Pertidaksamaan Dan Harga mutlak

Pertidaksamaan
Dan
Harga mutlak
2.1 Interval Bilangan Real
Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real mengandung
paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dari semua bilangan real yang terletak
diantara keduanya. Untuk setiap 𝑥, 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ
1. [𝑎, 𝑏] = {𝑥|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} disebut interval tertutup
2. [𝑎, 𝑏) = {𝑥|𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} disebut interval setengah tertutup atau terbuka
3. (𝑎, 𝑏] = {𝑥|𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} disebut interval setengah terbuka atau tertutup
4. (𝑎, 𝑏) = {𝑥|𝑎 < 𝑥 < 𝑏} disebut interval terbuka
Selain interval–interval di atas juga terdapat interval-interval tak hingga
1. (−∞, 𝑏] = {𝑥|𝑥 ≤ 𝑏}
2. (−∞, 𝑏) = {𝑥|𝑥 < 𝑏}
3. [𝑎, ∞) = {𝑥|𝑥 ≥ 𝑎}
4. (𝑎, ∞) = {𝑥|𝑥 > 𝑎}
5. (−∞, ∞) = {𝑥|𝑥 ≥ ℝ}
2.2 Pertidaksamaan
Sebelum meninjau lebih jauh mengenai pertidaksamaan, akan diberikan
terlebih dahulu pengertian peubah atau variabel. Peubah (variabel) yang
dimaksudkan
di sini adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan
sembarang anggota dari suatu himpunan. Sebagai misal jika diambil himpunannya
adalah himpunan semua bilangan real R, maka peubahnya dinamakan peubah real.
Untuk selanjutnya yang dimaksudkan dengan peubah dalam pembahasan ini
adalah peubah real, di mana peubah ini memegang peranan penting
dalam menyelesaikan permasalahan pertidaksamaan. Sebagai pembahasan awal,
Matematika Dasar
Page 7
pertidaksamaan
diberikan
batasan
pengertian sebagai kalimat matematika
terbuka yang memuat peubah (variabel) dan satu atau lebih tanda berikut ini : <, >,
≤, atau ≥.
Contoh:
Beberapa jenis atau contoh pertidaksamaan antara lain :
1. 2𝑥 + 16 < 𝑥 + 25
2. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 > 0
3.
2𝑥−3
𝑥+1
≥0
4. √2𝑥 + 4 < 4
dan sebagainya.
Beberapa
jenis
pertidaksamaan
yang
cukup
terkenal
di
antaranya
pertidaksamaan linier, pertidaksamaan kuadrat dan polynomial, pertidaksamaan
pecahan (rasional), pertidaksamaan irasional dan pertidaksamaan dengan nilai
mutlak.
Menyelesaikan pertidaksamaan dalam x berarti mencari interval atau intervalinterval dari bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Latihan 2.1
1. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan 5𝑥 − 6 ≤ 7𝑥 − 10 adalah
a. {𝑥|𝑥 ≥ 2, 𝑥𝜖ℝ}
b. {𝑥|𝑥 ≤ 2, 𝑥𝜖ℝ}
2
c. {𝑥|𝑥 ≥ , 𝑥𝜖ℝ}
3
2
d. {𝑥|𝑥 < 3 , 𝑥𝜖ℝ}
2
e. {𝑥|𝑥 ≤ , 𝑥𝜖ℝ}
3
2. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan8 + 2𝑥 ≤ 12 + 6𝑥 adalah
a. {𝑥|𝑥 ≤ −1, 𝑥𝜖ℝ}
b. {𝑥|𝑥 ≥ −1, 𝑥𝜖ℝ}
c. {𝑥|𝑥 ≤ −3, 𝑥𝜖ℝ}
d. {𝑥|𝑥 ≤ −5, 𝑥𝜖ℝ}
e. {𝑥|𝑥 ≥ −5, 𝑥𝜖ℝ}
Matematika Dasar
Page 8
𝑥
3. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan 3 − 2 ≤
5𝑥+9
2
adalah
a. {𝑥|𝑥 ≥ −3, 𝑥𝜖ℝ}
b. {𝑥|𝑥 ≥ 3, 𝑥𝜖ℝ}
c. {𝑥|𝑥 ≤ 3, 𝑥𝜖ℝ}
d. {𝑥|3 < 𝑥 < −3, 𝑥𝜖ℝ}
e. {𝑥|−3 < 𝑥 < 3, 𝑥𝜖ℝ}
4. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan
4𝑥−3
2
≥
2−𝑥
3
adalah
13
a. {𝑥|𝑥 ≤ 14 , 𝑥𝜖ℝ}
13
b. {𝑥|𝑥 ≥ 14 , 𝑥𝜖ℝ}
6
c. {𝑥|𝑥 ≤ 7 , 𝑥𝜖ℝ}
6
d. {𝑥|𝑥 ≥ 7 , 𝑥𝜖ℝ}
13
e. {𝑥|𝑥 ≥ − 14 , 𝑥𝜖ℝ}
5. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan
1−2x
3
< 3 adalah
a. {𝑥|𝑥 > −4, 𝑥𝜖ℝ}
b. {𝑥|𝑥 > 4, 𝑥𝜖ℝ}
c. {𝑥|𝑥 < −4, 𝑥𝜖ℝ}
d. {x|x < 4, xϵℝ}
e. {x|x > −8, xϵℝ}
2.3 Nilai Mutlak
Nilai mutlak suatu bilangan real 𝑥, dinyatakan dengan |𝑥|, didefinisikan
sebagai :
𝑥,
|𝑥| = {
−𝑥,
𝑥≥0
𝑥<0
Contoh: |6| = 6, |0| = 0, 𝑑𝑎𝑛 |−5| = −(−5) = 5
Sifat-sifat Nilai Mutlak:
1. |−𝑎| = |𝑎|
2. |𝑎𝑏| = |𝑎||𝑏|
Matematika Dasar
Page 9
𝑎
|𝑎|
3. |𝑏| = |𝑏|
4. |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
5. |𝑎 − 𝑏| ≥ ||𝑎| − |𝑏||
6. |𝑥|2 = 𝑥 2
7. |𝑥| < 𝑎 jika dan hanya jika – 𝑎 < 𝑥 < 𝑎
8. |𝑥| > 𝑎 jika dan hanya jika 𝑥 > 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 < −𝑎
9. |𝑥||𝑦| jika dan hanya jika 𝑥 2 < 𝑦 2
Latihan :
1. |𝑥 + 5| < |2𝑥 + 6|
2. |2𝑥 − 11| ≥ |𝑥 + 1|
Matematika Dasar
Page 10