Aljabar Proposisi.
advertisement
Course Content Template Matematika Diskrit Type:ACADEMIC COURSE Code: K0144 Product Development Center, Bina Nusantara DC-PDC-4 Ver. 1.0 27/01/01 10:01 Table of Content Table of Content ............................................................................................................................................................. 1 Course Content ............................................................................................................................................................... 2 Aljabar Proposisi....................................................................................................................................................... 2 2.1. Hukum-hukum Aljabar Proposisi ................................................................................................................... 2 2.2. Pernyataan Bersyarat ....................................................................................................................................... 5 2.3. Argumentasi..................................................................................................................................................... 9 2.4. Kuantor Pernyataan ....................................................................................................................................... 11 Activity ........................................................................................................................................................................... 13 Quiz/Exam/Self-Assess ........................................................................................................................................ 13 Assignments .......................................................................................................................................................... 13 Course Content 1 Part Aljabar Proposisi. SASARAN : Setelah mempelajari modul ini anda diharapkan dapat memahami dan menerapkan hokum-hukum aljabar proposisi, teori pernyataan bersyarat, uji validitas argumen dan teori pernyataan berkuantor. POKOK BAHASAN : Untuk mencapai sasaran tersebut pokok bahasan dari modul ini adalah membahas tentang aljabar proposisi yaitu lebih khusus mengenai hokum-hukum aljabar proposisi, pernyataan bersyarat, argumen dan kuantor. 2.1. Hukum-hukum Aljabar Proposisi Suatu bentuk logical equivalence dari proposisi-proposisi yang merupakan hokum-hukum yang dapat dipakai untuk penyederhanaan suatu bentuk proposisi disebut hukum-hukum aljabar proposisi. HUKUM-HUKUM ALJABAR PROPOSISI yang sering kita jumpai adalah sebagai berikut: 1) Idempoten p p p p p p 2) Asosiatif p q r p q r p q r p q r 3) Komutatif pq q p pq q p 4) Distributif p q r p q p r p q r p q p r 5) Identitas p f p pt t p f f pt p t true dan f false 6) Komplemen p ~ p t p ~ p f ~ t f ~ f t 7) Involution ~~ p p 8) De Morgan’s ~ p q ~ p ~ q ~ p q ~ p ~ q 9) Absorbsi p ( p q) p p ( p q) p CATATAN : Untuk menunjukkan/membuktikan bahwa hokum-hukum 1 sampai 9 di atas benar silahkan buat table kebenaran dan nyatakan apakah proposisi-proposisi pada hokum-hukum tersebut logical equivalence. Proposisi t = true merupakan suatu pernyataan yang selalu bernilai benar dan proposisi f = false merupakan suatu pernyataan yang selalu bernilai salah. PEMBUKTIAN HK DE’MORGAN dengan table kebenaran sebagai berikut: ~ p q ~ p ~ q p q ~p ~q p^q ~(p^q) ~pv~q + + - - + - - + - - + - + + - + + - - + + - - + + - + + Pernyataan benar = +, Pernyataan salah = - Sama PEMBUKTIAN hokum-hukum yang lain silahkan lakukan sebagai sarana menguji pemahaman. CONTOH : 1) Jika pernyataan p = Rizal pandai, ~p = Rizal bodoh dan q = Rizal kaya ~q = Rizal miskin maka proposisi berikut adalah equvalence. a. Tidak benar Rizal pandai dan kaya = Rizal bodoh atau miskin. b. Tidak benar Rizal bodoh atau kaya = Rizal pandai tetapi miskin. 2) Jika lawan (negasi) dari lebih dari adalah kurang dari atau sama dengan dan negasi dari kurang dari adalah lebih dari atau sama dengan maka pernyataan-pernyataan berikut equivalence. a. Tidak benar 12 kurang dari 7 = 12 lebih dari atau sama dengan tujuh b. 13 lebih dari 25 dan kurang dari atau sama dengan 9 = Tidak benar 13 kurang dari atau sama dengan 25 atau lebih dari 9. PENJELASAN CONTOH : 1) Pada contoh a proposisi dapat ditulis dalam bentuk: Tidak benar Rizal pandai dan kaya = ~(pq) = ~p~q = Rizal bodoh atau miskin, ini merupakan aplikasi dari hukum de’Morgan jadi keduanya equvalence. Pada contoh b dapat ditulis dalam bentuk Tidak benar Rizal bodoh atau kaya = ~(~pq), maka dengan hukum de’Morgan dan Involisi kita dapatkan ~(~pq) = ~~p~q = p~q = Rizal pandai tetapi miskin. 2) Pada contoh a bila p = 12 < 7 maka ~p = 12 7, sehingga kalimat Tidak benar 12 kurang dari 7 = ~p = 12 7 = 12 lebih dari atau sama dengan tujuh. Pada contoh b, bila r = 13 > 25 dan q = 13 9, maka ~r = 13 25 dan q = 13 > 9. Sehingga kalimat 13 lebih dari 25 dan kurang dari atau sama dengan 9 = r q =~(~r~q) = tidak benar 13 25 atau 13 > 9 = Tidak benar 13 kurang dari atau sama dengan 25 atau lebih dari 9. CONTOH : Bentuk permasalahan lain dari aljabar proposisi adalah menyederhanakan suatu pernyataan majemuk sehingga ekivalen dengan suatu bentuk pernyataan majemuk yang sederhana. 1) Sederhanakan aljabar proposisi [p~(p~q)]q. 2) Buktikan bahwa ~(~pq)(pr) = p(~qr) PENJELASAN CONTOH : 1) Dengan memakai hukum-hukum aljabar maka bentuk sederhana dari [p~(p~q)]q adalah p ~ p ~ q q jawab : p ~ p ~ q q p ~ p ~~ q q de Morgan' s p ~ p q q involution p ~ p q q asosiatif f q q komplemen f q identitas q identitas 2) Pembuktian equivalensi dari contoh dua dapat dipakai table kebenaran atau dengan hokum-hukum aljabar proposisi sebagai berikut: ~(~pq)(pr) = (p~q)(pr), hk De’Morgan dan involusi = [(p~q)p][(p~q)r], hk distributive = p(~qp)(pr)(~qr), hk distributive = p(~qr), hk absorbsi. 2.2. Pernyataan Bersyarat BENTUK PROPOSISI yang lainselain konjungsi, disjungsi dan negasi adalah pernyataan bersyarat (conditional statement). Pernyataan bersyarat sering di sebut implikasi dengan bentuk kalimat yang standard yaitu Jika p maka q, dengan notasi p q, dan p, q adalah suatu proposisi atau pernyataan. Nilai kebenaran suatu implikasi dinyatakan dalam table berikut: p q p q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 CONTOH IMPLIKASI : 1) Jika 2 bilangan genap maka 3 bilangan ganjil. 2) Jika 3 faktor dari 8 maka 5 kuadrat sama dengan 25. 3) Jika x2 - 2x + 1 = 0 mempunyai tepat satu solusi maka 3 bilangan prima. PENJELASAN CONTOH : 1) Misalkan pernyataan p = 2 bilangan genap dan q = 3 bilangan ganjil, maka contoh 1 merupakan bentuk implikasi jika p maka q. Karena p bernilai benar dan q bernilai benar maka implikasi bernilai benar (sesuai table implikasi baris empat). 2) Misalkan pernyataan p = 3 faktor dari 8 dan q = 5 kuadarat sama dengan 25, maka contoh 2 merupakan bentuk implikasi jika p maka q. Karena p bernilai salah dan q bernilai benar maka implikasi bernilai benar (sesuai table implikasi baris dua). 3) Misalkan pernyataan p = x2 - 2x + 1 = 0 mempunyai tepat satu solusi dan q = 3 bilangan prima, maka contoh 3 merupakan bentuk implikasi jika p maka q. Karena p bernilai benar dan q bernilai salah maka implikasi bernilai salah (sesuai table implikasi baris 3). SYARAT CUKUP DAN SYARAT PERLU: Misalkan suatu proposisi berbentuk implikasi p q, maka pernyataan p disebut syarat cukup untuk q dan pernyataan q disebut syarat perlu untuk p. Sebab jika implikasi bernilai benar dan p benar maka q pasti benar (ini menunjukkan p syarat cukup untuk q), dilain pihak bila implikasi benar q salah maka p pasti salah (ini menunjukkan q syarat perlu untuk p). BENTUK-BENTUK IMPLIKASI: Suatu bentuk implikasi dari dua pernyataan jika p maka q yang ditulis dengan notasi p q mempunyai bentuk-bentuk lain yang disebut konvers, invers dan kontra positif. Bentuk-bentuk tersebut adalah: 1) Implikasi :p q 2) Konvers :q q 3) Kontrapositif : ~q ~p Dengan skema dapat digambarkan sebagai berikut: Konvers p q Ko ntr a Invers ~ p ~ q q p f siti Po Po siti f a ntr Ko Konvers Invers ~ q ~ p CONTOH : 1) Implikasi : Jika rajin maka lulus : jika lulus maka rajin : jika tidak rajin maka tidak lulus : jika tidak lulus maka tidak rajin konversnya inversnya kontrapositifnya 2) Implikasi : Jika dapat melihat maka mempunyai mata : jika mempunyai mata maka dapat melihat. : jika tidak dapat melihat maka tidak mempunyai mata. : jika tidak mempunyai mata maka tidak dapat melihat. konversnya inversnya Kontrapositifnya KONTRAPOSITIF dari suatu implikasi dan IMPLIKASI keduanya logial equivalence. Ini merupakan suatu sifat yang banyak berguna untuk beberapa aplikasi dari logika pernyataan bersyarat. Kebenaran logical equivalence dapat ditunjukkan dengan table berikut: p q ~p ~q pq ~q~p + + - - + + + - - + - - - + + - + + - - + + + + sama CATATAN : Teori tersebut sangat penting untuk membuktikan kebenaran suatu sifat / dalil, jika dibuktikan langsung sulit maka dapat dibuktikan dengan kontrapositifnya (bukti tak langsung). Contoh : jika hasil kali 2 bilangan adalah ganjil, maka kedua bilangan tersebut adalah ganjil. Buktikan ! Bukti : Untuk membuktikan secara langsung adalah sulit, maka dibuktikan secara tak langsung (kontrapositifnya). Demikian : yang harus dibuktikan xy ganjil x ganjil dan y ganjil kontrapositifnya : x genap atau y genap xy genap misal x genap maka x = 2n (n bilangan asli sembarang) maka xy = 2ny = 2(ny) ini adalah genap benar, / karena kelipatan 2 Karena kontrapositifnya benar,maka implikasinya juga benar terbukti BIIMPLIKASI atau implikasi dua arah dari dua buah pernyataan p dan q adalah jika p maka q dan jika q maka p atau p jika dan hanya jika q, yang ditulis dengan notasi p q. Tabel kebenaran dari biimplikasi adalah sebagai berikut: p q pq pq qp (p q) (q p) + + + + + + + - - - + - - + - + - - - - + + + + sama Dari table terlihat bahwa proposisi p q logical ekivalen dengan p q dan q p. q: CONTOH BIIMPLIKASI p 1) Dua garis sejajar jika dan hanya jika berada di satu bidang dan tidak berpotongan. 2) Suatu barisan bilangan mempunyai limit jika dan hanya jika barisan konvergen. 3) Suatu segitiga sama sisi jika dan hanya jika memiliki tiga sisi yang sama panjang. PENJELASAN CONTOH: Ketiga contoh tersebut adalah teorema-teorema yang ada di matematika yang telah dibuktikan kebenarannya. Karena ketiga contoh biimplikasi benar maka bila pernyataan p benar maka q benar, bila pernyataan p salah maka q juga salah. NEGASI PERNYATAAN BERSYARAT ~(p q) : Suatu pernyataan bersyarat (implikasi) berbentu jika p maka q memiliki nilai kebenaran yang sama dengan bukan p atau q, sehingga ini menunjukkan bahwa p q = ~pq. p q 0 0 0 q ~p ~pq 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 p sama Jadi ~(p q) = ~(~pq) = ~~p ~q, hk De’Morgan = p ~q, Hk involusi CONTOH : 1) Tentukan negasi dari Jika hari ini hujan maka saya akan belajar di rumah. 2) Tentukan negasi dari jika saya sehat dan hari tidak hujan maka saya pergi kuliah atau main bola. 3) Tentukan negasi dari Bilangan bulat a genap jika dan hanya jika a habis dibagi dua. PENJELASAN CONTOH : q) = p 1) Kalimat Jika hari ini hujan maka saya akan belajar di rumah merupakan bentuk p q, dengan p = hari ini hujan dan q = saya akan belajar dirumah. Jadi ~(p ~q = Hari ini hujan dan saya tidak belajar di rumah. 2) Kalimat contoh 2, jika saya sehat dan hari tidak hujan maka saya pergi kuliah atau main bola merupakan bentuk implikasi p q, dengan p = saya sehat dan hari tidak hujan , q = saya pergi kuliah atau main bola. Jadi ~(p q) = p ~q = saya sehat dan hari tidak hujan tetapi saya tidak kuliah dan tidak main bola. 3) Kalimat Bilangan bulat a genap jika dan hanya jika a habis dibagi dua merupakan kalimat biimplikasi p dua. Karena p q, dengan p = Bilangan bulat a genap, q = a habis dibagi q = (p q) (q p) maka ~(p q) = ~[(p q) (q p)] = ~[(p ~q) (q ~p)] = ~(p ~q) ~(q ~p) = (~p q) (~q p) = ~p q ~q p Jadi ~(p q) = Bilangan bulat a ganjil atau bilangan bulat a genap atau a habis dibagi dua atau a tidak habis dibagi dua. 2.3. Argumentasi. ARGUMENTASI : Argumentasi merupakan cara/alasan dalam pengambilan keputusan. Suatu argumentasi bias benar (valid) atau tidak benar (tidak valid). Teori logika pernyataan memberikan suatu metode bagaimana menentukan suatu argumen valid atau tidak valid. Argumen terdiri dari pernyataan-pernyataan yang merupakan premis (dasar pendapat) dan pernyataan yang merupakan konklusi (kesimpulan). NOTASI ARGUMEN : untuk memudahkan memahami logika dari validitas argumentasi dituliskan dengan notasi berikut: Notasi : P(p,q,...), Q(p,q,...), ..... Z(p,q,...) atau : P(p,q,...) Q(p,q,...) ..... Z(p,q,...) ditulis kebawah : P(p,q,...) P(p,q,...) . . . . singkatnya : Z(p,q,...) A B C . . . Z A,B,C,.... bersama-sama disebut hipotesis A,B,C,.... masing-masing disebut premis Z disebut kesimpulan ARGUMEN VALID atau TIDAK VALID : Suatu argumen adalah valid (sah/benar) apabila seluruh premis benar maka konklusi benar. Sebaliknya bila semua premis benar tetapi konklusi tidak benar maka argumen tidak valid (tidak sah/tidak benar). CONTOH : 1) Bila premis-premis argumen adalah A = p adalah Z = p r maka argumen valid. q, B = q r dan konklusi argumen 2) Bila premis-premis argumen adalah A = pq p, B = ~q dan konklusi argumen adalah Z = ~p maka argumen tidak valid. PENJELASAN CONTOH : 1) Dengan table berikut kita tentukan validitas argumen contoh 1 sebagai berikut : p q r + + + + + + pq qr pr - + - - - + - + + + - - - + - - + + - + - + - + - - + - - - Arg Valid Jadi karena kesimpulan dapat benar / salah maka argumen tersebut tidak valid SILOGISMA. MODUS TOLLENS dan MODUS PONENS : Beberapa argumen valid yang sering dipakai sebagai suatu argumentasi didalam matematika atau pada bidang-bidang lain yaitu silogisma, modus tollens dan modus ponen. pq qr pr Silogisma P q ~q ~p Modus Tollens p q p q Modus Ponens 2.4. Kuantor Pernyataan KUANTOR : Untuk menyatakan kuantitas/banyaknya obyek didalam logika dipakai 2 macam kuantor, yitu kuantor universal, kuantor eksistensial. Kuantor universal dipakai untuk menyatakan seluruh obyek sehingga sering dipakai kata-kata semua, setiap, seluruh. Kuantor eksistensial dipakai untuk menyatakan ada beberapa obyek sehingga sering dipakai kata-kata ada, beberapa, terdapat, ada tepat satu. NOTASI KUANTOR : Kuantor universal memakai notasi “ ”, dan notasi kuantor eksistensial adalah “ ”. Khusus kuantor eksistensial yang menyatakan ada tepat satu dipakai notasi “ !”. CONTOH PERNYATAAN BERKUANTOR : 1) Setiap hari matahari terbit dari timur dan tenggelam di barat. 2) Bilangan 2 merupakan factor dari semua bilangan genap 3) Beberapa matriks persegi tidak mempunyai invers. PENJELASAN CONTOH : Pada contoh 1, 2 dan 3 semuanya mengandung kata yang merupakan suatu kuantor, yaitu pada contoh 1 terdapat kata setiap, pada contoh 2 terdapat kata semua dan pada contoh 3 terdapat kata beberapa. Jadi ketiganya merupakan pernyataan berkuantor. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR : Negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan negasi kuantor eksistensial adalah kuantor universal. Misalkan untuk seluruh obyek x bersifat P dapat ditulis dengan notasi x p (x ) . Negasi dari kalimat ini adalah ~[ x p (x ) ] = x ~[ p (x ) ]. Sebaliknya beberapa obyek y bersifat q dapat ditulis dengan notasi y q ( y ) . Negasi dari kalimat ini adalah ~[ y q ( y ) ] = y ~[ q ( y ) ]. Situasi ini dapat dituliskan dengan formula berikut: x, p ( x) = x, p( x) y , p ( y ) = y, p( y ) Lebih lanjut dapat dibuktikan bahwa : xP x Q x x P x Q x xP x Q x xP x Q x x P x Q x xP x Q x CONTOH : 1) Negasi dari kalimat : Untuk beberapa x, jika x2 < y2 maka x < y adalah kalimat : Untuk semua x, x2 < y2 dan x > y. x R, y R, xy 1 P( x) yQ( x, y ) sehingga 2) Kalimat berbentuk xP( x, y ) , ~( x R, y R, xy 1 ) = xP( x, y ) = x P ( x, y ) = xyQ ( x, y ) = xy Q ( x, y ) = x R, y R, xy 1 dengan Activity 2 Part Quiz/Exam/Self-Assess Assignments 1. a. Dengan memakai aljabar proposisi, sederhanakan proposisi berikut. [p~(p~q)]q b. Uji apakah argumen-argumen berikut valid. 2. . a. Dengan memakai aljabar proposisi, sederhanakan proposisi berikut. ~[ ~ (~p ~q) v q ) ^ ~p b. Uji apakah argumen-argumen berikut valid p r, r ~q, q ~p |--- p Tuliskan argumen yg diberikan dengan kata-kata dan nyatakan apakah argumen tersebut valid ? Bila p : 64 K lebih baik daripada tidak ada memori sama sekali q : Kami akan membeli lebih banyak memori r : Kami akan membeli sebuah komputer baru. 3. p ( r v q ) r ~q --------------------------pr 4. (p q) ^ ( r s) pvr -------------------------qvs
