matematika diskrit - E

KECERDASAN BUATAN
Review
PREDIKAT, QUANTIFIER, &
ARGUMEN
Predikat



Pernyataan yg melibatkan variabel, seperti
“x>3”, “x=y+3”, dan “x+y=z” sering
ditemukan dalam ilmu matematika dan
komputer.
Pernyataan tsb blm memiliki nilai kebenaran
jika nilai dari variabelnya belum didefinisikan.
Pernyataan “x lebih besar dari 3” memiliki 2
bagian:
Bag. 1: variabel x itu sendiri, yg merupakan
subjek dari pernyataan
 Bag 2: predikat, “lebih besar dari 3”, yg mengacu
pada sifat yg dapat dimiliki oleh subjek
pernyataan
7/18/2017
2

Propotional Function




Pernyataan “x lebih besar dari 3” dapat
dinyatakan dgn P(x), dimana P merupakan
predikat “lebih besar dari 3” dan x adalah
variabel.
P(x) juga dapat dikatakan sebagai
propotional function P pada x.
Jika x sudah diberikan sebuah nilai, maka
P(x) menjadi sebuah proposisi dan memiliki
nilai kebenaran.
x dapat juga merupakan anggota dari sebuah
himpunan domain (daerah asal) D.
7/18/2017
3
Propotional Function
Contoh:
 Misal P(x) menyatakan x >3.
Bagaimana nilai kebenaran untuk P(4)
dan P(2)?
Jawab:
P(4)  x = 4 shg pernyataannya menjadi 4
>3, nilai kebenarannya adalah BENAR
P(2)  x = 2 shg pernyataannya menjadi
2>3, nilai kebenarannya adalah SALAH
7/18/2017
4
Propotional Function



Propotional function juga dapat melibatkan
lebih dari 1 variabel.
Contoh: pernyataan “x = y + 3” dapat
dinyatakan dengan Q(x,y) dimana x dan y
adalah variabel dan Q adalah predikat.
Nilai kebenaran dari Q(1,2) adalah SALAH
dan nilai kebenaran dari Q(3,0) adalah
BENAR
7/18/2017
5
Propotional Function
dengan daerah Domain

Contoh:
P(x): x adalah bilangan ganjil; x  D
D = himpunan bilangan bulat positif
Jika x = 1, maka P(1) bernilai BENAR
Jika x = 2, maka P(2) bernilai SALAH
Jika x = 3, maka P(3) bernilai BENAR
dst.
7/18/2017
6
Universal Quantor

Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.

x, P( x )

 merupakan kuantor universal, dan dibaca “untuk setiap” atau
dibaca “untuk setiap x, P(x)”
“untuk semua”

Pernyataan x,
pada domain D.

Pernyataan x, P( x ) bernilai SALAH jika berlaku hanya pada
sebagian x pada domain D.
7/18/2017
P( x )
bernilai BENAR jika berlaku untuk semua x
7
Universal Quantor

Contoh 1:
Tulislah pernyataan berikut dengan
simbol universal quantor: “Untuk
setiap x, x2 ≥ 0”
Jawab:
2
2
P(x) : x ≥ 0, maka: x, x  0
7/18/2017
8
Universal Quantor

Contoh 2:
Tulislah pernyataan berikut dengan
simbol universal quantor: “Untuk semua
x, jika x > 1, maka x2 > 1”
Jawab:
P(x): x > 1 → x2 > 1, maka:
x, x  1  x  1
2
7/18/2017
9
Universal Quantor

Contoh 3:
Misal P(x): x + 1 > x
Bagaimana nilai kebenaran dari x, P(x)
dimana domainnya adalah semua bilangan
real?
Jawab:
D = himp. Bil real. Karena P(x) benar untuk
semua bilangan real x, maka x, P(x)
bernilai BENAR
7/18/2017
10
Universal Quantor

Contoh 4:
Misal P(x): x < 2. Bagaimana nilai kebenaran
dari x, P(x) untuk domain semua
bilangan real?
Jawab:
P(x) tidak benar untuk setiap bilangan real x,
karena (misal) untuk x=3, maka P(x) SALAH.
Sehingga x, P(x) bernilai SALAH
7/18/2017
11
Existential Quantor





Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah
asal D.
x, P( x ) dibaca “untuk beberapa x, P(x)”
 merupakan kuantor eksistensial, dan dibaca
“untuk beberapa”, “ada”, atau “setidaknya ada”.
Pernyataan x, P( x ) bernilai BENAR jika berlaku
untuk setidaknya salah satu x dari domain D.
Pernyataan x, P( x ) bernilai SALAH jika tidak ada
yg berlaku dari domain D.
7/18/2017
12
Existential Quantor

Contoh 1:
Tuliskan pernyataan berikut dengan
simbol kuantor eksistensial: “Untuk
beberapa x, x2 ≥ 0”
Jawab:
2
2
P(x): x ≥ 0, maka x, x  0
7/18/2017
13
Existential Quantor

Contoh 2:
Tuliskan pernyataan berikut dengan
simbol kuantor eksistensial: “Untuk
setidaknya satu x, jika x>1, maka
x2>1”
Jawab:
P(x): x>1 → x2>1, maka:
x, x  1  x 2  1
7/18/2017
14
Existential Quantor

Contoh 3:
Misal P(x): x > 3. Bagaimana nilai kebenaran
x, P( x ) pada domain semua bilangan real?
Jawab:
P(x) bernilai benar untuk beberapa nilai x,
misal 4 dan 5. Sehingga x, P(x)
bernilai BENAR
7/18/2017
15
Existential Quantor

Contoh 4:
Misal P(x): x2 < 0. Bagaimana nilai
kebenaran x, P(x) untuk domain semua
bilangan real?
JAWAB:
Pernyataan tersebut SALAH, karena untuk
semua x, adalah salah bahwa kuadrat x
bernilai negatif.
7/18/2017
16
Negasi dari Quantor

~(
x, P( x ) x), ~≡ P ( x)

~(
x),≡
~ P( x)
x, P( x )
Contoh:
 Tentukan negasi dari: “Semua manusia
memiliki orangtua”
 Tentukan negasi dari:”Ada orang Indonesia
yang tidak suka gado-gado”
7/18/2017
17
Kuantor Ganda

Contoh :
Untuk setiap orang x, terdapat seorang y
sedemikian hingga y adalah ibu dari x.
Jawab :
(x)( y) P(x, y), P(x, y) : " y adalah ibu dari x"
7/18/2017
18
Kuantor Ganda

Contoh :
Terdapat seorang y sehingga untuk semua
orang x, y adalah ibu dari x.
Jawab :
(y)( x) P(x, y), dimana P(x, y) : " y adalah ibu dari x"
7/18/2017
19
Hubungan antar kuantor ganda :
(x)( y) P(x, y)  (y )(x) P(x, y)
(x)( y) P(x, y)  (y)( x) P(x, y)
(x)( y) P(x, y)  (y)( x) P(x, y)
Ingkaran :
(x)( y) P(x, y)  (x)( y) P(x, y)
(x)( y) P(x, y)  (x)( y) P(x, y)
7/18/2017
20
Contoh
Apakah ingkaran kalimat berikut :
a.  bilangan bulat n  bilangan bulat k  n  2k
b. ( masalah P)( program komputer C) C tidak
dapat menyelesai kan P.
Jawab :
a.  bilangan bulat n  bilangan bulat k  n  2k
b. ( masalah P)( program komputer C) C dapat
menyelesai kan P.
7/18/2017
21
ARGUMEN & METODE
PEMBUKTIAN

Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan
sebagai :
p1
p2
p3
.
pn
----------
p

p1, p2, …, pn disebut hipotesis (premis) dan p disebut
konklusi.
7/18/2017
22
Inference Rule
Universal
Instantiation
Universal
Generalization
Existensial
Instantiation
Existential
Generalization
7/18/2017
x P( x)
 P (c )
P (c )
for an arbitrary c
 x P( x)
x P( x)
 P (c )
P (c )
for some element c
for some arbitrary c
 x P( x)
23
Contoh

Diketahui premis “Everyone in this
discrete mathematics class has taken a
course in computer science” and “Marla
is a student inthis class” Apakah benar
konklusinya adalah “Marla has taken a
course in computer science”
7/18/2017
24
Solusi
Misal :
P(x) : “x is in this discrete mathematics class”
Q(x) : “x has taken a course in computer science”
Maka logika kuantor dari premis diatas :
x( P ( x)  Q ( x))
P ( Marla )
konklusi ? Q ( Marla )
7/18/2017
25
Inference Rule
1. x( P ( x)  Q( x))
Premise
 P ( Marla )  Q( Marla ) Universal Instantiation
2.P ( Marla )  Q( Marla )
Hasil (1)
Premise
P ( Marla )
Modus Ponen
 Q( Marla )
7/18/2017
26