(p^~q) adalah - Binus Repository

Matakuliah
Tahun
:K0362/Matematika Diskrit
:2008
Logika Proposisi
Pertemuan 1:
Bina Nusantara
Learning Outcomes
• Mahasiswa dapat menyebutkan tentang logika
proposisi, operator dan sifat-sifat proposisi serta
aljabar proposisi dan sifat-sifat kebenaran
Bina Nusantara
Outline Materi:
•
•
•
•
•
Bina Nusantara
Pendahuluan
Logika Proposisi dan operator
Aljabar proposisi
Sifat-sifat kebenaran
Contoh
Pernyataan
yang benar
pernyataan
pernyataan
yang salah
kalimat
Bukan pernyataan
(termasukkalimat
terbuka)
rangkaian
kata
bukan
kalimat
Bina Nusantara
Logika Proposisi
•
•
•
•
Pernyataan = suatu kalimat yang mempunyai arti.
Ditulis dengan huruf Besar/kecil ,mulai dari P,Q,r,s….
Nilai pernyataan True/T/1/+ atau False/F/0/Contoh : Indonesia adalah suatu negara
4 adalah bilangan Prima, 3+3 = 6
X + Y > 4 (bukan pernyataan)
• Pernyataan Gabungan (compound statement): pernyataan yg
memiliki subpernyataan yang memiliki operator and, or atau
not..
Bina Nusantara
Konjungsi (and)
• pernyataan konjungsi benar, bila kedua pernyataan
bagian juga benar(true)
• Contoh
– Paris berada di Prancis dan 2+2=4
– Dua adalah bilangan prima dan bilangan genap
– Paris berada di Inggris dan 2+2=5
Bina Nusantara
Disjungsi (or)
• Pernyataan disjungsi benar, bilamana salah satu dari
bagian pernyataan tersebut benar
• Contoh
– Paris berada di Inggris atau 2+2=4
– Paris berada di Perancis atau 2+2=5
– Tiga faktor dari 49 atau habis dibagi tiga
Bina Nusantara
Negasi (not, ~p)
• pernyataan lain yang bukan menyatakan pernyataan itu
• Contoh
– Paris berada di Perancis
---> Paris tidak berada di Perancis
– Empat adalah bilangan kuadrat ---> Tidak benar empat adalah
bilanga kuadrat
Bina Nusantara
Implikasi (=>)
• Pernyataan P=>Q disebut P hanya jika Q, atau P implikasi Q
• pernyataan implikasi salah, bila pernyataan bagian pertama
benar yang kedua salah, selain itu bernilai benar
• Contoh
– P=jeruk manis ungu, Q=tanah tdk datar, maka
– P=>Q : Jika jeruk manis ungu maka tanah tidak datar
– Jika 2 bil.genap maka 3 bil.ganjil
Bina Nusantara
Ekuivalensi ( <=>)
• Pernyataan P <=>Q disebut P jika hanya jika Q
• pernyataan ekuivalensi benar, bila kedua pernyataan
bagian sama-sama bernilai benar atau sama-sama bernilai
salah
• Contoh
– Air hujan ada jika dan hanya jika hujan turun
– Dua garis sejajar jika dan hanya jika berada di satu bidang dan tak
berpotongan
– Suatu segitiga sama sisi jika dan hanya jika memiliki tiga sisi yg
sama panjang.
Bina Nusantara
Exclusive OR(ExOR)
• P exclusive or Q. pernyataan ini benar, bila salah satu
dari P atau Q bernilai benar
• T T = F, T F = T, F T = T, F F = F
• Contoh
– pengatur lampu lalu lintas jalan raya
Bina Nusantara
Not OR (NOR)
•
•
•
•
NOR , pernyataan kombinasi dari not dan or
Sering disebut Joint Deniel
P NOR Q dibaca “Neither P Nor Q
Nilai kebenarannya true, bila kedua pernyataan
bagiannya bernilai salah/false
• Contoh
– flip flop
Bina Nusantara
Proposisi & Tabel Kebenaran
• Proposisi adalah suatu pernyataan gabungan
• p,q,.. Merupakan variabel, maka proposisi adalah
P(p,q,r…)
• Nilai kebenarannya diketahui, bila kebenaran
variabelnya diketahui
• Umumnya dibuat dalam tabel kebenaran
• Contoh ~(p^~q);
Bina Nusantara
Contoh Tabel Kebenaran
Untuk menyatakan ~(p^~q) adalah:
p
0
0
1
1
Bina Nusantara
q
0
1
0
1
~q
1
0
1
0
p ^~ q
0
0
1
0
~(p^~q)
1
1
0
1
Tautologi, Kontradiksi & Kontingensi
• Tautologi, proposisi yg memuat nilai true untuk variabel
hasilnya/kolom terakhir
–
pv~p
• Kontradiksi, proposisi yg memuat nilai false untuk variabel
hasilnya/kolom terakhir
–
p ^ ~p
• Kontingensi, proposisi yg memuat campuran dari true dan
false utk kolom hasilnya/kolom terakhir
–
Bina Nusantara
~p^q
Kesamaan Logika
(Logical equivalence)
• Dua proposisi yang memiliki nilai tabel kebenaran yang
sama
• Contoh
–
–
–
–
Bina Nusantara
~ (p ^ q) = ~p v ~q
(p v q) ^ q = (p ^ q) v q
(~p v q) ^ p = p ^ q
(p ^ q) v r = (p v r) ^ (q v r)
Pengertian Aljabar Proposisi
• Proposisi adalah suatu pernyataan gabungan
• p,q,.. merupakan variabel, maka proposisi dapat ditulis
seperti: P(p,q,r…)
• Nilai kebenarannya diketahui, bila kebenaran variabelnya
diketahui
• Penentuan nilai kebenarannya umumnya dibuat dengan
menggunakan tabel kebenaran
• Contoh ~(p^~q);
Bina Nusantara
Logika Equivalent (kesamaan logika)
• Dua proposisi yang memiliki nilai tabel kebenaran yang sama
• Contoh
–
–
–
–
Bina Nusantara
~ (p ^ q) = ~p v ~q
(p v q) ^ q = (p ^ q) v q
(~p v q) ^ p = p ^ q
(p ^ q) v r = (p v r) ^ (q v r)
Aljabar Proposisi
• Hukum yg berlaku di dalam proposisi
• Idempotent; pvp=p, p^p=p
• Associative; (pvq)vr = pv(qvr),
(p^q)^r = p^(q^r)
• Commutative; pvq = qvp, p^q = q^p
• Distributive; pv(q^r)=(pvq)^(pvr),
p^(qvr)=(p^q)v(p^r)
• Identity; pvf = p, p^t=p, pvt=t, p^f=f
Bina Nusantara
Aljabar Proposisi (2)
• Complement; pv~p=t, p^~p=f, ~t=f, ~f=t
• Involution; ~~p=p
• DeMorgans; ~(pvq)=~p ^ ~q, ~(p^q)=~pv~q.
Bina Nusantara
Aljabar Proposisi (3)
 p ~  p ~ q   q
jawab :  p  ~  p ~ q   q   p  ~ p  ~~ q   q  de Morgan ' s
  p  ~ p  q   q  involution
  p  ~ p   q   q  asosiatif
  f  q   q  komplemen
 f  q  identitas
 q  identitas
Bina Nusantara
Aljabar Proposisi (4)
~(~pq)(pr) = (p~q)(pr),
De’Morgan dan involusi
= [(p~q)p][(p~q)r],
distributive
= p(~qp)(pr)(~qr),
distributive
= p(~qr),
absorbsi.
Bina Nusantara
Bina Nusantara