Bahan Kuliah Kalkulus Anwar Mutaqin

Bahan Kuliah Kalkulus
Anwar Mutaqin
BAB 1
INTEGRAL
1.1
Integral Tak Tentu
Pada bab sebelumnya kita sudah membahas turunan dan aplikasinya pada masalahmasalah sederhana. Sebagai kebalikan dari operasi turunan adalah integral tak
tentu (inde…nite integral). Perhatikan tabel berikut:
f (x)
x2
x2 + 3
x2 5
x2 + 10
f 0 (x)
2x
2x
2x
2x
Operasi dari kiri ke kanan disebut turunan, sedangkan kebalikannya dariR kanan ke
kiri disebut integral tak tentu (cukup disebut integral) dengan notasi f (x) dx.
Notasi tersebut diperkenalkan oleh Leibniz. Berdasarkan tabel, integral suatu
fungsi tidak tunggal, yaitu muncul suatu konstanta. Jadi, integral dari 2x adalah
x2 + C, ditulis
Z
2xdx = x2 + C
dengan C adalah suatu konstanta. Contoh-contoh lainnya adalah:
R
1. 3x2 dx = x3 + C
R
2. 4x3 dx = x4 + C
R
3. 5x4 dx = x5 + C
Secara umum, kita
bahwa turunan f (x) = xn adalah f (x) = nxn 1 .
R mengetahui
1 n
n 1
Oleh karena itu, x dx = n x + C. Jika kita ganti n dengan r + 1; maka kita
peroleh teorema berikut.
Teorema 1.1
R
Untuk setiap r 2 Q dan r 6= 1, maka xr dx =
1
xr+1
r+1
+C
Bukti. Turunkan ruas kanan, maka akan didapat xr .
R
1 11
x +C
Contoh 1. R x10 dx = 11
Contoh 2. dx = x + C
R 2
2
5
5
1
Contoh 3. x 3 dx = 2 +1
x 3 +1 + C = 15 x 3 + C = 35 x 3 + C
3 R
3
R p
p
5
5
7
1
Contoh 4. x2 xdx = x 2 + C = 5 +1
x 2 +1 + C = 27 x 2 + C = 27 x3 x + C.
2
Selanjutnya, untuk fungsi trigonometri, perhatikan tabel berikut.
1
2
f 0 (x)
cos x
sin x
sec2 x
csc2 x
f (x)
sin x
cos x
tan x
cot x
Jadi kita dapatkan pengintegralan untuk fungsi trigonometri, sebagai berikut:
R
R
2
R sin xdx = cos x + C
R sec2 xdx = tan x + C
cos xdx = sin x + C
csc xdx = cot x + C
Berdasarkan uraian dan contoh-contoh di atas, kita dapat membuat de…nisi integral tak tentu.
De…nisi 1.2
Jika F dan f masing-masing adalah fungsi yang terde…nisi pada suatu interval
I, dan F 0 (x) = f (x) pada I, maka
Z
f (x) dx = F (x) + C.
(1.1)
Beberapa penulis menggunakan notasi A untuk integral tak tentu. Sebagai contoh, Ax (x2 ) = 31 x3 + C, Ax (cos x) = sin x + C, dan lain-lain. Tetapi karena
notasi Leibniz lebih populer dan berkaitan erat dengan pembahasan berikutnya
tentang integral tentu, maka kita memilih untuk menggunakan notasi Leibniz.
Selanjutnya, sifat-sifat integral tak tentu adalah ebagai berikut.
Teorema 1.3 (Sifat Integral)
Jika f dan g mempunyai anti turunan dan c adalah konstanta, maka
R
R
a.
cf (x) dx = c f (x) dx:
R
R
R
b. [f (x) g (x)] dx = f (x) dx
g (x) dx:
Contoh:
Z
x
2
5x + 2 dx =
Z
2
x dx
5
Z
xdx + 2
Z
dx
1 2
1 3
x + C1 5
x + C2 + 2 (x + C3 )
3
2
1 3 5 2
=
x
x + 2x + C1 5C2 + 2C3
3
2
1 3 5 2
=
x
x + 2x + C
3
2
R
5
Bagaimana jika kita akan menentukan integral berikut x (x2 + 2) dx? Ingat kembali aturan rantai untuk mencari turunan fungsi komposit. Jika kita
=
3
mempunyai y = (F g) (x) = F (g (x)), maka turunan fungsi tersebut adalah
y 0 = F 0 (g (x)) :g 0 (x). Hal ini berarti
Z
F 0 (g (x)) :g 0 (x) dx = f (g (x)) + C.
Jika f adalah anti turunan dari F , yakni F 0 = f , maka uraian di atas dapat
dirangkum menjadi teorema berikut.
Teorema 1.4
Jika F , g, dan f masing-masing adalah fungsi yang terde…nisi pada suatu interval
I, dan F 0 (x) = f (x) pada I, maka
Z
f (g (x)) :g 0 (x) dx = F (g (x)) + C.
Lebih lanjut, jika kita misalkan u = g (x), maka du = g 0 (x) dx sehingga teorema
di atas dapat ditulis kembali menjadi
Z
f (u) du = F (u) + C
yang konsisten dengan (1.1). Teorema tersebut
merupakan teknik substitusi
R
5
dalam integral. Perhatikan kembali soal x (x2 + 2) dx! Kita misalkan u =
x2 + 2, maka du = 2xdx atau 21 du = xdx. Jadi,
Z
Z
1
1 1
5
2
x x + 2 dx =
u5 du = : u6 + C
2
2 6
1
6
x2 + 2 + C:
=
12
Contoh 5. Tentukan integral berikut!
R
1. cos 3xdx
p
R
2. x 1 + x2 dx
R
p
3. x 2x 1 dx
R
4. sin4 x cos xdx
Solusi.
1. misal u = 3x, maka du = 3dx atau 13 du = dx. Jadi,
Z
Z
1
cos 3xdx =
cos udu
3
1
=
sin u + C
3
1
=
sin 3x + C
3
4
2. misal u = 1 + x2 , maka du = 2xdx atau 21 du = xdx. Jadi,
Z
Z
p
1 p
2
x
1 + x dx =
udu
2
3
1
:2u 2 + C
=
2
=
1 + x2
=
1 + x2
3
2
+C
p
(1 + x2 ) + C
3. misal u = 2x 1, maka x = 21 (u + 1) sehingga dx = 12 du. Jadi,
Z
Z
p
p 1
1
x 2x 1 dx =
(u + 1) u du
2
2
Z
3
1
1
=
u 2 + u 2 du
4
1 2 5 2 3
u2 + u2 + C
=
4 5
3
p
1 2 1
u
=
u + u +C
10
6
p
3 (2x 1)2 + 5 (2x 1)
2x 1
+C
=
30
1p
=
2x 1 6x2 x 1 + C:
15
4. misal u = sin x, maka du = cos xdx. Jadi,
Z
Z
4
sin x cos xdx =
u4 du
1 5
u +C
5
1 5
sin x + C:
=
5
=
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Buktikan!
R
a. sin axdx = a1 cos ax + C
R
b. cos axdx = a1 sin ax + C
R
c. sec2 axdx = a1 tan ax + C
R
d. csc2 axdx = a1 cot ax + C
2. Tentukan integral berikut!
5
a.
b.
c.
d.
R
R
R
R
p1 dx
x
(x2 + sin 2x) dx
x2 p4x+5
dx
x
x3 (x + 2)2 dx
3. Gunakan substitusi untuk pengintegralan berikut!
R
a. (2x 3)3 dx
R
5
b. (x + 2) (x2 + 4x) dx
R
c. p1x x dx
R
d. cos3 5x sin 5xdx
R
sin x
e. tan xdx (petunjuk, ingat tan x = cos
)
x