File - GIRLS MATH AKTIV

Logaritma
Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari
perpangkatan. Bentuk an dikenal sebagai bilangan berpangkat. a disebut basis dan
n disebut pangkat atau eksponen. Jika nilai a dan n diketahui, maka nilai b = an
dapat dihitung dan b disebut numerus. Sebaliknya, bagaimana cara menentukan
nilai n apabila yang diketahui nilai a dan b ?.
silakan anda pahami bentuk kesamaan
24 = 16,
didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan
berpangkat 2n = 16.
4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = 2log 16.
Dengan demikian secara umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut:
a
log b = c ↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma
Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka
dianggap bilangan pokoknya adalah 10.
Contoh:
10
log 10 = log 10 = 1
dan 10log 100 = log 100 = 2
Perhatikan hubungan bentuk logaritma dan bentuk pecahan dari tabel
dibawah ini!
Bentuk
Hasil
NO. BentukLogaritma Pecahan
1
4
4a = 8
a = 3/2
2
3
3b = 27
a=3
3
2
2c = 1/64
c = -6
log 3√3 = d
3d = 3 3
d = 3/2
log 8 = a
log 27 = b
log 1 = c
64
4
3
5
5
log 3√ 5 = e
5e = 3 5
e = 1/5
6
⅓
(⅓)f = 81
f = -4
7
1000
log √10 = g
1000g = 10
g = 1/6
8
1/49
log 1/ 7 = h
(1/49)h = 1/7
H=¼
Log 81 = f
Sifat-sifat Logaritma
Setelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan
dipelajari sifat-sifat yang berlaku pada logaritma.
Berikut ini adalah langkah-
langkah menemukan sifat dasar logaritma.
2.1
Logaritma dari perkalian
Logaritma dari perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan
logaritma dari masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:
a
log MN = alog m + alog n,
dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = an
↔
sehingga MN = ar ↔
a
log M = p
a
dan
N = aq
↔
a
log N = q
log MN = r
Karena ar = MN, maka alog MN = r = p + q = alog M + alog N (
terbukti )
1.
Dengan menggunakan sifat logaritma perkalian tentukan nilai
dar:
a. log 40 + log 25
Jawab.
log 40 + log 25 = log (40 x 25)
= log 100
=2
2.2
Logaritma dari pembagian
Logaritma dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari
pembilang dikurangi logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai
berikut:
a
log(M : N) = alog m – alog n,
dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = an ↔
M:N = ar ↔
a
a
log M = p dan N = aq
↔
a
log N = q sehingga
log M : N = r
Karena ar = M : N, maka alog ( M : N ) = r = p - q = alog M - alog N
( terbukti )
a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, dengan menggunakan sifat
logaritma pembagian
Tentukanlah nilai dari log 1,5
Jawab
log 1,5 = log 3/2
= log 3 – log 2
= 0,4771 – 0,3010
= 0,1761
2.3
Logaritma dari perpangkatan
Logaritma dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari
bilangan pangkat dengan logaritma bilangan pokok.
a
log Mp = p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0
Dengan menggunakan sifat dan perpangkatan logaritma, tentukan nilai
dari
4
log 64
4
Jawab.
4
log 64
4 = 64
2.4
Mengubah basis logaritma
Logaritma suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan
tersebut dibagi dengan logaritma dari basisnya, didefinisikan sebagai
berikut:
M
log N = aLog N
a
Log M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = ap ↔
N = aq ↔
M
Maka
a
log N
a
log M
Jika
a
log M = p
a
log N = q
LOG N =
aP
log aq = q .aPlog a = q .aPlog (ap)1/p = q/p =
(terbukti)
2
log 3 = a
dan
3
log 5 = b, dengan mengubah basis logaritma
tentukan nilai 6log 15!
Jawab.
6
log 15 = log 15 = log (3 x 5) = 3log 3 + 3log 5 = 1 + b
= a(1+
b)
log 6
log (3 x 2)
3
log 3 + 3log 2
1 + 1/a
1+ a
2.5.Perpangkatan dengan logaritma
Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah
bilangan (M) dengan basis sama dengan bilangan pokok (a) didefinisikan
sebagai berikut:
a
log M
a
=M,
dengan syarat a ≠ 1 dan a, M >
0
Pembuktian:
Misal alog M = p
a
Maka =
↔
ap = M
log M
a = ap
= M (terbukti)
a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, tentukan nilai dari log 48
Jawab.
log 48 = log (24 x 3) = log 24 + log 3 = 4 log 2 + log 3
= 4 (0,3010) + 0,4771
=1,2040 + 0,4771
= 1,6811
Tujuan pembelajaran logaritma dalam kehidupan sehari-hari
Pernah saya membaca buku matematika yang mengatakan penemuan
algoritma ditujukan agar kita bisa lebih mudah melakukan perhitungan yang
besar dalam waktu yang cepat. Teman-teman mungkin jarang atau bahkan
tidak pernah menemui kasus seperti ini dalam pelajaran atau kuliah. Tapi
sebenarnya kita bisa membuat contoh yang mungkin kita sendiri akan bingung
bagaimana menyelesaikannya.
contoh : hitunglah nilai dari
Kalau teman-teman mau, teman-teman bisa menggunakan kalkulator untuk
menjawab pertanyaan tersebut. Namun, kebanyakan teman yang saya ajukan
pertanyaan di atas tidak bisa menjawab pertanyaan tersebut, walaupun ada
beberapa yang melakukan sedikit trik agar bisa menjawab pertanyaan tersebut.
Jika teman-teman tetap ingin melakukan perhitungan pangkat pada kalkulator,
saya yakin kalkulator teman-teman tidak bisa menampung perhitungan yang
sebesar itu. Biasanya kalkulator hanya bisa menampung hingga pangkat 99,
sedangkan soal yang diberikan mencapai pangkat 400.
Di sinilah letak permasalahan yang menyebabkan orang berpikir bagaimana
bisa melakukan perhitungan sebesar itu. Solusinya, orang-orang menemukan
cara agar perhitungan besar bisa dilakukan, setelah bilangan tersebut diubah
menjadi bilangan yang lebih kecil dari bilangan awal. Tentu jauh akan lebih
mudah melakukan perhitungan dengan angka yang kecil dibandingkan dengan
menggunakaan angka yang besar bukan?
Untuk menjawab pertanyaan di atas, teman-teman harus tau prinsip-prinsip
dasar logaritma.
Jadi jawaban dari pertanyaan di atas adalah
Kita bisa mengubah jawaban tersebut ke bentuk yang lebih sederhana lagi :
Jawaban di atas merupakan jawaban dengan pangkat basis 10, kalau temanteman mau, teman-teman bisa mengubah jawban di atas menjadi basis yang
teman-teman inginkan.
Jelas bukan? Penjelasan di atas mungkin hanya salah satu dari banyak
kegunaan logartima. Tapi bukan berarti kita harus berpatokan dengan cara ini,
kalau teman-teman kreatif, teman-teman bisa menemukan cara lain yang lebih
menarik dari ini. ;D
Inilah bebarapa jawaban yang diberikan oleh para blogger. mudah-mudahan
bermanfaat.Sebelum ada kalkulator elektronik, logaritma digunakan sepanjang
waktu untuk melakukan perhitungan eksponensial. Jadi para ilmuwan dan
insinyur dari semua jenis memanfaatkan sering menggunakan. Misalnya, jika
Anda ingin menemukan 4 pangkat 3.5, Anda akan menggunakan fakta
bahwa:4 ^ (3.5) = 10 Log ^ [4 ^ 3.5] = 10 ^ (3.5 * log (4))Anda melihat log (4)
dalam tabel log Anda, kalikan dengan 3,5, kemudian gunakan tabel log untuk
menemukan antilog pada (10 pangkat jawaban Anda). Hari ini, kita biasanya
membiarkan kalkulator melakukan pekerjaan itu, tapi bahkan kalkulator
menggunakan fakta-fakta seperti ini untuk melakukan komputasi.Saya telah
membaca bahwa penggunaan logaritma membuat begitu banyak hal mungkin
bahwa itu adalah salah satu kontribusi utama dari matematika ke dunia ilmu
pengetahuan. Misalnya, sebelum ada logaritma, para astronom merasa
kesulitan dengan penjumlahan ataupun perkalian yang begitu besar. Dengan
munculnya penggunaan logaritma, perkalian ataupun perpangkatan yang besar
menjadi hal yang sederhana.
Penting di baca kawan..!!!
Dalam kehidupan nyata, logaritma sangat diperlukan bagi ilmu pengetahuan.
Dalam sejarah ilmu pengetahuan, pengembangan tabel logaritma dan
penggunaannya merupakan prestasi yang luar biasa.Para astronom masih
menggunakan skala logaritmik untuk sumbu grafik dan diagram.Penggunaan
logaritma yang paling jelas adalah pada penghitungan skala Richter untuk
gempa bumi dan desibel. Logaritma juga diaplikasikan dalam penghitungan
frekuensi musik. Penggunaan lain fungsi logaritma adalah dalam bidang
biologi, yaitu untuk mengukur laju pertumbuhan penduduk, antropologi, dan
keuangan