Bab 2 Kuantor - elista:.

KUANTOR
KUANTOR
SMTS 1101 / 3SKS
LOGIKA MATEMATIKA
Disusun Oleh :
Dra. Noeryanti, M.Si
______________________________________________ 31
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
DAFTAR ISI
Cover pokok bahasan
..............................................................
31
Daftar isi . ...................................................................................
32
Judul Pokok Bahasan .................................................................
33
2.1.
Pengantar
......................................................................
33
2.2.
Kompetensi
.....................................................................
33
2.3
Uraian Materi
.................................................................
33
2.3.1 Semesta Pembicaraan
2.3.2 Variabel dan Konstanta
............................................
33
............................................
34
2.3.3. Pernyataan Terbuka ...................................................
36
2.3.4 Kuantor Universal dan Ekstensial................................
37
2.3.5 Negasi suatu pernyataan .........................................
40
2.3.6 Fungsi Pernyataan
..................................................
41
............................................................................
44
Rangkuman
Soal-soal Latihan
.................................................................
46
______________________________________________ 32
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
KUANTOR
2.1
Pengantar
Dalam modul ini akan mempelajari konsep dasar tentang semesta
pembicaraan, kalimat terbuka, kuantor universal dan kuantor eksistensial, sebagai
konsep penalaran dalam logika matematika.
2.2
Kompetensi
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan:
a. Terampil dalam menggunakan konsep dasar semesta pembicaraan, kalimat
terbuka, penggunaan kuantor.
b. Terampil dalam membedakan kuantor universal dan kuantor eksistensial.
c. Terampil dalam mengerjakan contoh soal kuis / latihan
2.3
Uraian Materi
Pentingnya persiapan sebelum mempelajari pokok bahasan ini merupakan
langkah awal keberhasilan kompetensi yang diharapkan. Kuantor yang akan dibahas
disini hanya salah satu cara dalam merubah suatu pernyataan terbuka (yang belum
punya
nilai
kebenaran)
menjadi
suatu
pernyataan
yang
mempunyai
nilai
kebenaranya.
Dalam logika matematika, ada beberapa hal yang perlu kita ketahui
sebelum membahas kuantor, misalnya perlunya pergertian semesta pembicaraan,
variabel, konstanta dan pernyataan/kalimat terbuka.
2.3.1.
Semesta Pembicaraan
Semesta pembicara itu menguraikan sifat-sifat dari, dan hubungan antara
obyek-obyek. Obyek-obyek ini dapat berupa apa saja, seperti orang-orang, bendabenda, binatang, bilangan dan lain sebagainya. Keseluruhan obyek-obyek yang
dibicarakan disebut “semesta pembicara” disingkat semesta saja.
______________________________________________ 33
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
Pada setiap pembicaraan matematika, orang selalu mulai dengan
menetapkan lebih dahulu semesta pembicara nya. Sebab benar atau salahnya suatu
ucapan tergantung pada semesta pembicara nya.
Contoh(2.1):
Suatu pernyataan x2 + 1 = 0 mempunyai penyelesaian” tidak mempunyai
nilai benar atau salah sebelum terlebih dahulu ditentukan semesta pembicara nya.
Jika semesta pembicaranya himpunan bilangan-bilangan riil (nyata), maka
pernyataan di atas bernilai salah. Tetapi jika semesta pembicaranya himpunan
bilangan-bilangan kompleks, maka pernyataan bernilai benar.
2.3.2.
Variabel dan Konstanta
Definisi (2.1):
Variabel adalah simbol yang menunjukan suatu anggota yang belum
spesifik dalam semesta pembicaraan. Sedangkan konstanta adalah simbol yang
menunjukan suatu anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta
pembicaraan
Untuk dapat berbicara tentang anggota tertentu dari semestanya,
diperlukan suatu simbol atau tanda yaitu suatu nama dari anggota tersebut.
Contoh(2.1):
Misalnya ada pernyataan “Niken”, “Ais”, “Aji” adalah nama orang, dimana
semestanya adalah himpunan orang-orang.
Jika semestanya himpunan bilangan-bilangan, maka angka 5, angka 211 adalah
suatu simbol untuk bilangan-bilangan yang disajikan.
Simbol seperti itu disebut Konstanta. Jadi konstanta adalah suatu simbol
atau tanda yang diucapkan atau ditulis untuk menunjukkan tentang anggota tertentu
dari semestanya.
______________________________________________ 34
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
Jika hendak berbicara tentang anggota sembarang dari semestanya, maka
diperlukan suatu tanda-tanda lain dari konstanta. Tanda demikian yang dimaksud
adalah variabel (atau perubah). Jadi variabel adalah suatu simbol atau tanda yang
digunakan untuk menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya.
Contoh (2.2):
Misalnya semesta pembicaranya terdiri atas mereka yang kuliah pada
sebuah universitas (perguruan tinggi) maka kata “mahasiswa” menunjuk pada
anggota sembarang dari semesta pembicaranya.
Contoh (2.3):
Pehatikan beberapa pernyataan berikut:
(a). Manusia makan nasi
(b). Manusia memakai sepatu
(c). 4 + x = 7
(d). p < 5
Suatu pernyataan mempunyai nilai benar atau salah tergantung pada
kesesuaian kalimat tersebut dengan keadaan sesungguhnya. Bernilai benar jika
keadaan sesungguhnya sesuai dengan realita yang ada, jika sebaliknya bernilai
salah. Pernyataan seperti ini biasanya disebut pernyataan faktual.
Jika pernyataan (a) manusia diganti Tony, maka pernyataannya menjadi
“Toni makan nasi”. Pernyataan ini jelas bernilai benar saja atau salah saja,
tergantung realitasnya. Demikian juga untuk pernyataan (b) akan menjadi
pernyataan “Tony memakai sepatu” pernyataan ini akan menjadi jelas nilainya, yaitu
benar atau salah tergantung realitasnya.
Pada pernyataan (c) jika x diganti 3, akan bernilai benar. tetapi jika x
diganti 4 akan bernilai salah. Demikian juga untuk pernyataan (d) jika p diganti “0
atau 1, atau 2, atau 3, atau 4” akan bernilai benar untuk semesta pembicaraan
himpunan bilangan cacah, tetapi jika semestanya himpunan bilangan asli, maka
pernyataan akan bernilai salah.
______________________________________________ 35
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
Kata-kata “manusia”, “x” , “p” pada pernyataan diatas disebut variabel.
Sedangkan pengganti katanya yaitu “Tony”, “3”, “4”, dan “0,1,2,3,4”
disebut
konstanta.
Jika semesta pembicaranya bilangan-bilangan maka variabel yang
dimaksudkan adalah variabel numerik. Dalam hal ini, variabel adalah tanda-tanda,
yang biasanya dipilih huruf kecil dari abjad “x”, “y” dan seterusnya.
2.3.3.
Pernyataan Terbuka.
Pernyataan-pernyataan dalam contoh (2.3) di atas disebut kalimat
(pernyataan) terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan
konstanta yang sesuai, maka pernyataan yang terjadi dikatakan sebagai pernyataan
tertutup.
Definisi (2.2):
Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang memuat variabel, dan
jika variabel tersebut diganti konstanta yang sesuai dengan semestanya maka
pernyataanya akan bernilai benar saja atau salah saja.
Jadi pernyataan terbuka merupakan pernyataan yang belum mempunyai
nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah.
Kita misalkan pernyataan terbuka ini dengan simbol/notasi “p(x)”. Huruf
“p”, “q” , ….dan seterusnya disini hanyalah sebuah simbol/notasi dalam pengkajian
suatu sifat, hanya untuk mempermudah dalam pembicaraan selanjutnya. Misalnya:
“p (x)” ini merupakan kalimat terbuka, dan diucapkan sebagai “obyek x mempunyai
sifat p”. Variabel yang terdapat dalam rangkaian tanda “p(x)” disebut variabel bebas.
Disini “p(x)” , tidak bernilai benar atau salah. Pernyataan ini disebut
pernyataan terbuka.
Agar pernyataan terbuka “p(x)” ini mempunyai nilai salah atau benar (yaitu
menjadi pernyataan deklaratif), maka jika perlu semua variabel bebas di dalamnya
diganti dengan suatu konstanta. Ada cara yang lazim digunakan untuk merubah
______________________________________________ 36
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
pernyataan terbuka ini menjadi pernyataan deklaratif, yaitu dengan membubuhkan
suatu kuantor. Yang dimaksud kuantor disini adalah kuantor universal atau kuantor
eksistensial di depan pernyataan “p(x)”.
2.3.4.
Kuantor Universal Dan Kuantor Eksistensial.
a. Fungsi Pernyataan
Suatu fungsi pernyataan adalah suatu pernyataan terbuka di dalam
semesta pembicaraannya.
Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka
yang dinyatakan sebagai “p(x)” yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah
tetapi tidak keduanya untuk setiap a ∈ semesta pembicaraannya. Ingat disini p(a)
suatu pernyataan.
Contoh (2.4):
Misalnya: fungsi pernyataan “p(x) = 1+ x > 5 ”
Disini p(x) akan merupakan fungsi pernyatan pada A = himpunan bilangan
asli. Tetapi p(x) bukan merupakan fungsi pernyataan pada K = himpunan bilangan
kompleks.
Contoh (2.5):
a) Jika p(x) = 1 + x > 5 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka
p(x) bernilai benar untuk x = 5,6,7, ...
b) Jika q(x) = x + 3 < 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, tidak
ada x yang menyebabkan q(x) bernilai benar.
c) Jika r(x) = x + 3 > 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka
r(x) bernilai benar untuk x = 1,2,3, ...
Dari contoh di atas terlihat bahwa fungsi pernyataan p(x) yang didefinisikan
pada suatu himpunan tertentu akan bernilai benar untuk semua anggota semesta
______________________________________________ 37
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
pembicaraan, beberapa anggota semesta pembicaraan, atau tidak ada anggota
semesta pembicaraan yang memenuhi.
b. Kuantor Umum (Universal)
Simbol ∀ yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap”disebut kuantor
umum (universal). Jika p(x) adalah fungsi proposional pada suatu himpunan A
(himpunan A adalah semesta pembicaraanya) maka (∀x ∈ A) p(x) atau ∀x, p(x)
atau ∀x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x
elemen dalam himpunan A, p(x) merupakan pernyataan yang benar”. atau “Untuk
semua x, berlaku p(x)”.
Beberapa macam ucapan-ucapan yang mempunyai arti sama diantaranya:
(∀x ∈ A) p(x) dibaca :
• Untuk setiap x ∈ A berlakulah x mempunyai sifat p
• Semua x, berlaku p(x)
• Tiap-tiap x, x memenuhi sifat p(x).
Contoh (2.6):
Misalnya pernyataan p(x) = x tidak kekal
p(manusia) = Manusia tidak kekal
maka ∀x p(x) atau ∀x, p(x) atau ∀x x∈{manusia}, p(x) = semua manusia
tidak kekal (Benar).
Perhatikan:
Bahwa p(x) merupakan kalimat terbuka (tidak mempunyai nilai kebenaran).
Tetapi ∀x p(x) merupakan pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah tetapi
tidak kedua-duanya).
Contoh (2.7): ∀x r(x) = ∀x (x+3>1) pada A = {bilangan asli} bernilai benar.
Contoh (2.8): ∀x q(x) = ∀x (x+3<1) pada A = {bilangan asli} bernilai salah.
______________________________________________ 38
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
c.
Kuantor Khusus (Eksistensial)
Simbol ∃ dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit
satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunan
tertentu A (himpunan A adalah semesta pembicaraanya) maka (∃x ∈ A) p(x) atau
∃x! p(x) atau ∃x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca “Ada x elemen A,
sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan benar” atau “Untuk beberapa x,
p(x)”. Ada yang menggunakan simbol ∃x! untuk menyatakan “Ada hanya satu”.
Beberapa macam ucapan-ucapan yang mempunyai arti sama diantaranya:
(∃x) P(x) dibaca :
•
Terdapat x∈ A, x bersifat p(x)
•
Ada x ∈ A sedemikian hingga x mempunyai sifat p.
•
Sekurang-kurangnya satu x ∈ A mempunyai sifat p
•
Beberapa x, x mempunyai sifat p.
Contoh (2.9):
Misalkan suatu pernyataan p(x) = x adalah anita
p(pewira ABRI) = perwira ABRI adalah wanita
Maka ∃x p(x) = ∃x! p(x) = ∃x ∈ {perwira ABRI}, p(x) = Ada perwira ABRI
wanita (Benar).
Contoh (2.10): ∃x p(x) = ∃x ( x + 1 < 5 ) pada A = {bilangan asli}
maka pernyataan itu bernilai salah.
Contoh (2.11): ∃x r(x) = ∃x (3 + x > 1) pada A = {bilangan asli}
maka pernyataan itu bernilai salah.
______________________________________________ 39
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
Contoh(2.12): Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut dengan
mengambil semesta pembicaraannya adalah himpunan semua
bilangan riil.
(1)
∀x, x = x
(4). ∃x ; x + 2 = x
(2)
∃x, x2 = x
(5). ∃x x = 0
(3)
∀x ; x + 1 > x
Jawab :
(1) Bernilai salah, sebab jika x0 = -3, maka |x0| ≠ x0
(2) Bernilai benar, sebab ada x0 = 1, sedemikian sehingga berlaku x02 =x0
(3) Benar, sebab tiap-tiap bilangan riil selalu memenuhi pertidaksamaan
x+1 > x
(4) Salah, sebab tidak ada pemecahan untuk x + 2 = x
(5) Bernilai benar, sebab ada x0 = 0, sehingga |x0| = 0
2.3.5.
Negasi Suatu Pernyataan yang Memuat Kuantor.
Negasi dari “Semua manusia tidak kekal”
adalah “tidak benar bahwa
semua manusia tidak kekal ” atau “Beberapa manusia tidak kekal”
Jika p(x) adalah manusia (=x) tidak kekal, maka “Semua manusia adalah
tidak kekal” atau ∀x p( x ) bernilai benar dan “beberapa manusia tidak kekal” atau
∃x p( x ) bernilai salah.
Jadi ingkaran dari kuantor universal (∀x) p(x) dinyatakan dengan simbol
logika : [∀x p(x)] ≡ ∃x : p(x) atau (∀x) p(x) ≡ (∀x) p(x)
≡ (∃x) p(x)
Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor universal adalah
ekivalen dengan pernyataan
yang memuat kuantifikasi eksistensial (fungsi
pernyataan yang dinegasikan)
______________________________________________ 40
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
Dan sebaliknya
Ingkaran dari kuantor eksistensial (∃x) p(x) dinyatakan dengan (∃x) p(x)
dinyatakan
dengan
(∃x) p(x) ≡ ( ∃x) p(x)
simbol
logika
: [ ∃x p(x)] ≡ ∀x : p(x)
atau
≡ (∀x) p(x)
Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor eksistensial
adalah ekivalen dengan pernyataan yang memuat kuantifikasi universal (fungsi
pernyataan yang dinegasikan)
Contoh(2.13):
Tentukan ingkaran-ingkaran dari setiap pernyataan soal contoh (2.12) diatas
Penyelesaian:
(1) ∀x, x = x ≡ ∃x, x = x ≡ ∃x, x ≠ x
(2) ∃x, x 2 = x ≡ ∀x, x 2 = x ≡ ∀x, x 2 ≠ x
(3) ∀x, x + 1 > x ≡ ∃x, x + 1 > x ≡ ∃x, x + 1 >/ x ≡ ∃x, x + 1 ≤ x
(4) ∃x, x + 2 = x ≡ ∀x, x + 2 = x ≡ ∀x, x + 2 ≠ x
(5) ∃x,
2.3.6.
x = 0 ≡ ∀x, x = 0 ≡ ∀x, x ≠ 0
Fungsi Pernyataan yang memuat lebih dari satu variabel
Didefinisikan himpunan A1, A 2 , A 3 , ... ,A n . Suatu fungsi pernyataan yang
memuat variabel pada himpunan A1 × A 2 × A 3 × ... × A n merupakan kalimat
tebuka p(x1, x2, x3, ... , xn) yang mempunyai sifat p(a 1, a2, a 3, ... , an) ernilai benar
atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, ... , an) anggota semesta pembicaraan
A1 × A 2 × A 3 × ... × A n .
______________________________________________ 41
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
Contoh (2.14):
Diketahui P = {pria}, W = {wanita}. “x menikah dengan y” ≡ M(x,y) adalah
fungsi pernyataan pada P x W.
Contoh (2.15):
Diketahui A = {bilangan asli}. “2x – y + 5z < 10” ≡ K(x,y,z) adalah fungsi
pernyataan pada A x A x A.
Suatu fungsi pernyataan yang bagian depannya dibubuhi dengan suatu
kuantor untuk setiap variabel seperti berikut ini:
∀x ∃x p(x,y)
atau
∃x ∃y ∀z p(x,y,z)
merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.
Contoh (2.16):
Misalnya: P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida}, serta p(x,y)
= x adalah kakak y.
Maka
∀x ∈ P, ∃y ∈ W, p(x,y) dibaca “Untuk setiap x di P dan y di W
sedemikian hingga x adalah kakak y” berarti bahwa setiap
anggota P adalah kakak dari Rita atau Farida.
Jika pernyataan itu ditulis sebagai ∃y ∈ W ∀x ∈ P p(x,y) dibaca “Ada
y di W untuk setiap x di P sedemikian hingga x adalah kakak y” berarti
______________________________________________ 42
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
bahwa ada (paling sedikit satu) wanita di W mempunyai kakak semua
anggota P.
Misalnya negasi dari pernyataan yang memuat kuantor dapat
ditentukan sebagai berikut ini:
~[∃x {∀y p(x,y)} ] ≡ ∀x ~ [∀y p(x,y)] ≡ ∀x ∃y ~ p(x,y)
atau
∃x { ∀y p(x,y)} ≡ ∃x ∀y p(x,y) ≡ ∃x ∀y p(x,y) ≡ ∀x ∃y p(x,y)
Contoh (2.17):
Diketahui P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida} serta
p(x,y) = x adalah kakak y.
Tuliskan negasi dari pernyataan: ∀x ∈ P, ∃y ∈ W, p(x,y)
Jawab: Negasi dari pernyataan ∀x ∈ P, ∃y ∈ W, p(x,y) adalah:
~[∀x ∈ P {∃y ∈ W, p(x,y)} ] ≡ ∃x ∈ P, ~[∃y ∈ W, p(x,y)]
≡ ∃x ∈ P, ∀y ∈ W, ~p(x,y)
atau
∀x ∈ P {∃y ∈ W , p( x, y )} ≡ (∀x ∈ P ) {∃y ∈ W , p( x, y )}
______________________________________________ 43
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
≡ ∃x ∈ P (∃y ∈ W ) p( x, y )
≡ ∃x ∈ P (∀y ∈ W ) p( x, y )
Jika kita baca pernyataan semula adalah: “Setiap anggota P adalah
kakak dari paling sedikit satu anggota W”
Negasi dari pernyataan itu adalah “Tidak benar bahwa setiap
anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W” yang ekivalen
dengan “Ada anggota P yang bukan kakak dari semua anggota W”.
Rangkuman
1.
Keseluruhan obyek-obyek yang dibicarakan disebut “semesta pembicara”
2.
Variabel adalah suatu simbol atau tanda yang digunakan untuk menunjuk pada
anggota sembarang dari semesta pembicaranya.
3.
Konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang diucapkan atau ditulis untuk
menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya.
4.
Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang belum mempunyai nilai
kebenaran, belum bernilai benar atau salah ditulis p(x).
5.
Kuantor universal yang dinyatakan sebagai (∀x) dan kuantor eksistensial
dinyatakan sebagai (∃x).
6.
Pernyataan (∀x) p(x) dibaca : (1). Semua x mempunyai sifat p. (2). Untuk
setiap x berlakulah x mempunyai sifat p. (3).Tiap-tiap x, x mempunyai sifat p.
______________________________________________ 44
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
Pernyataan (∃x) p(x) dibaca : (1). Terdapat x, x mempunyai sifat p. (2). Ada x
sedemikian hingga x mempunyai sifat p. (3). Sekurang-kurangnya satu x
mempunyai sifat p. (4). Beberapa x, x mempunyai sifat p
7.
Ingkaran dari pernyataan (∀x) p(x) ditulis (∀x) p(x) ≡ (∀x) p(x) ≡ (∃x) p(x)
8.
Ingkaran dari pernyataan(∃x) p(x ditulis (∃x)P(x) ≡ ( ∃x)P(x)
9.
negasi dari pernyataan ∃x ∈ W, ∀y ∈ P, p(x,y) adalah
≡ (∀x) p(x)
~[∃x {∀y p(x,y)} ] ≡ ∀x ~ [∀y p(x,y)] ≡ ∀x ∃y ~ p(x,y) atau
∃x { ∀y p(x,y)} ≡ ∃x ∀y p(x,y) ≡ ∃x ∀y p(x,y) ≡ ∀x ∃y p(x,y)
10. Negasi dari pernyataan ∀x ∈ P, ∃y ∈ W, p(x,y) adalah:
~[∀x ∈ P {∃y ∈ W, p(x,y)} ] ≡ ∃x ∈ P, ~[∃y ∈ W, p(x,y)]
≡ ∃x ∈ P, ∀y ∈ W, ~p(x,y)
atau
∀x ∈ P {∃y ∈ W , p( x, y )} ≡ (∀x ∈ P ) {∃y ∈ W , p( x, y )}
≡ ∃x ∈ P (∃y ∈ W ) p( x, y ) ≡ ∃x ∈ P (∀y ∈ W ) p( x, y )
______________________________________________ 45
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Manakah yang merupakan kalimat terbuka
(a) Jika saya lapar maka saya tidak bisa belajar
(b) Mahasiswa Jurusan matematika rajin-rajin
(c) Segitiga sama sisi adalah segi tiga yang ketiga sisinya sama panjang.
(d). x – 5 < 7
(e). Agus kuliah di UGM
(f). Diagonal bujur sangkar saling berpotongan dan tegak lurus
2. Misalkan A = { 1, 2, 3, 4, 5 } merupakan himpunan semesta, tentukan nilai
kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut, kemudian carilah negasinya
(a). (∃x ∈ A), x + 3 = 10
(e). (∃x ∈ A), x + 3 < 5
(b). (∀x ∈ A), x + 3 < 10
(f). (∀x∈ A), x + 3 ≤ 7
(c). ∀x ( 4 + x < 10)
(g). ∃x (4 + x > 8)
(d). ∃x (4 + x = 7 )
(h). ∀x (4 + x ≤ 7 )
3. Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut ini dalam bentuk simbolik, kemudian
tentukan negasinya
(a). Setiap bilangan kuadrat lebih besar atau sama dengan nol
(b). Ada segi tiga sama kaki yang bukan segi tiga sama sisi
(c). Tidak ada manusia yang hidup abadi
(d). Di perguruan tinggiku ada profesor wanita
4. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut ini:
(a). ∃x, ( x + 3 = 5) dalam himpunan X = {1, 2, 3, ...}
(b). ∀n (2 + n > 5) dalam himpunan bilangan asli
(c). (∀x ∈ R ) ( x 2 ≥ 0) ; R = {bilangan cacah}
______________________________________________ 46
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
(d). ∃x x ≠ 0 dalam himpunan bilangan riel
(e). (∃x ∈ R ) ( x 2 > x ) ; R = {bilangan riel}
5. Ingkarilah (cari negasi) pernyataan-pernyataan berikut ini,
(a). ∃x p( x ) ∧ ∀y q( y )
(g). ∀x ∀y p( x, y )
(b). ∀x p( x ) → ∀y q( y )
(h). ∀x ∃y p( x, y )
(c). ∀x p( x ) ∨ ∃y q( y )
(i). ∃x ∀y [ p( x ) ∧ q( y )]
(d). ∃x p( x ) → ∃y (: q( y ))
(j). ∀x ∀y [ : p( x ) ∨ q ( y )]
(e). ∀x p( x ) ∧ ∃y q( y )
(k). ∃x ∀y [ p( x ) → q( y )]
(f). ∃x p( x ) ∨ ∀y q( y )
(l). ∀x ∀y ∃z p( x, y , z )
6. Ambil M = {1, 2, 3} adalah himpunan universal, tentukan nilai kebenaran dari
setiap pernyataan berikut ini :
(a). ∀x ∃y ( x + y = 1)
(k) ( ∃x )( ∃y )
x 2 + y 2 < 12
(b) ∃x ∀y ( x + y = 1)
(l)
( ∀x )( ∃y )
x 2 + y 2 < 12
(c). ∃x ∃y ( x + y = 1)
(m) ∀x ∀y , x 2 + y 2 < 20
(d). ∀x ∃y ( x 2 < y + 1)
(n) ∀x ∃y , x 2 + y 2 < 13
(e). ∃x ∃y ( x 2 < y + 1)
(o) ∃x ∃y , x 2 + y 2 < 13
(f). ∃x ∀y ( x 2 < y + 1)
(p) ∃x ∀y , x 2 + y 2 < 13
(g). ∀x ∃y , x 2 + 2y < 10
(q) ∃x ∃y ∀z, x 2 + y 2 < z 2
(h) ∃x ∀y , x 2 + 2y > 10
(r). ∃x ∀y ∃z, x2 + y 2 < z 2
(i)
( ∀x )( ∀y )
x 2 + y 2 < 12
(s). ∀x ∃y ∃z, x2 + y 2 < z 2
(j)
( ∃x )( ∀y )
x 2 + y 2 < 12
(t). ∃x ∃y ∃z, x 2 + y 2 < z 2
______________________________________________ 47
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
7. Tentukan ingkaran dari soal no 6
8. Tiadakanlah pernyataan berikut ini :
(1) (∃x) (∀y), p(x,y)
(7). (∃x) (∀y) (p(x) .∨.q(y))
(2) (∀x) (∀y), p(x,y)
(8). (∀x) (∃y), (p(x, y) → q (y))
(3) (∃x) (∃y) (∀z), P(x,y,z)
(9). (∃x) (∃y), (p(x) . ∧ . q(y))
(4) (∀x) (∃y), (p(x) . ∨ . q(y))
(10). (∀x) p(x) ∧ (∃x) q(x)
(5) (∃x) ∀y), (p(x,y) → q (x,y))
(11). (∃y) p(y) ∧ (∀x)q(x)
(6)
(∃y) (∃x), (p(x) ∧q(y))
(12). (∃x)p(x). ∨ .∀x q(x)
Kunci jawaban
No 1: (a). bukan
(b) ya
(c) bukan (d) ya
(e) bukan (f) bukan
(coba cari alasannya)
No 2:
(a). Salah, sebab tidak ada bilangan dalam A yang memenuhi persamaan
x+3=10
(b) Benar, sebab tiap-tiap bilangan dalam A memenuhi pertidaksamaan x+
3<10
(e) Benar, sebab jika x0 = 1, maka x0 + 3 < 5, yakni1 adalah pemecahannya.
(f) Salah, sebab jika x0 = 5, maka x0 + 3 > 7
(cobalah untuk soal yang lainnya)
Negasinya
(a) ( ∃x ∈ A ) , x + 3 = 10 ≡
( ∀x ∈ A ) ,
x + 3 = 10 ≡
( ∀x
∈ A ) , x + 3 ≠ 10
(b) ( ∀x ∈ A ) , x + 3 < 10 ≡ ( ∃x ∈ A ) , x + 3 < 10 ≡ ( ∃x ∈ A ) , x + 3 ≥ 10
(e) ( ∃x ∈ A ) , x + 3 < 5 ≡ ( ∀x ∈ A ) , x + 3 < 5 ≡ ( ∀x ∈ A ) , x + 3 ≥ 5
______________________________________________ 48
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
(f)
( ∀x ∈ A ),
x + 3 ≤ 7 ≡ ( ∃x ∈ A ) , x + 3 ≤ 7 ≡ ( ∃x ∈ A ) , x + 3 > 7
(cobalah untuk soal yang lainnya)
No 5:
( ∃x )
(a)
p(x) ∧ ( ∀y ) q(y) ≡ ( ∃x ) p(x) ∨ ( ∀y ) q(y)
≡ ( ∀y ) p(x) ∨ ( ∃y ) q(y)
(∀x ) p(x) ∧ (∃y )
(e)
q(y) ≡
( ∀x )
p(x) ∨ ( ∃y ) q(y)
≡ ( ∃y ) p(x) ∨ ( ∀y ) q(y)
(cobalah untuk soal yang lainnya)
No 6:
•
Untuk menjawab (d), (e), (f)
Diselidiki M = {1, 2, 3}, apakah sifat x2 < y + 1 akan dipenuhi?
↓
x = 1,
x = 2,
y=1
y=2
12 < 2 + 1
y=3
12 < 3 + 1
y=1
y=2
x = 3,
12 < 1 + 1
22 </ 1 + 1
22 </ 2 + 1
y=3
22 </ 3 + 1
y=1
32 </ 1 + 1
y=2
32 </ 2 + 1
y=3
32 </ 3 + 1
Jadi
(d)
( ∀x )( ∃y )
x 2 < y + 1 → salah
______________________________________________ 49
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR
•
(e)
( ∃x )( ∃y )
(f)
( ∃x)( ∀y)
x2 < y + 1 →
salah
x2 < y +1 → benar
Untuk menjawab (g) dan (h)
Diselidiki apakah sifat x2 + 2y < 10 dipenuhi?
x = 1,
x = 2,
y=1
12 + 2.1 < 10
y=2
12 + 2.2 < 10
y=3
12 + 2.3 < 10
y=1
22 + 2.1 < 10
y=2
22 + 2.2 < 10
y=3
22 + 2.3 = 10
y=1
32 +2.1 > 10
y=2
32 +2.2 > 10
y=3
32 +2.3 > 10
x = 3,
•
(g)
( ∀x )( ∃y )
x 2 + 2 y < 10 →
(h)
( ∃x)( ∀y)
x2 + 2y > 10 → benar
salah
Untuk menjawab (i), (j), (k), (l)
Diselidiki apakah sifat
x = 1,
x 2 + y 2 < 12 akan dipenuhi?
y=1
12 + 12 < 12
y=2
12 + 22 < 12
______________________________________________ 50
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Dra. Noeryanti, M.Si
y=3
x = 2,
x = 3,
12 +32 < 12
y=1
22 + 12 </ 12
y=2
22 + 22 </ 12
y=3
22 + 32 </ 12
y=1
32 +12 < 12
y=2
32 + 22 </ 12
y=3
32 + 32 </ 12
Jadi
(i)
( ∀x )( ∀y )
(j)
( ∃x)( ∀y)
x2 + y2 < 12 → benar
(k)
( ∃x )( ∃y )
x 2 + y 2 < 12 →
benar
(l)
( ∀x )( ∃y )
x 2 + y 2 < 12 →
salah
x 2 + y 2 < 12 →
salah
(cobalah untuk soal yang lainnya)
______________________________________________ 51
MODUL LOGIKA MATEMATIKA