Integral - gatot adi nugroho

Gatot adi nugroho
0504015079
Integral
INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :
∫ f(x) dx = F(x) + c ⇒ (c = konstanta)
Integral dapat digolongkan atas :
A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
1. RUMUS
FUNGSI ALJABAR
∫ xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ≠ -1
FUNGSI TRIGONOMETRI
∫ sin x dx = - cos x + c
∫ cos x dx = sin x + c
sifat-sifat:
a. ∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx
b. ∫ ( f(x) ± g(x) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
c. jika
∫ f(x) dx = F(x) + c
maka ∫ f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
∫ f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c
Perluasan :
∫ (ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
Gatot adi nugroho
0504015079
Integral
CARA MENGINTEGRIR
a. SUBSTITUSI
I = ∫ f(x) dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I = ∫ f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x
= Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat
digunakan)
b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
1. Bentuk √ a2 - x2
misalkan x = a sin θ → θ = arc sin x/a
dx = a cos θ dθ
θ
∫ √ a2 - x2 dx = a ∫√
= a2 ∫
1 - sin2θ (a cos θ dθ)
cos2θ dθ
= ½a2 ∫ (1 + cos2θ) dθ
= ½a2 (θ + sinθ cosθ) + c
= ½a2 ∫ [arc sin x + x √a2 - x2 ] + c
a
a
a
∫ √ a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x √ a2 - x2 + c
2. Bentuk ∫ √a2 + b2x2
Gunakan substitusi : x = a/b tgθ
dx = a/b sec2θ dθ
Gatot adi nugroho
0504015079
Integral
3. Bentuk ∫ √b2x2 - a2
Gunakan substitusi : x = a/b secθ
dx = a/b tgθ sec2θ
c. PARSIIL
Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasilperkalian
antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yanglain.
I = ∫ f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x)
du = ..... dx
; dv = g(x) dx
;
v = ∫ g(x) dx = ..... maka :
∫ u du = u v - ∫ v du
Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk ∫ v du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI
B. Integral tertentu
(Dengan batas)
1. Pengertian
Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan
pada selang (a, b) menjadi
a
a
∫ c dx = c(x) = F(b) - F(a)
b
b
Gatot adi nugroho
0504015079
Integral
2. Sifat
b
a.
b
∫ c dx = c(x) = c(b - c)
a
a
b
b.
c = konstanta
a
∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx
a
c = batas ditukar
b
a
c.
∫ f(x) dx = 0
c = batas sama
a
b
d.
a
b
∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx
a
b
c
c = ( a < c < b)
Gatot adi nugroho
0504015079
Integral
MENCARI NILAI INTEGRAL
Substitusi
Contoh soal:
Cari nilai dari:
Integrasi parsial
Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
Contoh soal:
Cari nilai dari:
Gunakan rumus di atas
Gatot adi nugroho
0504015079
Integral
Substitusi trigonometri
Bentuk
Gunakan
Contoh soal:
Cari nilai dari:
Gatot adi nugroho
0504015079
Integral
Cari
nilai
dari:
substitusi
Masukkan
kan nilai tersebut:
Nilai sin A adalah
dengan
menggunakan
Gatot adi nugroho
0504015079
Integral
Integrasi pecahan parsial
Contoh soal:
Cari nilai dari:
Akan
an
diperoleh
dua
persamaan
yaitu
dan
Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh
hasil
Gatot adi nugroho
0504015079
Integral
RUMUS INTEGRASI DASAR
Umum
(n ≠ -1)
(a adalah konstanta)
(a > 0, a ≠ 1)
Bilangan natural
Logaritma
Trigonometri
Gatot adi nugroho
0504015079
Integral