x +
A
x
Jawab :
dy
= 1 − Ax − 2
dx
dy
A
= 1− 2
dx
x
A
maka A = x (y-x)
x
y = x+
jika
x.( y − x)
dy
= 1−
dx
x2
= 1−
( y − x)
x
=
x − ( y − x) 2 x − y
=
x
x
dy 2 x − y
dy
=
atau x . = 2 x − y
dx
x
dx
KESIMPULAN :
Jika suatu persamaan terdiri dari atas 1 Konsatanta sembarang
menghasilkan PD Orde I
Jika suatu persamaan terdiri dari atas 2 konstanta sembarang
menghasilkan PD Orde II
Persamaan Diferensial Orde 1
2
Contoh 3
Jawab
:
:
Persamaan
y = Ax2 + Bx
bentuk PD-nya
dy
= 2 Ax + B ……………(1)
dx
d2y
= 2A
dx 2
d2y
A = 1/ 2
dx 2
d2y
A = 1/ 2
dimasukkan ke pers (1)
dx 2

dy
d2y 
= 2 x.1 / 2. 2  + B
dx
dx 

dy
d2y
=x
+B
dx
dx
dy d 2 y
B=
x
−
dx dx 2
Harga A dan B dimasukkan ke soal
Y = Ax 2 + Bx
d 2 y 2  dy d 2 y 
= 1 / 2 2 x +  − 2 . x x
dx
 dx dx

d2y
dy d 2 y 2
= 1/ 2 x
+x − 2 .x
dx 2
dx dx
2
dy 1 2 d 2 y
Y = x − 2x . 2
dx
dx
Persamaan Diferensial Orde 1
3
Kesimpulan :
Persamaan diferensial Ored ke N diturunkan dari fungsi yang
mempunyai N buah konstanta sembarang.
C. PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
Prinsipnya : Menghilangkan Koefisien Deferensialnya sehingga tinggal
hubungan antara y dan x nya.
Pemecahan PD dapat dilakukan dengan cara :
Integrasi Langsung (paling mudah)
Pemisahan Variabel
Substitusi Y=V.X
Persamaan Linier (Penggunaan FI)
1. PEMECAHAN DENGAN INTEGRASI LANGSUNG → dy/dx = f(x)
Contoh 1
Pecahkanlah persamaan
Jawab:
dy
= 3x 2 − 6x + 5
dx
Y = ∫ (3x 2 − 6 x + 5)dx
Y = x3 - 3x2 + 5x + c
Jawaban ini disebut dengan jawaban umum karena masih memuat unsur c
(constanta). Jika sudah tidak memuat unsur c disebut dengan jawaban
khusus.
Persamaan Diferensial Orde 1
4
Contoh 2 Pecahkanlah permaan
dy
= 2 x + 4 , dengan y = 8, x = 1
dx
Jawab Y = ∫ ( 2 x + 4) dx
Y= x2 + 4x +c
8=1+4+c
c=3
Jadi Y = x2 + 4x + 3
( Jawaban Khusus)
2. DENGAN PEMISAHAN VARIABEL→ dy/dx = f(x,y)
Contoh
dy
2x
=
dx ( y + 1) ,
Prinsipnya F(y), dipindah ke Ruas Kiri (ke Ruas
Jawab :
dy
)
dx
( y + 1) dy = 2 x
dx
Kedua ruas di integrasikan terhadap x
∫ ( y + 1) dx dx = ∫ 2 x.dx
dy
∫ ( y + 1)dy = ∫ 2 x . dx
 y2

+ y  = x2 + c

 2

Bentuk Umum
∫ f ( y ).dy = ∫ f ( x ).dx
Persamaan Diferensial Orde 1
5
3. PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI Y = v . x
Contoh :
dy x + 3y
=
 soal ini susah memisahkan Y-nya.
dx
2x
Jawab :
Y = v . x , disubstitusikan ke persamaan :
dy x + 3(v.x) x + 3vx 1 + 3v
=
=
=
dx
2x
2x
2
Jadi :
dy 1 + 3v
=
…………… persamaan (1)
dx
2
Kita lihat Rumus :
Y = v . x, maka turunannya :
dy
dv
= v .1+ x .
dx
dx
……. persamaan (2)
Catatan : Ingat rumus Y=U.V maka Y’=U.V’+V.U’
Jika persamaan (1) dimasukkan ke persamaan (2)
1 + 3v
dv
= v+x.
2
dx
x.
dv 1 + 3v
=
−v
dx
2
x.
dv 1 + 3v 2v
=
−
dx
2
2
x.
dv 1 + v
=
dx
2
2
dv 1
.
=
(1 + v ) dx x
Persamaan Diferensial Orde 1
 Sudah dinyatakan dalam bentuk V dan X
6
Kemudian masing-masing ruas diintegrasikan ke x
 2  dv
1
∫  1 + v  dx dx = ∫ x . dx
2 n(1 + v ) = n x + c
Jika Constanta C diganti bentuk lain yaitu : C = n A
2 n(1 + v ) = n x + n A
2
n (1+ v) = n (A . x)
(1+ v)2 = A . x………………….(3)
Jika
Y=v.x  V=

1 +

y
maka persamaan (3) dapat ditulis menjadi
x
2
y
 = A x  apabila semua ruas dikalikan x2 maka
x
1 + 2 yx + y 2 = Ax 3
(x + y )2 = Ax 3
Catatan :
dy x + 3y
=
Persamaan dalam soal di atas yaitu
dx
2 x disebut sebagai
“PERSAMAAN DEFERENSIAL HOMOGEN”. Artinya X dan Y
mempunyai pangkat yang derajatnya sama , yaitu 1.
Persamaan Diferensial Orde 1
7
4. PERSAMAAN LINIER (Penggunaan Faktor Integral)
Metode penggunaan FI ini dipakai apabila metode nomor 1-3 sulit untuk
diterapkan.
dy
+ py = Q
Bentuk umum dari Persamaan Linier Orde Pertama adalah
dx
Contoh1 :
x
dy
+ y = x3
dx
Jawab :
Soal diatas dibuat menjadi berbentuk persamaan linier orde pertama
x
dy
+ y = x 3 , semua dibagi dengan x
dx
dy y
+ = x 2 atau
dx x
dy
dy 1
+ . y = x 2 , persamaan ini sama dengan
+py=Q
dx
dx x
P, Q = Konstanta fungsi x
dari persamaan tsb.
Harga P =
1
x
Harga Q = x2
Persamaan Diferensial Orde 1
8
Rumus Faktor Integral (IF)
IF = e ∫ P.dx
Karena P =
1
maka
x
Sehingga IF =
Karena
IF = e
1
∫ . dx
x
en x
e n x = x
Maka IF = x
Kembali ke soal diatas
dy 1
+ . y = x 2 → semua ruas dikalikan dengan IF
dx x
x .
dy
+ 1 . y = x 3 ..................... persamaan (1)
dx
bentuk persamaan (1) tersebut sama saja dengan y = u . v
dy
du
dv
= u.
+v.
dx
dx
dx
atau y1 = u . v1 + v . u1
Jadi harga
dy
+1. y
dx
↓ ↓
↓ ↓
x .
u
v1 + u1 v
Persamaan Diferensial Orde 1
dapat ditulis dengan
d ( y.x )
d (u . v )
atau
dx
dx
9
dy
d ( y. x )
x
.
+
1
.
=
y
Atau
dx
dx ………………..persamaan (2)
Jika persamaan (1) = persamaan (2)
d ( yx )
= x3
dx
3
Maka yx = ∫ x
masing-masing ruas kemudian diintegrasikan ke x maka,
d ( yx )
3
∫ dx dx = ∫ x dx
∫ d ( yx ) = ∫ x dx
3
Ingat jika
∫ d ( x) = x
maka
∫ d ( yx ) = yx , sehingga
1 4
yx = x + c
4
Persamaan Diferensial Orde 1
10
Jika soal diatas dikerjakan dengan menggunakan rumus FI maka akan lebih
singkat :
y . FI = ∫ Q . FI . dx
Dari penyelesaian diatas diketahui FI=x dan Q=x2 sehingga
yx = ∫ x 2 . x.dx
yang menghasilkan
1 4
yx = x + c
4
Persamaan Diferensial Orde 1
11
contoh 2 :
Pecahkanlah x
dy
− 5y = x7
dx
Jawab
x
dy
− 5 y = x 7  masing-masing dibagi x
dx
dy 5 y
−
= x 6 sudah berbentuk persamaan linier ordopertama dy + py = Q
dx
dx x
P= −
dengan
5
x
Q = x6
5
p dx
∫ − x dx
∫
e
Faktor Integral (FI) = e
=
Dimana
∫−
Jadi (FI) = e
5
5
dx = − ∫ dx = -5 ln x = ln x-5
x
x
ln( x −5 )
1
=x = 5
x
-5
Rumus Faktor integral
y . FI = ∫ Q . FI . dx
y . FI = ∫ Q . FI . dx
y.
1
6 1
=
x
. 5 .dx
5
∫
x
x
Persamaan Diferensial Orde 1
⇔
y
= ∫ x.dx
5
x
12
y 1 2
= x +c
x5 2
 jika semua ruas dikalikan x5
1 7
y = x + c. x 5
2
Persamaan Diferensial Orde 1
13