Contoh - Binus Repository

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
1
COUNTER EXAMPLE & KUANTOR DUA-VARIABEL
ATAU LEBIH
Banyak teorema dalam matematika, khususnya teori
bilangan, dimulai dengan “Untuk setiap n bilangan bulat,
berlaku ..... “.
Untuk membuktikan bahwa suatu kuantor universal
adalah BENAR, biasanya digunakan metode induksi lengkap.
Yakni: buktikan benar untuk n=1; anggap benar untuk n=k; dan
akhirnya buktikan benar untuk n=k+1.
Untuk membuktikan bahwa suatu kuantor universal
adalah SALAH, cukup diberikan sebuah contoh yang
menyangkal pernyataan tersebut. Contoh penyangkalan ini
disebut counter example.
Contoh:
Benarkah pernyataan berikut:
1. Untuk setiap n bilangan bulat, berlaku n2>n ?
k
2. Untuk setiap n bilangan bulat, berlaku
  n  1  k (k  1)
n 1
Kuantor dengan dua variabel atau lebih
Kerap kali ditemukan suatu pernyataan berkuantor yang
melibatkan beberapa variabel.
Contoh:
xy, x+y=y+x identik dengan yx, x+y=y+x
xy, xy=yx identik dengan yx, xy=yx
xyz, x+(y+z)=(x+y)+z
xy bilangan bulat, x+y=6, identik dengan yx bilangan bulat,
x+y=6
Pertukaran letak kuantor tidak selalu identik.
Soal: Benarkah yang berikut, apakah identik?
xy bilangan bulat, x+y=17
yx bilangan bulat, x+y=17
Pertemuan 5
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
Contoh:
Misalkan himpunan semesta adalah {1, 2, 3}.
Periksa kebenaran setiap pernyataan berikut:
1. x y, x2 < y + 1
2. x y, x2 + y2 < 12
3. x y, x2 + y2 < 12
4. x y z, x2 + y2 < 2z2
5. x y z, x2 + y2 < 2z2
2
Negasi Kuantor
Carilah negasi dari:
1.  > 0, n0 n (n > n0  an < )
2. x y [(p(x,y)  q(x,y))r(x,y)]
3. >0 >0 x [(0 < x – a <)  (f(x) – L < )]
Pernyataan
Bilamana benar?
Bilamana salah?
P(x,y) benar untuk Ada sepasang x,y yang
menyebabkan
P(x,y)
xy P(x,y) setiap pasang x,y
salah
x
sedemikian
xy P(x,y) Untuk setiap x ada Ada
y sehingga P(x,y) sehingga P(x,y) salah
benar
untuk setiap y
xy P(x,y) Ada x sehingga Untuk setiap x ada y
P(x,y) benar untuk sehingga P(x,y) salah
setiap y
xy P(x,y) Ada sepasang x,y P(x,y) salah untuk setiap
P(x,y) pasang x,y
yx P(x,y) sehingga
benar
LAMPIRAN UNTUK KUANTOR
Kalimat terbuka
Adalah kalimat yang mengandung peubah, sehingga terbuka
kemungkinan untuk bernilai salah atau benar. Contoh: x + 3 = 8,
x adalah peubah dalam himpunan bilangan asli.
Pertemuan 5
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
3
Kuantor
Ada dua macam kuantor:
1. Kuantor Eksistensial
x, p(x), dibaca: “ada x sehingga berlaku p(x)” atau: “untuk
beberapa/sejumlah x berlaku p(x)”.
Contoh: x, x+3 = 8, x bilangan asli.
2. Kuantor Universal
x, p(x), dibaca: “untuk setiap x berlaku p(x)” atau: “untuk
semua x berlaku p(x)”.
Contoh: x, x2  0, x bilangan riil.
Negasi Kuantor
~(x, p(x))  x, ~p(x)
~(x, p(x))  x, ~p(x)
Contoh:
Carilah negasi dari:
a. Jika dosen tidak hadir, maka semua mahasiswa merasa
senang.
b. Jika peraturan tidak dilaksanakan secara adil, maka ada
sejumlah mahasiswa yang tidak puas.
Bilamanakah
kuantor
universal
bernilai
benar/salah?
Bilamanakah kuantor eksistensial bernilai benar/salah?
Pernyataan yang mengandung kuantor universal bernilai salah
apabila dapat ditunjukkan sebuah counter example.
Contoh:
Semua mahasiswa Binus memakai sepatu.
Bilamana pernyataan tersebut salah?
Contoh:
Periksa kebenaran pernyataan-pernyataan
himpunan semesta bilangan riil:
1. x, x = x
2. x, x2 = x
3. x, x + 1 > x
4. x, x+ 2 = x
Pertemuan 5
berikut
untuk
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
5. x, x = 0
4
Contoh:
Carilah negasi dari setiap pernyataan dalam contoh sebelum
ini.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Tentukan kebenaran dari setiap pernyataan berikut:
1. (xA) (x+3=10)
2. (xA) (x + 3 < 10)
3. (xA) (x+3<5)
4. (xA) (x + 3 < 7)
Contoh:
Carilah negasi dari setiap pernyataan dalam contoh sebelum
ini.
Contoh:
Carilah counter example untuk setiap pernyataan bila himpunan
semestanya adalah B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
5. (xB) (x + 5 < 12)
6. (xB) (x adalah bilangan prima)
7. (xB) (x2 > 1)
8. (xB) (x adalah genap)
Pertemuan 5