logika matematika

LOGIKA
MATEMATIKA
Logika Matematika
- Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka
- Pernyataan Majemuk
- Konvers, Invers, dan Kontraposisi
- Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor
- Penarikan Kesimpulan
- Penyusunan Bukti
Klik salah satu
Kembali
Pernyataan, Nilai Kebenaran
dan Kalimat Terbuka
- Pernyataan
- Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan
- Ingkaran atu Negasi Suatu Pernyataan
- Kalimat Terbuka
Klik salah satu
Kembali
Pernyataan
Adalah kalimat yang hanya benar saja
atau salah saja, tetapi tidak dapat
sekaligus benar dan salah.
Contoh:
- Menara itu tinggi. (Pernyataan)
- Jumlah hari ada 7. (Pernyataan)
- Tangkaplah orang itu!
(Bukan Pernyataan)
- Berapa Umurmu sekarang? (Bukan Pernyataan)
Kembali
Lambang dan Nilai Kebenaran
Suatu Pernyataan
Lambang
Suatu pernyataan dilambangkan dengan
memakai huruf kecil, seperti a, b,
c,…,p,q,r,…dan seterusnya.
Contoh:
Pernyataan “4 adalah bilangan genap” dapat
dilambangkan dengan memakai huruf p.
Ditulis:
P : 4 adalah bilangan genap.
Kembali
Nilai Kebenaran Suatu
Pernyataan
Nilai benar atau salah dari suatu pernyataan
dapat ditentukan memakai:
Dasar Empiris:
Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan
fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari
Contoh:
1. “Ibukota jawa Timur adalah Surabaya”, meupakan pernyataan benar.
2. “Air adalah benda padat”, merupkana pernyataan salah.
Dasar Tak Empiris:
Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan
memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.
Contoh:
1. “Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.
2. “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.
Lanjut
Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai
kebenaran B (benar),
Sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan
mempunyai nilai kebenaran s (salah).
Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai
huruf Yunani τ (dibaca: tau)
Contoh:
1. τ(p) = B dibaca “niali kebenaran pernyataan p adalah B” atau
“pernyataan p mempunyai nilai kebenran B”.
2. q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis
τ(q) = S.
Kembali
Ingkaran Atau Negasi Suatu
Pernyataan
Adalah pernyataan yang menyangkal atau
mengingkari pernyataan awal
Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk “ingkaran p” atau “negasi
p”, dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat
“tidak benar bahwa” di depan pernyataan p, atau jika mungkin
dengan menyisipkan perkataan “tidak” atau “bukan” di dalam
pernyataan p.
Tabel Kebenaran
Ingkaran suatu pernyatan menyatakan
kebalikan dari pernyataan itu sendiri berari nilai
kebenarannya adalah terbalik
p
~p
B
S
Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah
S
B
Jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.
Lanjut
Contoh:
p : 2 + 3 = 5 (τ (p) = B)
~p : 2 + 3 ≠ 5 (τ (~p) = S)
q : Semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~q) = S)
~q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil
(τ (~p) = B)
atau
~q : Ada bilangan prima yang tidak ganjil (τ (~q) = B)
Kembali
Kalimat Terbuka
Adalah kalimat yang memuat peubah/variabel,
sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya
( benar atau salah ). Tetapi apabila variabel diganti
nilai tertentu akan menjadi suatu pernyataan.
Contoh:
2x + 3 = 11 (kalimat terbuka)
Y – 3 < 4 (kalimat terbuka)
Perhatikan contoh!!
Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”, merupakan pernyataan salah.
Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.
Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka “2x + 3 = 11”
menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut
penyelesaian dari kalimat terbuka itu.
Lanjut
Kesimpulan:
1. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara
mengganti peubah pada himpunan semestanya.
2. Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada
himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi
pernyataan yang benar.
3. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu
himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian
dari terbuka itu.
Contoh:
1. Himpunan penyelesaian persamaan x + 3 = 8 (x peubah
pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {5}.
2. Himpunan penyelesaian persamaan x2 – 5x + 6 = 0 (x
peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {2,3}.
Kembali
Pernyataan Majemuk
- Kebenaran Suatu Pernyataan Majemuk
- Negasi Suatu Pernyataan majemuk
Klik salah satu
Kembali
Kebenaran Suatu Pernyataan
Majemuk
- Disjungsi
- Konjungsi
- Implikasi
- Biimplikasi
Klik salah satu
Kembali
Disjungsi
Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua
pernyataan p dan q dengan kata hubung “atau”.
Notasinya:
pvq
Dibaca: p atau q
Tabel Kebenaran disjungsi
p
q
pvq
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Lanjut
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari:
6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima.
Jawab:
Misal: p : 6 adalah bilangan genap
q : 13 adalah bilanagn prima
p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga
pernyataan 6 adalah bilangan genap atau 13 adalah
bilangan prima bernilai benar
Kembali
Konjungsi
Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua
pernyataan p dan q dengan kata hubung “dan”.
Notasinya:
p
q
Dibaca: p dan q
Tabel kebenaran konjungsi:
p
q
p q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Lanjut
Contoh:
13 bilangan prima dan 132 = 169
Jawab:
Misal: p : 13 bilangan prima
Q : 132 = 169
p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga
pernyataan 13 bilangan prima dan 132 = 169
berniai benar.
Kembali
Implikasi
Adalah pernyataan majemuk yang disusun
dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk
“jika p, maka q”.
Notasinya:
pq
Dibaca: Jika p, maka q
Bagian “jika p” dinamakan alasan atau
sebab dan bagian “maka q” dinamakan
kesimpulan atau akibat.
Tabel kebenaran implikasi:
p
B
B
q
B
S
pq
B
S
S
S
B
S
B
B
Lanjut
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut:
Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima
Jawab:
Misal: P : 3 + 2 = 5
Q : 5 adalah bilangan prima
Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima
B
B
Implikasi ini bernilai benar karena alasan benar dan
kesimpulan benar
Kembali
Biimplikasi
Adalah pernyataan majemuk yang disusun dari
dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p jika
dan hanya jika q”.
Notasinya:
pq
Dibaca: p jika dan hanya jika q
Tabel kebenaran biimplikasi:
p
B
B
q
B
S
pq
B
S
S
S
B
S
S
B
Lanjut
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut:
161/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = 1/2
Jawab:
Misal: p :161/2 = 4
Q : 16log 4 = 1/2
161/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = 1/2
B
B
Merupakan biimplikasi yang benar
Kembali
Negasi Suatu Pernyataan
Majemuk
- Negasi Konjungsi
- Negasi Disjungsi
- Negasi Implikasi
- Negasi Biimplikasi
Klik salah satu
Kembali
Negasi Konjungsi
Negasi dari pernyataan p q adalah ~p v ~q
Perhatikan contoh konjungsi berikut.
p
q
p q
: saya suka apel.
: saya tidak suka wortel.
: saya suka apel dan tidak suka wortel.
~( p q) : saya tidak suka apel atau saya suka wortel.
p
~p
q
~q
p q
~(p q )
~p v ~q
B
S
B
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
B
Kembali
Negasi Disjungsi
Negasi disjungsi dari pernyataan p v q adalah
~p  ~q
Perhatikan contoh berikut:
~p
p
: Andi pergi
ke supermarket.
q
: Andi menonton di bioskop.
p v q : Andi pergi ke supermarket atau menonton di bioskop.
~(p v q) : Andi tidak pergi ke supermarket dan tidak menonton di
bioskop.
p
~p
q
~q
~p v ~q
~(p v q)
~q
B
S
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
B
S
B
S
B
B
Kembali
Negasi Implikasi
Negasi pernyataan “p  q” adalah “p  ~q”
Perhatikan contoh
berikut:
p
p
: Nico belajar dengan giat.
q
: Nico naik kelas.
p  q : Jika nico belajar dengan giat maka nico naik kelas.
~(p  q) : Jika Nico belajar dengan giat dan ternyata nico tidak
naik kelas.
 ~q
p
~p
q
~q
pq
~( p  q)
B
S
B
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
S
S
B
S
B
S
S
S
p
Kembali
Negasi Biimplikasi
Negasi pernyataan “p  q” adalah (p ~q) v (q ~p)
Perhatikan contoh berikut:
P
: Ulangan dibatalkan
Q
: Diadakan kerja bakti
p  q : Ulangan dibatalkan jika dan hanya jika diadakan kerja bakti
~(p  q ) : Ulangan dibatalkan dan tidak diadakan kerja bakti atau
diadakan kerja bakti dan ulangan tidak dibatalkan.
p
~p
q
~q
pq
~(p  q)
p  ~q
q  ~p
(p ~q) v (q ~p)
B
S
B
S
B
S
S
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
S
Kembali
Konvers, Invers, dan
Kontraposisi
Dari suatu implikasi p  q dapat dibentuk
implikasi lain:
q  p, yang disebut konvers dari p  q.
~p  ~q, yang disebut invers dari p  q.
~q  ~p, yang disebut kontraposisi dari p  q.
pq
invers
~p  ~q
konvers
Kontraposis
i
konvers
qp
invers
~q  ~p
Lanjut
p
~p
q
~q
pq
qp
~p  ~q
~q  ~p
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
B
B
Contoh:Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi:
Jika harga minyak naik, maka harga barang naik.
Konversnya (q  p)
: jika haga barang naik maka harga minyak
naik.
Invernya (~p  ~q)
: jika harga minyak tidak naik mak harga
barang tidak naik.
Kontraposisi (~q  ~p) : jika harga barang tidak naik mak
harga minyak tidak naik.
Kembali
Kuantor Universal dan Kuantor
Eksistensial
- Kuantor Universal
- Kuantor Eksistensial
Klik salah satu
Kembali
Kuantor Universal
Sebuah pernyataan dikatakan menggunakan
kuantor universal jika menggunakan kata setiap
atau semua atau yang ekuivalen dengan itu.
Contoh:
1. Semua siswa kelas XA senang olahraga.
2. Setiap peserta ujian wajib membawa kartu tanda
peserta ujian.
Kembali
Kuantor Eksistensial
Pernyataan dikatakan menggunakan kuantor
eksistensial jika menggunakan kata beberapa
atau ada atau yang ekuivalen dengan itu.
Contoh:
1. Beberapa siswa kelas XB senang olahraga.
2. Ada siswa yang senang matematika.
Kembali
Inkaran dari Pernyataan
Berkuantor
- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal
- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial
Klik salah satu
Kembali
Ingkaran dari Pernyataan
Berkuantor Universal
Ingkaran dari semua p adalah q yaitu
beberapa p bukan q.
Contoh:p : ”Semua bilangan prima adalah bilngan asli”.
Bernilai benar
Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya.
~ p : ”Tidak semua bilangan prima adalah bilangan asli”,
atau
~ p : ”Beberapa bilangan prima bukan bilangan asli”.
Jadi, jelas bahwa ~ p bernilai salah.
ingkaran dari pernyataan berkuantor universial
adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial
Kembali
Ingkaran dari Pernyataan
Berkuantor Eksistensial
Ingkaran dari beberapa p adalah q yaitu
semua p bukan q.
Contoh:p : ”Beberapa bilangan prima adalah bilangan
genap”
Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya
~ p : ”Semua bilangan prima bukan bilangan genap”, atau
~ p : ”Tidak ada bilangan prima yang bilangan genap”, atau
~ p : ”Jika x adalah bilangan prima, maka x bukan bilangan
genap”.
ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial
adalah sebuah pernyataan berkuantor universal
Kembali
Penarikan Kesimpulan
- Prinsip Modus Ponens
- Prinsip Modus Tolens
- Prinsip Silogisme
Klik salah satu
Kembali
Prinsip Modus Ponens
Premis 1 : p  q
Premis 2 : p
Konklusi : q
Contoh:
Premis 1 : Jika Afra kehujanan, maka
Afra akan masuk angin.
Premis 2 : Afra kehujanan.
Misal:
p: Afra kehujanan
q: Afra masuk angin
Penarikan kesimpulannya:
Konklusi : Afra masuk angin.
pq
p
q
Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus ponens,
berarti kesimpulan yang ditarik adalah sah.
Kembali
Prinsip Modus Tolens
Premis 1 : p  q
Premis 2 : q
Konklusi : p
Contoh:
Premis 1 : Jika saya berolahraga
teratur, maka saya akan sehat.
Premis 2 : Saya tidak sehat
Misal:
p: saya berolahraga teratur
q: saya akan sehat
Penarikan kesimpulannya:
Konklusi : Saya tidak berolahraga
teratur
pq
~q
~p
Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus
tolens, berarti kesimpulan yang ditarik adalah sah
Kembali
Prinsip Silogisme
Premis 1 : p  q
Premis 2 : q r
Konklusi : p r
Premis 1 : jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap.
Premis 2 : jika 2x bilangan genap, amka 2x + 1 bilangan ganjil.
Konklusi : jika x bilangan ganjil, maka 2x + 1 bilangan ganjil.
Misal:
p: x bilangan ganjil
q: 2x bilangan genap
r: 2x + 1 bilangan ganjil
Penarikan kesimpulannya:
pq
qr
pr
Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip silogisme, berarti
penarikan kesimpulan ini sah.
Kembali
Penyusunan Bukti
- Bukti Langsung
- Bukti Tak Langsung
- Induksi Matematika
Klik salah satu
Kembali
Bukti Langsung
Bukti langsung mengambil prinsip silogisme sebagai dasarnya.
Kebenaran pernyataan pertama berakibat kebenaran pernyataan
kedua dan seterusnya samapi pernyataan atau persamaan terbukti.
Pada pernyataan berkuantor eksistensial, bukti langsung
dilakukan dengan menyebutkan sebuah contoh dari semesta yang
menyebabkan pernyataan bernilai benar. Cara substitusi juga
termasuk bukti langsung.
Buktikan bahwa 3 merupakan akar dari persamaan kuadrat
x2 – 4x + 3 = 0
Jika 3 disubsitusikan ke persamaan, maka diperoleh
32 – 4(3) + 3 = 0
3 adalah akar dari persamaan kuadrat x2- 4x + 3 = 0
Kembali
Bukti Tak Langsung
Bukti tak langsung dengan kontraposisi mengambil prinsip
modus tolens sebagai dasarnya. Membuktikan bahwa sebuah
pernyataan berkuantor universal salah cukup dengan
mengambil contoh yang menyangkal kebenarannya disebut
contoh penyangkal dan membuktikan bahwa pernyataan
berkuantor universal benar cukup dibuktikan bahwa
ingkarannya salah.
Buktikan bahwa  x  , x + 2  3.
Andaikan  x  A  x + 2 < 3, maka
x<3–2
x<1
Pernyataan terakhir ini salah karena tak ada bilangan asli yang
lebih kecil dari satu
 x  A, X + 2  3.
Kembali
Induksi Matematika
Dua langkah pembuktian dengan Induksi matematika:
1. Buktikan rumus berlaku untuk n = 1.
2. Dimisalkan rumus berlaku untuk n = k, buktikan
rumus berlaku untuk n = k + 1
Apabila langkah 1 dan 2 telah dilakukan dan benar,
maka dapat disimpulkan bahwa Sn berlaku untuk
setiap bilangan asli n.
Lanjut
Contoh:
Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1) = n2
untuk n anggota A
Langkah 1
Untuk n = 1
1 = 12
1 = 1 (benar)
Langkah 2
Misalkan rumus Sn berlaku untuk n = k, yaitu:
1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1) = k2
Akan dibuktikan Sn berlaku untuk n = k + 1
1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)
K2 + (2k + 1) = (k + 1)2
Sk + 1
Lanjut